以“材”突破難點(diǎn) 用“序”進(jìn)階思維

［摘" 要］ 研究者以“用字母表示數(shù)”一課為例，通過(guò)“課前思考，明確單元目標(biāo)”“課堂實(shí)踐，彰顯代數(shù)思維”“教學(xué)反思，回顧整體教學(xué)”來(lái)提煉單元核心目標(biāo)、重構(gòu)單元教學(xué)序列，嘗試以“關(guān)系”為主線，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維。

［關(guān)鍵詞］ 代數(shù)思維；教學(xué)實(shí)踐；字母表示數(shù)；單元視域

一、課前思考，明確單元目標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）在小學(xué)階段刪除了有關(guān)方程的內(nèi)容，移至初中階段。這樣的修訂是對(duì)小學(xué)階段學(xué)生代數(shù)思維的削弱嗎？筆者從兩個(gè)方面進(jìn)行了思考。

1. 如何凸顯代數(shù)思維，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)？

新課標(biāo)將“字母表示數(shù)”調(diào)整到 “數(shù)量關(guān)系”主題中，旨在讓學(xué)生在具體情境中探索用字母表示事物的關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律的方法，感悟用字母表示的一般性。

如圖1所示，在第一、第二學(xué)段中，學(xué)生接觸過(guò)用“圖形符號(hào)”表示特定的數(shù)和用字母表示運(yùn)算定律，初步積累了用字母表示數(shù)的經(jīng)驗(yàn)?！坝米帜副硎緮?shù)”單元第一次將代數(shù)符號(hào)作為工具，讓學(xué)生經(jīng)歷從文字、圖形符號(hào)逐步過(guò)渡到字母表征未知數(shù)的過(guò)程，為理解字母表示數(shù)的函數(shù)和感悟方程思想打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。隨著小學(xué)教材將“方程”內(nèi)容移除，“用字母表示數(shù)”意在讓學(xué)生從數(shù)量關(guān)系的角度來(lái)理解“字母表示數(shù)”的學(xué)科本質(zhì)，豐富學(xué)生對(duì)“符號(hào)意義”的理解，初步發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維。

2. 如何實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)提升？

筆者結(jié)合新課標(biāo)的內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求、教學(xué)提示進(jìn)行系統(tǒng)梳理，明晰“用字母表示數(shù)”單元的核心素養(yǎng)表現(xiàn)為符號(hào)意識(shí)、推理意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，并確定本單元的核心目標(biāo)（如圖2所示）。

結(jié)合核心素養(yǎng)表現(xiàn)以及核心目標(biāo)，可以劃分出具體的表現(xiàn)性目標(biāo)（如表1所示）。教師要思考：學(xué)生剛剛接觸“字母表示數(shù)”這個(gè)內(nèi)容的思維瓶頸究竟在哪里？他們面臨的“真問(wèn)題”到底是什么呢？通過(guò)學(xué)情調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生主動(dòng)使用字母表示未知量的意識(shí)薄弱，對(duì)于字母式表示數(shù)存在認(rèn)知困難，能找出規(guī)律卻難以抽象出用字母表示的形式。

基于以上分析，從新課標(biāo)出發(fā)，筆者嘗試以“關(guān)系”為主線進(jìn)行單元主題架構(gòu)設(shè)想，分成“關(guān)系”“性質(zhì)”和“規(guī)律”三個(gè)板塊，共五個(gè)課時(shí)（如圖3所示）。

第一板塊的“關(guān)系”建構(gòu)課，由用字母表示“數(shù)”和“關(guān)系”兩個(gè)主題構(gòu)成，讓學(xué)生理解字母既可以表示數(shù)，也可以表示關(guān)系。第二板塊的“性質(zhì)”探究課，讓學(xué)生學(xué)習(xí)用字母表示運(yùn)算定律、公式和性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)用字母表示一般化的“數(shù)量關(guān)系”。第三板塊的“規(guī)律”主題活動(dòng)課，讓學(xué)生對(duì)規(guī)律進(jìn)行探究，進(jìn)而將經(jīng)驗(yàn)遷移到生活中的其他事物中，從探索生活中復(fù)雜的規(guī)律到提煉探索一般關(guān)系的方法，感悟字母參與運(yùn)算的價(jià)值。

二、課堂實(shí)踐，彰顯代數(shù)思維

基于上述分析，筆者圍繞單元重構(gòu)后的關(guān)鍵課例“用字母表示數(shù)”進(jìn)行例證。

1. 回顧百數(shù)表，喚醒經(jīng)驗(yàn)

思考：在一年級(jí)的時(shí)候，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了百數(shù)表，百數(shù)表里的數(shù)字有規(guī)律嗎？

預(yù)設(shè)：豎著看，下一行比上一行多10。

預(yù)設(shè)：也可以橫著看，后面的數(shù)比前一個(gè)數(shù)多1。

小結(jié)：看來(lái)大家對(duì)百數(shù)表并不陌生，今天我們就借助百數(shù)表來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)。

2. 借助百數(shù)表，直擊本質(zhì)

（1）在猜測(cè)中感知

思考：用兩個(gè)連續(xù)的正方形□□去遮住百數(shù)表中的兩個(gè)數(shù)，可能會(huì)是哪兩個(gè)數(shù)？

預(yù)設(shè)：可能會(huì)是35、36，72、73……

問(wèn)題：仔細(xì)觀察，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

預(yù)設(shè)：都是相鄰的數(shù)。

預(yù)設(shè)：后面的數(shù)都比前面的數(shù)大1。

追問(wèn)：除了這幾種，還有其他情況嗎？

預(yù)設(shè)：還有很多種可能。

關(guān)鍵問(wèn)題：這樣的情況還有很多，能不能用簡(jiǎn)明的方式表示被遮住的任意兩個(gè)相鄰的數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：教師借助百數(shù)表，讓學(xué)生回顧百數(shù)表中上下左右數(shù)的關(guān)系。在猜一猜的任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)每次被遮住的數(shù)都是兩個(gè)相鄰數(shù)，這樣的情況還有很多，如果一種一種表示會(huì)很麻煩，需要用一種方式表示所有的情況。這就激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，為感受用字母表示的一般性做好鋪墊。

（2）在對(duì)比中建構(gòu)

學(xué)生開(kāi)展關(guān)鍵活動(dòng)1（如圖4所示）。

教師呈現(xiàn)學(xué)生作品（如圖5所示）。

反饋層次一：

問(wèn)題：老師收集了這三幅作品，靜靜觀察，你們看懂了嗎？

預(yù)設(shè)：①號(hào)只能表示一種情況，不符合要求。

預(yù)設(shè)：②號(hào)表示了一些情況，不是全部。

預(yù)設(shè)：②號(hào)不能表示是相鄰的兩個(gè)數(shù)。

預(yù)設(shè)：③號(hào)用字母來(lái)表示，字母可以表示很多數(shù)，符合要求。

小結(jié)：這個(gè)方框里的數(shù)有很多，是不確定的未知數(shù)（板書：未知），未知數(shù)可以用字母來(lái)表示。

設(shè)計(jì)意圖：教師選取代表具體算術(shù)思維和抽象代數(shù)思維的學(xué)生作品，進(jìn)行第一層次的對(duì)比。在交流中學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)字母可以表示很多數(shù)，表示其是一個(gè)未知數(shù)，初步感知用字母表示數(shù)的一般性。

反饋層次二：

思考：如圖6所示，也有同學(xué)是這樣表示的，你們能看懂嗎？

預(yù)設(shè)：前面的數(shù)可以用字母a表示，相鄰的數(shù)比前面要大1，所以就是a+1。

追問(wèn)：③④兩位同學(xué)都想到了用a來(lái)表示前面的數(shù)；對(duì)于后面的數(shù)，一個(gè)是用b來(lái)表示的，一個(gè)是用a+1來(lái)表示的，你們覺(jué)得哪一種更合適？

預(yù)設(shè)：b更加合適，更加簡(jiǎn)捷。

預(yù)設(shè)：a+1更加合適，a+1能看出和a的相鄰關(guān)系，b看不出和a的相鄰關(guān)系。

預(yù)設(shè)：字母表中，b就是a后面的數(shù)，能看出相鄰。

學(xué)生在交流中，辨析b和a+1的優(yōu)勢(shì)。

（3）在操作中深化

思考：如圖7所示，到底哪一種表示方法更合適呢？

①擺一擺

問(wèn)題：a確定了，b在哪里？a+1在哪里？

（學(xué)生上臺(tái)操作，擺一擺、說(shuō)一說(shuō)）

預(yù)設(shè)：b在a的后面。

預(yù)設(shè)：b可以在a的后面，也可以在其他的位置，b是自由的。

預(yù)設(shè)：a+1只能在a的后面。

預(yù)設(shè)：a+1就表示比a要大1的數(shù)。

小結(jié)：用b表示，看不出和a的相鄰關(guān)系，a+1能看到和a的相鄰關(guān)系。

②移一移

思考：a的位置移動(dòng)起來(lái)，a+1會(huì)怎么樣？

教師和學(xué)生操作互動(dòng)，教師不斷移動(dòng)a的位置，學(xué)生不斷找出a+1的位置。

問(wèn)題：剛才的過(guò)程，誰(shuí)有發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)：a跑到哪里，a+1就跟到哪里。

預(yù)設(shè)：a+1就是a的“跟屁蟲(chóng)”。

追問(wèn)：為什么a跑到哪里，a+1就跟到哪里？

預(yù)設(shè)：a+1就表示比a要大1的數(shù)。

預(yù)設(shè)：不管a怎么跑，它們之間的關(guān)系是不變的。

過(guò)渡：你發(fā)現(xiàn)了不變的地方，那有什么在變化呢？

預(yù)設(shè)：a和a+1的位置在變化。

預(yù)設(shè)：a和a+1表示的數(shù)在變化。

看來(lái)，a變了，a+1也會(huì)跟著變化，但是它們之間的關(guān)系始終不變。

小結(jié)：通過(guò)剛才的討論，我們發(fā)現(xiàn)像a、b、a+1這樣的字母或者含有字母的式子可以表示數(shù)，但是a+1不僅可以表示數(shù)，還可以看出和a的相鄰關(guān)系。（板書）

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)第二次的對(duì)比交流，初步感知a+1的優(yōu)越性。教師借助空白的百數(shù)表，通過(guò)擺一擺、移一移，讓學(xué)生直觀發(fā)現(xiàn)用b表示的不確定性與a＋1表示的確定性，理解兩個(gè)變量之間變與不變的關(guān)系。通過(guò)百數(shù)表中一個(gè)框代表一個(gè)數(shù)，讓學(xué)生潛移默化地突破含有字母的式子既能表示數(shù)、又可以反應(yīng)兩個(gè)量之間的關(guān)系這一難點(diǎn)。

反饋層次三：

問(wèn)題：如圖8所示，還有同學(xué)是這樣表示的（出示⑤號(hào)），你們能看懂嗎？

預(yù)設(shè)：先確定后面的數(shù)，前面的數(shù)就是a-1。

預(yù)設(shè)：這兩個(gè)數(shù)是相鄰的兩個(gè)數(shù)。

思考：如圖9所示，比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)：④和⑤都表示相鄰的兩個(gè)數(shù)。

預(yù)設(shè)：它們的標(biāo)準(zhǔn)不一樣，一個(gè)是用前面的數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，一個(gè)是用后面的數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)。

小結(jié)：看來(lái)，選擇的標(biāo)準(zhǔn)不同，表示的字母式也不同，但是它們的關(guān)系是不變的。

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過(guò)第三層次的對(duì)比，進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)字母表示兩個(gè)變量的理解。在表示的過(guò)程中，選擇的變量不同，表示的方式也不同，但都表示兩個(gè)量之間的相鄰關(guān)系，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)用方程設(shè)不同的未知量做好準(zhǔn)備。

（4）在辨析中完善

問(wèn)題：想一想，對(duì)于④和⑤兩種情況，a可以是哪些數(shù)？

預(yù)設(shè)：a可以是任何數(shù)。

預(yù)設(shè)：a可以是1～100的整數(shù)。

預(yù)設(shè)：用④來(lái)表示，a不可以是整十?dāng)?shù)。

問(wèn)題：你能上來(lái)一邊擺一邊說(shuō)嗎？

預(yù)設(shè)：如果a是整十?dāng)?shù)，那么a+1就跑到百數(shù)表外面去了。

預(yù)設(shè)：用⑤來(lái)表示，a的個(gè)位不能是1，不能是第一列的數(shù)。

問(wèn)題：看來(lái)，某些情況下，字母表示數(shù)是有范圍的。（板書）

問(wèn)題：嘗試代入求值，a=25時(shí)，a+1=25+1=26。其他情況會(huì)求嗎？

設(shè)計(jì)意圖：在討論、想象和辨析的過(guò)程中，學(xué)生感受到用字母表示數(shù)，在具體的情況下是有一定的范圍的，并且字母和字母式中的數(shù)可以參與運(yùn)算，進(jìn)一步完善了用字母表示“數(shù)”的內(nèi)涵。

（5）在創(chuàng)造中鞏固

思考：如圖10所示，現(xiàn)在a的下面有一個(gè)方框，這里的數(shù)會(huì)是幾呢？

預(yù)設(shè)：a+10，從百數(shù)表里豎著看，下一行的數(shù)比上一行的數(shù)多10。

如圖11所示，學(xué)生開(kāi)展關(guān)鍵活動(dòng)2：現(xiàn)在還有一個(gè)方框，這個(gè)方框可以放在哪個(gè)位置，方框里的數(shù)會(huì)是幾呢？

教師呈現(xiàn)學(xué)生的作品（如圖12所示）。

預(yù)設(shè)：放在④號(hào)位置，用a-1來(lái)表示。

預(yù)設(shè)：放在②號(hào)位置，用a-10來(lái)表示。

預(yù)設(shè)：放在⑦號(hào)位置，用a+11來(lái)表示。

預(yù)設(shè)：也放在⑦號(hào)位置，我用a+1+10來(lái)表示。

追問(wèn)：都是⑦號(hào)位置，怎么會(huì)有兩種答案呢？

預(yù)設(shè)：a+11和a+1+10是相等的，里面的1+10就是11。

小結(jié)：看來(lái)字母式中的數(shù)可以參與運(yùn)算。

問(wèn)題：如圖13所示，如果把中間的3個(gè)數(shù)圈起來(lái)，你們能求出它們的和嗎？

預(yù)設(shè)：a-1+a+a+1=a+a+a。

預(yù)設(shè)：a×3。

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)百數(shù)表中上下左右方框之間的數(shù)量關(guān)系，教師借助“一個(gè)方框可以放哪里”的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷想象與創(chuàng)造的思維過(guò)程。在游戲化的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生不斷深化理解含有字母的式子既可以表示數(shù)，又能表示兩個(gè)量之間關(guān)系，無(wú)痕過(guò)渡到對(duì)用字母表示乘法的數(shù)量關(guān)系的理解。

3. 跳出百數(shù)表，走向生活

思考：a×3表示百數(shù)表中連續(xù)3個(gè)數(shù)的和。如果跳出百數(shù)表，a×3在生活中還能表示哪些情況呢？

如圖14所示，這些情況能用a×3表示嗎？如果可以，請(qǐng)連一連；如果不可以，請(qǐng)寫出正確的字母式。

追問(wèn)：③和④為什么不能連呢？

預(yù)設(shè)：③知道總價(jià)求單價(jià)，應(yīng)該是a÷3。

預(yù)設(shè)：④應(yīng)該是a×3+3。

追問(wèn)：除了這些情況，生活中還有哪些情況可以用a×3表示？

預(yù)設(shè)：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是3，寬是a，面積是a×3。

預(yù)設(shè)：制作a個(gè)三角形需要多少根小棒。

小結(jié)：看來(lái)a×3還能表示很多情況。

關(guān)鍵問(wèn)題：這節(jié)課，我們借助百數(shù)表學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)，為什么要用字母去表示數(shù)？

預(yù)設(shè)：用字母表示數(shù)能概括多種情況。

預(yù)設(shè)：非常簡(jiǎn)單，很清楚。

設(shè)計(jì)意圖：百數(shù)表雖然能夠引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，但是數(shù)學(xué)味比較濃。因此，在練習(xí)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生跳出百數(shù)表，讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)學(xué)走向生活，再走向數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)思維從具體到抽象、從已知到未知、從特殊到一般、從一例到一類的進(jìn)階，感悟用字母表示的一般性，發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)、推理意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)。

4. 聯(lián)系舊知，打通結(jié)構(gòu)

思考：8+□=13。

預(yù)設(shè)：□就表示字母，這里的字母只能是5，是一個(gè)特定的數(shù)。

思考：如圖15所示，這里有用字母表示數(shù)的影子嗎？

預(yù)設(shè)：3×4=a。

預(yù)設(shè)：前面一列數(shù)可以看成a，那這類題目就是a×4。

預(yù)設(shè)：這里的a可以是任意數(shù)。

小結(jié)：a×4雖然只是一道算式，但可以編出無(wú)數(shù)道具體的算式。

小結(jié)：用字母表示或者含有字母的式子來(lái)表示數(shù)時(shí)，這里的數(shù)有時(shí)候是有范圍的，有時(shí)候是特定的，有時(shí)候是任意的。字母能概括地表示多種情況，而且非常簡(jiǎn)捷。

設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)回顧不是泛泛而問(wèn)“你有什么收獲”，而是基于整體視角打通小學(xué)階段有關(guān)代數(shù)思維的知識(shí)體系，讓學(xué)生以代數(shù)的眼光重新回顧以前的知識(shí)，打通新舊知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，形成一個(gè)閉環(huán)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)。學(xué)生經(jīng)歷兩個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)后，能實(shí)現(xiàn)具體算術(shù)思維到抽象代數(shù)思維的躍升，發(fā)展符號(hào)意識(shí)。

三、教學(xué)反思，回顧整體教學(xué)

筆者通過(guò)大單元整體設(shè)計(jì)架構(gòu)，分析學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題，通過(guò)“材的重構(gòu)”和“序的安排”兩個(gè)方面去突破學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，設(shè)計(jì)合理且有梯度的學(xué)習(xí)活動(dòng)，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)算術(shù)思維到代數(shù)思維的躍升。

1. 以“材”的重構(gòu)，突破難點(diǎn)

本節(jié)課選用百數(shù)表來(lái)代替教材中的年齡情境作為學(xué)習(xí)素材，不僅可以承載年齡問(wèn)題所蘊(yùn)含的一些要素，如學(xué)生熟悉的情境、兩個(gè)變量的關(guān)系等，而且百數(shù)表這一素材還具備三大優(yōu)勢(shì)。

（1）聚焦數(shù)

教師利用百數(shù)表中每個(gè)方框里表示一個(gè)數(shù)的特點(diǎn)，通過(guò)表示百數(shù)表中任意兩個(gè)相鄰數(shù)的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷從已知數(shù)到未知數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程，潛移默化地突破含有字母的式子可以表示一個(gè)數(shù)的難點(diǎn)。

（2）顯直觀

教師借助空白百數(shù)表，讓學(xué)生在具身操作中理解用b表示的不確定性與a＋1表示的確定性，深化對(duì)含有字母的式子的理解。

（3）易操作

教師借助百數(shù)表中上下左右數(shù)之間存在的規(guī)律，通過(guò)開(kāi)放式的活動(dòng)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷想象、推理和創(chuàng)造字母式的過(guò)程，感受不同的位置具備不同的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步深化對(duì)字母表示數(shù)的內(nèi)涵理解。

2. 用“序”的安排，進(jìn)階思維

教師引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的百數(shù)表入手，通過(guò)用簡(jiǎn)明的式子表示任意兩個(gè)相鄰數(shù)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生理解字母和含有字母的式子都可以表示數(shù)。學(xué)生帶著這樣的數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)思維回頭觀察與思考原有的知識(shí)，發(fā)現(xiàn)新學(xué)的知識(shí)并不陌生，從而打通新舊知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，形成一個(gè)閉環(huán)，感受知識(shí)的一致性。