2025年高考專(zhuān)題——新定義題部分

【摘要】文章闡述了高中數(shù)學(xué)新定義題的特點(diǎn)，并編擬了12道高中數(shù)學(xué)新定義模擬題（其中8道是筆者原創(chuàng)），還給出了針對(duì)高中數(shù)學(xué)新定義題的備考策略.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；新定義題；原創(chuàng)；模擬題；備考策略

1高考數(shù)學(xué)新定義題的特點(diǎn)

2024年高考新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷第19題（文獻(xiàn)[1][2]均給出了題1第（3）問(wèn)中Pm的準(zhǔn)確表達(dá)式）就是典型的高中數(shù)學(xué)新定義題（下簡(jiǎn)稱(chēng)新定義題）：源于題中出現(xiàn)了新定義“（i，j）—可分?jǐn)?shù)列”.

筆者認(rèn)為，新定義題的最大特點(diǎn)是：在該題中先給出一個(gè)或幾個(gè)新定義（有時(shí)不是新定義，也可以是新情境、新結(jié)論（下同），比如下文的題12），但不宜超過(guò)兩個(gè)新定義，否則就大大增加了題目難度.這些新定義一定是高中生在教材中沒(méi)學(xué)過(guò)的，但可以與教材中的內(nèi)容相關(guān);再解決與該新定義相關(guān)的問(wèn)題：可以是判斷、證明相關(guān)問(wèn)題是否滿足該新定義，也可以解決與該新定義相關(guān)的問(wèn)題，比如研究其性質(zhì)等等.

新定義題往往文字量大、信息量多、設(shè)問(wèn)數(shù)量多、情境新穎復(fù)雜、背景深刻、綜合性強(qiáng)、解答難度大且復(fù)雜.研究性強(qiáng)也是新定義題的重要特點(diǎn)：該題往往是數(shù)學(xué)愛(ài)好者的研究結(jié)果，或是研究過(guò)程中的部分結(jié)果且適合編擬成新定義題，還可繼續(xù)研究該題的解法并尋找新解法、對(duì)該題的結(jié)論可再推廣并提出新問(wèn)題.

北京高考數(shù)學(xué)卷從2002年開(kāi)始自主命題，其鮮明特色就是新定義題居多，在選擇題、填空題、解答題的壓軸題中體現(xiàn)得最為明顯；上海高考數(shù)學(xué)卷從1985年開(kāi)始自主命題，也涌現(xiàn)了不少優(yōu)質(zhì)新定義題.實(shí)際上，在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)知識(shí)板塊、各種考試題型（還包括數(shù)學(xué)文化試題、劣構(gòu)試題等）中均可編擬大量的新定義題.

212道高考數(shù)學(xué)新定義模擬題（其中8道是筆者原創(chuàng)）

題5北京市豐臺(tái)區(qū)曉月新城小區(qū)內(nèi)的清大康潔節(jié)水型社區(qū)水站（水質(zhì)由清華大學(xué)環(huán)境質(zhì)量檢測(cè)中心權(quán)威檢測(cè)）供應(yīng)三種水質(zhì)的飲用水：弱堿水1.00元/升，純凈水0.70元/升，軟水0.40元/升.超超及爸爸和媽媽一家三口都住在該小區(qū)，且一直飲用該水站的水，但對(duì)這三種水質(zhì)的水完全不了解.

一天早上，超超對(duì)爸爸和媽媽說(shuō)，我們社區(qū)水站有三種不同價(jià)格的水，今天我把它們都取了一桶（每桶都是7.5升，它們?cè)谕庥^上完全一致，超超在這三個(gè)桶的隱蔽處作了相應(yīng)的記號(hào)，包括超超在內(nèi)的一家三口都只有看到了記號(hào)才能確定這桶水的水質(zhì)，都不能通過(guò)品嘗來(lái)確定該水的水質(zhì)，品嘗后只能隨機(jī)猜測(cè)該水的水質(zhì)），今天我們僅憑自己的口感來(lái)猜測(cè)這三桶水的水質(zhì).

3針對(duì)新定義題的備考策略

3.1夯實(shí)基礎(chǔ)

考生要重視“夯實(shí)基礎(chǔ)”（包括培養(yǎng)閱讀試題并進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力［4］），因?yàn)楹粚?shí)基礎(chǔ)（包括培養(yǎng)較強(qiáng)的運(yùn)算能力：“會(huì)做”與“做對(duì)”不一樣）是解決新定義題的前提．它可以助力考生在考試中先盡快拿到該題的基礎(chǔ)分（比如第一問(wèn)的分?jǐn)?shù)），同時(shí)也為解答該題的后續(xù)問(wèn)題贏得了寶貴的時(shí)間．

3.2深度拓展

考生要盡可能地深入掌握集合的描述法、數(shù)列的前n項(xiàng)和及通項(xiàng)公式的求法、不等式理論（比如理解均值不等式、柯西不等式、權(quán)方和不等式、排序不等式、加權(quán)平均值不等式、Jensen不等式、Hlder不等式及其內(nèi)在聯(lián)系）；熟練掌握并運(yùn)用初等數(shù)論（包括數(shù)的整除及簡(jiǎn)單的不定方程）中的基礎(chǔ)知識(shí)．

高等數(shù)學(xué)中的重要概念，比如《數(shù)學(xué)分析》中的極限、連續(xù)（一致連續(xù)）、級(jí)數(shù)及其收斂、中值定理、定積分與不定積分、差分算子；《高等代數(shù)》中的矩陣及逆矩陣、行列式、線性變換、二次型、群（環(huán)、域）、《解析幾何》中的極坐標(biāo)系、曲線的平移（旋轉(zhuǎn)）變換、重要曲線的參數(shù)方程、重要曲面的概念及方程等都可能成為新定義題的源泉，考生要盡可能地提前學(xué)習(xí)它們，爭(zhēng)取做到“見(jiàn)多識(shí)廣”.

另外，考生還要“火眼金睛”，能迅速看出試題中的“新定義”，這對(duì)解答該題起著關(guān)鍵作用.比如2024年高考新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷第8題的背景就是“新定義”Fibonacci數(shù)列.

3.3多做真題

新定義題以“新定義”及數(shù)學(xué)中的相關(guān)知識(shí)（比如集合、數(shù)列、不等式等）為載體，考查考生解決綜合問(wèn)題的能力.一般來(lái)說(shuō)，高考數(shù)學(xué)試卷中的新定義題較其他試題差別較大：在高中數(shù)學(xué)教材中幾乎找不到其原型，在日常教學(xué)中也難以找到其解法的蹤影（所以其得分率非常低）.建議考生從高一就開(kāi)始訓(xùn)練新定義題且多做高考真題，比如北京、上海高考數(shù)學(xué)試卷中的新定義題（不僅僅是全卷中的壓軸題）.

很多高考數(shù)學(xué)模擬題中的新定義題質(zhì)量不高：它們只是形式上的“新定義”題但很不“和諧”，命制粗糙、定義是照搬的且遠(yuǎn)超高中生的理解能力、題目敘述冗長(zhǎng)且題意不清晰、背景不深刻、難度太大（幾乎所有考生連該題的基礎(chǔ)分都得不到，導(dǎo)致絕大部分考生看都不看該題一眼）.因而，建議訓(xùn)練模擬題中的新定義題時(shí)要先甄別后研究（包括完成解答），與高考相差太遠(yuǎn)的題要果斷舍去.對(duì)于能力強(qiáng)的高中生，可適當(dāng)做一些重點(diǎn)高校（清華大學(xué)、北京大學(xué)等）的強(qiáng)基計(jì)劃（自主招生）真題、全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）試題，這對(duì)新定義題的訓(xùn)練也大有好處.

3.4盡早規(guī)劃

俗話說(shuō)，預(yù)則立，不預(yù)則廢.考生要想如愿考上頂尖名校，做好新定義題的復(fù)習(xí)備考是必由之路.考生對(duì)新定義題要有比較全面深入的了解、提前做好規(guī)劃、及時(shí)行動(dòng)、充分應(yīng)變，并在做中體味、修正、總結(jié)、提高．

參考文獻(xiàn)

[1]張翼飛，夏建國(guó).關(guān)于2024年全國(guó)新高考Ⅰ卷第19題中Pm的探求[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2024（7）：52-54.

[2]嚴(yán)興光，陳利民.重視研究方法突出素養(yǎng)導(dǎo)向：2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第19題教學(xué)啟示[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2024（10）：61-64.

[3]甘志國(guó).7道原創(chuàng)高考數(shù)學(xué)新定義模擬題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2024（5）：53-57.

[4]甘志國(guó).強(qiáng)烈推薦兩種數(shù)學(xué)考試題型：閱讀題和作文題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（高中），2010（4）：11-15，63.

作者簡(jiǎn)介甘志國(guó)（1971—），男，湖北竹溪人，研究生學(xué)歷，正高級(jí)教師、特級(jí)教師、湖北名師、政府專(zhuān)項(xiàng)津貼專(zhuān)家、北京民進(jìn)名師專(zhuān)家團(tuán)專(zhuān)家、中國(guó)教育專(zhuān)家網(wǎng)高級(jí)專(zhuān)家、甘志國(guó)特級(jí)教師工作室主持人；2018年7月2日，北京市豐臺(tái)區(qū)教育委員會(huì)召開(kāi)了“北京市特級(jí)教師甘志國(guó)教育科研研討會(huì)”；對(duì)高考數(shù)學(xué)試題及重點(diǎn)高校強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題研究深入，鉆研教法與學(xué)法，總結(jié)提出并踐行“懂、會(huì)、熟、巧、通”五步解題學(xué)習(xí)法，“思、探、練、變、提”五步解題教學(xué)法，“知、懂、熟、用、賞”五種解題境界及高中數(shù)學(xué)教學(xué)的四個(gè)關(guān)鍵詞“夯實(shí)基礎(chǔ)、激發(fā)興趣、著眼高考、適當(dāng)提高”，倡導(dǎo)教師要做明師——明白的教師；已發(fā)表文章多篇（2016—2024年均發(fā)表了北京高考數(shù)學(xué)試題綜述文章），已出版獨(dú)著61冊(cè)（其中27冊(cè)署名“甘志國(guó)著”）.