簡便運算錯誤歸因及對策探析

［摘" 要］ 研究者對學生的乘法簡便運算錯誤歸因進行分析，抓住乘法分配律的本質(zhì)特征進行教學，幫助學生鞏固乘法分配律，促進學生形成知識體系。

［關(guān)鍵詞］ 小學數(shù)學；簡便運算；知識體系；對策探析

運算是數(shù)學的基本研究對象，也是數(shù)學的一種基本思維形式。運算能力主要包括能夠根據(jù)運算律、運算法則和運算程序熟練進行四則運算。在小學數(shù)學教學中，簡便運算的教學是培養(yǎng)學生運算能力不可或缺的一部分，不僅可以滲透化繁為簡的思想，提高學生的運算能力，還可以提升學生的數(shù)學思維品質(zhì)，促進學生高階思維能力的發(fā)展。

一、簡便運算的錯誤成因及現(xiàn)狀

在簡便運算中，對運算定律本質(zhì)的理解是學生靈活進行簡便運算的關(guān)鍵。對學生來說，最難掌握的運算定律是乘法分配律，學生在運用時常常出現(xiàn)錯誤，容易與乘法結(jié)合律混淆。究其原因主要是乘法分配律的模型與其他運算定律的模型不同，學生難以理解，尤其是學生學習了小數(shù)和分數(shù)乘除法后遇到的簡便運算類型繁多。因此，教師要引導學生掌握簡便運算的技巧和方法。

現(xiàn)行的小學數(shù)學統(tǒng)編教材第二學段運算定律內(nèi)容包括加法交換律和結(jié)合律、乘法交換律和結(jié)合律以及乘法分配律，要求學生能用字母表示運算律，并理解算理和掌握算法，培養(yǎng)代數(shù)思維；第三學段運算教學的主要內(nèi)容包括簡單的小數(shù)、分數(shù)四則運算和混合運算，重點是讓學生感悟運算的一致性。因此，在第三學段學生學習了小數(shù)和分數(shù)的運算后，教師要對學生的乘法分配律運用能力進行檢測和錯誤歸因，并通過結(jié)構(gòu)化設(shè)計“乘法分配律再認識”的教學活動，幫助學生深入理解乘法分配律的本質(zhì)特征，鞏固乘法分配律的應(yīng)用，牢固架構(gòu)乘法分配律的模型，促進學生形成知識體系，提升學生的運算能力和高階思維能力。

二、簡便運算的有效策略

簡便運算在小學數(shù)學教學中具有重要地位，它不僅能提高學生的計算速度和準確性，還能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)他們的思維能力和創(chuàng)新精神。

1. 檢測練習，鋪墊精準施教

當學生學完第二學段的探索運算定律之后，教師要在第三學段的小數(shù)乘除法四則運算中繼續(xù)探索運算定律對于小數(shù)是否適用。教學中，筆者發(fā)現(xiàn)學生在簡便運算中乘法分配律的應(yīng)用錯誤較多。因此，在教學整數(shù)乘法運算定律推廣到小數(shù)后，教師要利用習題進行檢測，幫助學生尋找產(chǎn)生錯誤的原因及對策。

師：同學們，小數(shù)乘除法的學習已經(jīng)結(jié)束，下面挑戰(zhàn)“計算小能手”的時刻到了。現(xiàn)在老師給出12個題目，請你們快速進行簡便運算。

①472×78＋528×78；②（1.25－0.125）×8；③1.25×2.5×32；④7.6×102；⑤65×101－65；⑥9.8－9.8×0.7；⑦10.6×5.09－0.6×5.09；⑧44×250；⑨6.8×3.8＋38×0.32；⑩36.5×9.9＋3.65；？輥？輯？訛7.2×0.4+2.4×4.8；？輥？輰？訛98×7.2+14.4。

運算結(jié)束后，通過數(shù)據(jù)的收集和統(tǒng)計，筆者發(fā)現(xiàn)學生錯誤較多的地方集中在變式練習。部分學生直接運用四則運算，雖然結(jié)果正確，但是方法不簡便。為了收集更多的第一手資料，以便進一步了解學生的運算錯誤原因，筆者對本校其他班級進行了抽樣比對，并對所抽測班級的學生進行訪談，發(fā)現(xiàn)學生在運算時遇到的困難很多，正確率見表1。

（1）學生對乘法分配律的基本模型掌握不牢固，容易在分與合的過程中出錯，比如出現(xiàn)（1.25－0.125）×8=1.25-0.125×8或1.25×8-0.125的錯誤。

（2）學生對乘法分配律和乘法結(jié)合律出現(xiàn)混用，比如出現(xiàn)1.25×2.5×32=1.25×8+2.5×4，7.6×102=7.6×100×2，44×250=40×250×4或者40+4×250等錯誤。

（3）在變式練習中運用乘法分配律時出現(xiàn)錯誤。部分簡便運算的題目在不改變運算結(jié)果的情況下，需要學生創(chuàng)造條件找到適合乘法分配律的模型進行運算，但是有的學生無法創(chuàng)設(shè)出與運算結(jié)果一致的乘法分配律模型。比如出現(xiàn)44×250=40+4×250，36.5×9.9＋3.65=3.65×（9.9＋0.1）；7.2×0.4+2.4×4.8=7.2×（2.4-0.4）×4.8；98×7.2+14.4=98×7.2+（14.4÷2）等錯誤。

精準定位學情是教師進行教學思考與實踐的前提，通過檢測，對學生的錯誤進行歸因，能為下一步的精準施教做好鋪墊。

2. 課堂實施，探究解決方法

筆者通過檢測摸清了學生在簡便運算過程中的錯誤類型，找到了乘法分配律應(yīng)用錯誤的根本原因，即學生對本質(zhì)模型理解不到位，無法創(chuàng)造符合乘法分配律模型的簡便運算方法。因此，筆者通過三個教學活動串聯(lián)本節(jié)課，幫助學生加深對乘法分配律模型的本質(zhì)理解。

活動一：快速完成解答（限時4分鐘）。

①筆算：14×12。

②簡算：3.5×9+3.5。

③如圖1所示，求長方形的周長。

④如圖2所示，求組合圖形的面積。

⑤媽媽到超市買了4千克的蘋果，每千克7.5元，又買了同樣價格的梨子8千克，媽媽一共花了多少錢？

東北師范大學史寧中教授認為，模型是數(shù)學發(fā)展所依賴的思想本質(zhì)之一。因此，理解乘法分配律模型有助于學生理解乘法分配律概念的本質(zhì)，為靈活簡便運算打下堅實的基礎(chǔ)。教學伊始，在學生快速完成解答后，教師應(yīng)激活學生原有的知識經(jīng)驗，促使學生在挑戰(zhàn)練習的過程中逐漸形成乘法分配律的模型意識，進而掌握乘法分配律的定義和字母公式，凸顯乘法分配律的本質(zhì)特征。

活動二：引導學生對熟悉的教材內(nèi)容進行梳理，尋找教材中乘法分配律的模型，在歸納與提煉的過程中系統(tǒng)認知乘法分配律，并形成乘法分配律的結(jié)構(gòu)化知識鏈（具體見表2）。

通過梳理教材可知，乘法分配律的模型分布較廣，涵蓋小學的各個年級。教師要引導學生對熟悉的數(shù)學問題進行簡化和抽象概括，且重視梳理與提煉，以實現(xiàn)對乘法分配律的結(jié)構(gòu)化認知。在知識模塊上，教師要從簡單到復(fù)雜、從低年級到高年級，一步一步地引導學生梳理其中的乘法分配律模型a（b±c）=ab±ac或（a±b）c=ac±bc，讓學生整體感知整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)在乘法分配律中的運用，真正理解乘法分配律以及如何簡便計算整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的四則混合運算。教師要引導學生將已經(jīng)學過的與即將學習的乘法分配律內(nèi)容整合在一起，構(gòu)建一個完整的知識體系。在這一過程中，教師引導學生進一步體會乘法分配律的本質(zhì)特征，培養(yǎng)學生乘法分配律的模型意識。

活動三：不用計算，哪些題目可以運用乘法分配律進行簡算？

①21×9＋19×9；②4.2×7.5+7.5×5.8；③3/5×2+2/5×2；④9.8－9.8×0.7；⑤（1.25－0.125）×8；⑥0.65×102；⑦98×7.2+14.4；⑧1.25×2.5×32；⑨44×250。

首先，教師引導學生觀察數(shù)據(jù)，讓學生直觀尋找算式中含有乘法分配律的模型a（b±c）=ab±ac或（a±b）c=ac±bc，即含有兩級運算的乘法是否有一個因數(shù)是相同的，另外兩個因數(shù)是否可以湊整進行簡便運算。比如：21×9＋19×9，4.2×7.5+7.5×5.8，3/5×2+2/5×2，（1.25－0.125）×8。

其次，讓學生觀察符號。觀察符號和觀察數(shù)據(jù)同等重要，能讓學生懂得必須明確乘法分配律的本質(zhì)特征才能真正進行簡便運算。乘法分配律的模型包含著兩級運算符號形式，教師要引導學生尋找乘法分配律的模型，判斷題目是否具有乘法分配律的模型。

再次，讓學生創(chuàng)造條件。當算式中無法直接看出乘法分配律模型時，學生可以在不改變運算結(jié)果的情況下，創(chuàng)造符合乘法分配律的模型進行簡便運算。比如，9.8－9.8×0.7中有相同的因數(shù)，但是缺少一個相減的因數(shù)，此時可創(chuàng)造條件9.8×1－9.8×0.7，使其符合乘法分配律模型。這樣的創(chuàng)造需要學生以模型為基礎(chǔ)，充分思考符合要求的條件進行創(chuàng)造，并借助乘法分配律對運算過程進行重組和化簡，得到不同的算法，提升自身的思維品質(zhì)。

活動中，學生對于0.65×102、98×7.2+14.4、1.25×2.5×32、44×250這四個題目都能通過創(chuàng)造條件，重組與乘法分配律模型一致的簡便運算。但是在1.25×2.5×32這一題中，學生還是會經(jīng)常出現(xiàn)創(chuàng)造錯誤的條件，如1.25×8+2.5×4，這說明其沒有掌握乘法分配律的本質(zhì)，將乘法分配律與乘法結(jié)合律混淆。因此，突破這一難點的關(guān)鍵是教師要讓學生理解運算律的本質(zhì)，在仔細觀察數(shù)據(jù)時注意觀察符號，樹立乘法分配律的模型意識。

最后，讓學生優(yōu)化簡算。在44×250中，學生能夠創(chuàng)造條件進行簡便運算，如4×11×250和（40+4）×250=40×250+4×250，兩種形式一個是運用乘法結(jié)合律簡算，另一個是運用乘法分配律進行簡算，通過多種對比，從中找到最優(yōu)的簡便運算方法。

活動三中層層深入的問題設(shè)計，旨在讓學生經(jīng)歷“觀察數(shù)據(jù)—觀察符號—創(chuàng)造條件—優(yōu)化簡算的運算策略中逐一體驗乘法分配律模型”的過程，提升運算能力，發(fā)展高階思維。

3. 回顧反思，提升數(shù)學素養(yǎng)

（1）在活動中抓本質(zhì)——識模

學生的認知結(jié)構(gòu)在掌握知識的過程中形成和發(fā)展，是其原有認知結(jié)構(gòu)與新知識相互作用的結(jié)果。教師要引導學生在活動中建立乘法分配律的模型，通過激活學生原有的知識經(jīng)驗，增強學生對乘法分配律概念本質(zhì)的理解，形成乘法分配律的知識鏈，體會乘法分配律應(yīng)用的靈活性。在強化乘法分配律原型認識的變式練習中，教師要通過生生互學、思辨討論，讓學生形成一定的方法和策略，從而使學生的認知結(jié)構(gòu)達到新的高度與深度。

（2）在梳理中重結(jié)構(gòu)——固模

在單元整體教學設(shè)計時，教師可能會較多地立足一個單元的設(shè)計，較少從縱橫交錯的教材中思考。學生對于乘法分配律并不陌生，雖然到四年級才正式學習，到五、六年級進行深度學習，但學生腦海中存在的都是點狀的認知。本節(jié)課的活動二是梳理教材中的乘法分配律模型，關(guān)聯(lián)了整個小學的階段，甚至包括初中階段的猜想，從不同的角度給了學生不一樣的思路。教師要從不同的視角巧妙設(shè)計乘法分配律的學習活動，讓學生將乘法分配律連點成線，加深對乘法分配律的再認識，促進對乘法分配律知識體系的架構(gòu)和固模。

（3）在思辨中成系統(tǒng)——用模

課堂要以學為中心進行變革，變的不僅有教師的教學方式，還有學生的學習方法。比如在活動三中，教師不僅引導學生去觀察數(shù)據(jù)、觀察符號、結(jié)構(gòu)性創(chuàng)造條件，掌握乘法分配律的應(yīng)用，還引導學生對乘法分配律進行深入探究，并體會方法的多樣性，強化對乘法分配律的建模和用模。

三、結(jié)語

乘法分配律的應(yīng)用是運算定律教學中學生容易出現(xiàn)“反復(fù)性錯誤”的內(nèi)容。教師要引導學生建立乘法分配律的基本模型，加深學生對乘法分配律概念本質(zhì)的理解，并以乘法分配律的本質(zhì)模型為關(guān)鍵點，讓學生在經(jīng)歷梳理教材、變式練習中加深對概念本質(zhì)的理解，形成對概念的基本認知。教師要引導學生在歸納與提煉的過程中實現(xiàn)概念的結(jié)構(gòu)化，形成乘法分配律的知識鏈；讓學生在梳理解題思路中獲得簡便運算的方法與策略，從而培養(yǎng)學生數(shù)感，促進學生形成知識體系。