2025年高考“解析幾何”復(fù)習(xí)備考

【摘要】解析幾何是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)，是高考考查的重要內(nèi)容之一.對2021—2024年高考數(shù)學(xué)新高考卷Ⅰ、Ⅱ中的解析幾何試題進行了詳細(xì)的統(tǒng)計與分析，探尋高考命題的趨勢，并精選部分試題供復(fù)習(xí)選用.

【關(guān)鍵詞】解析幾何；命題趨勢；復(fù)習(xí)備考

解析幾何是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn).根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的要求，學(xué)生需要學(xué)會根據(jù)具體問題情境建立平面直角坐標(biāo)系，用代數(shù)語言將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，并通過分析幾何問題（圖形）來探索解決問題的思路，最終運用代數(shù)方法得出結(jié)論，并給出合理的幾何解釋[1].隨著高考改革的深化，對解析幾何的考查也?？汲Ｐ拢瑸榱藴?zhǔn)確把握高考命題的趨勢，筆者對2021—2024年高考數(shù)學(xué)新高考卷Ⅰ、Ⅱ中的解析幾何試題進行了詳細(xì)的統(tǒng)計與分析，希望能夠探尋高考試題的命制方向，并精選部分試題供讀者參考，以便更好地幫助學(xué)生備考.

12021—2024年新高考試卷中“解析幾何”試題統(tǒng)計

自2021年起，多個省份開始采用新課標(biāo)試題.本文對過去四年八套新高考試卷中的解析幾何試題進行了深入的統(tǒng)計分析，根據(jù)試卷、分值、考查題型以及考查背景等維度，對涉及解析幾何知識的試題進行統(tǒng)計與整理，具體結(jié)果如表1所示.

2新高考試題中“解析幾何”的命題特點

2.1考查的題型與分值

從過去四年新高考的八套試卷中可觀察到，“解析幾何”這一模塊的分值基本穩(wěn)定在27分（僅在2022年Ⅰ卷和Ⅱ卷中降至22分，以及在2024年Ⅰ、Ⅱ卷中稍微調(diào)整為26、28分）.試題類型全面，通常包括單選、多選、填空和解答各一道題目.2024年高考試題結(jié)構(gòu)有所調(diào)整，總題量縮減至19道，但“解析幾何”的分值依然保持相對穩(wěn)定，這凸顯了其在高考中的重要地位.在題型方面，新的結(jié)構(gòu)變?yōu)閮傻佬☆}和一道大題，這兩道小題在未來的高考中可能會更加靈活多變，可能是兩個選擇題（一個單選、一個多選），也可能是一個選擇題搭配一個填空題.其中，一道題目相對簡單，側(cè)重于考查基礎(chǔ)知識，而另一道題目則難度適中或偏高，檢驗學(xué)生的關(guān)鍵能力和學(xué)科核心素養(yǎng)，同時也具備了選拔和區(qū)分的功能.

2.2考查的重點與趨勢

2.2.1突出基礎(chǔ)知識，強化關(guān)鍵能力

在高考數(shù)學(xué)中，解析幾何部分的題目既注重基礎(chǔ)知識的掌握，又要求學(xué)生具備較強的綜合運用能力.直線與圓的關(guān)系，特別是圓的切線問題，成為高頻考點，要求學(xué)生準(zhǔn)確理解并熟練運用相關(guān)定理和公式.圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的幾何性質(zhì)也是考試中的?？純?nèi)容，主要考查其定義、性質(zhì)及平面幾何關(guān)系，解題時常結(jié)合方程、函數(shù)、不等式等工具，考查學(xué)生的綜合能力.高考題目通常不給出圖形，這對學(xué)生的空間想象力和建模能力提出了更高要求，解題不僅僅是應(yīng)用公式，更需要通過文字描述構(gòu)建幾何模型，進行合理分析和推導(dǎo).在備考過程中，學(xué)生應(yīng)注重對基本概念、定理和公式的深入理解和記憶，尤其是在解題過程中能夠靈活運用不同的方法，如解析法、幾何法等，形成多角度思考問題的能力.

2.2.2突出幾何直觀，優(yōu)化運算路徑

解析幾何的核心理念在于“先從幾何的視角審視問題，再借助代數(shù)的方法加以解決”，其基本思想是代數(shù)與幾何的有機結(jié)合與相互轉(zhuǎn)化[2].在這一過程中，代數(shù)為求解提供了工具，而幾何則揭示了問題的本質(zhì).近年來，高考解析幾何題目逐漸呈現(xiàn)出這一特征：在扎實掌握代數(shù)運算的基礎(chǔ)上，融入幾何的思維方式，往往能夠有效地簡化解答過程，提升計算效率.通過“以數(shù)助形，以形推數(shù)”的思路，考生不僅能夠在代數(shù)框架中找到解決方案，更能從幾何的角度進行深刻的思考與優(yōu)化，從而實現(xiàn)更高效的解題.

本題第（2）問切入角度較多，合理利用幾何條件，確定點B到直線AP的距離為定值，可以簡化求B點坐標(biāo)的計算過程.若從圖形對稱性的角度去分析，令點B為橢圓的下頂點，發(fā)現(xiàn)三角形的面積恰為9符合已知條件，由橢圓的中心對稱性易求得另一對稱點，此法依據(jù)幾何直觀直擊問題關(guān)鍵，充分體現(xiàn)了“多思少算”的命題理念.

徐利治教授曾指出，幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知.在復(fù)習(xí)解析幾何時，教師應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生運用直觀想象，發(fā)現(xiàn)圖形中潛在的平行、垂直、對稱等幾何特征，從而促進思維的深入與運算路徑的優(yōu)化.

2.2.3突出創(chuàng)新融合，深化試題改革

在試卷結(jié)構(gòu)調(diào)整后，題量有所減少，但試題更加突出創(chuàng)新導(dǎo)向，融匯多板塊知識，旨在引導(dǎo)學(xué)生深入理解和掌握知識的本質(zhì)屬性及其相互關(guān)聯(lián).例如，2024年新課標(biāo)Ⅰ卷第11題考查了新定義曲線方程，實質(zhì)上是對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識之間遷移能力的考查，充分檢驗了學(xué)生的探究和問題解決能力；2024年新課標(biāo)Ⅱ卷第19題巧妙地將數(shù)列與圓錐曲線相結(jié)合，設(shè)問于知識交匯點，考查了知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了知識的綜合性.在試題創(chuàng)新的背景下，備考應(yīng)注重知識的深度理解與內(nèi)在聯(lián)系的把握，避免單純的應(yīng)試訓(xùn)練，著力培養(yǎng)學(xué)生跨學(xué)科思維，強化綜合應(yīng)用能力，提升解決復(fù)雜問題的綜合素質(zhì).

32025年新高考“解析幾何”知識點與試題

3.1單選題

3.2多選題

3.3填空題

3.4解答題

參考答案

一、單選題

二、多選題

三、填空題

四、解答題

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]田晨曦，李瓊，劉暢.分析高考試題把握教學(xué)方向：2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷和新課標(biāo)Ⅱ卷解析幾何試題的教學(xué)啟示[J].中國數(shù)學(xué)教育，2024（12）：38-42.

作者簡介金保源（1980—），男，湖北天門人，高中數(shù)學(xué)高級教師，廣東省李曉波名師工作室助手，惠州市高中數(shù)學(xué)核心備課組成員，惠陽區(qū)高中數(shù)學(xué)骨干教師；研究方向為高中數(shù)學(xué)教育教學(xué).