2025年高考“立體幾何”復習指導與命題預測

【摘要】給出2024年高考試題的命題特點和規(guī)律，結合近幾年各地相關經(jīng)典模擬試題的改編題和自編題，給出2025年高考立體幾何客觀試題和主觀解答題兩類題型的6個重點提醒，探尋高考命題的規(guī)律與趨勢．

【關鍵詞】立體幾何；復習指導；命題預測

立體幾何的研究對象是現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小和位置關系，是高中教學和高考的重要內(nèi)容之一，包含立體幾何初步和空間向量兩部分.近幾年來，高考立體幾何試題依據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下簡稱“新課標”）強化對必備知識、關鍵能力、核心素養(yǎng)的考查.必備知識的考查主要體現(xiàn)：如，“空間幾何體的結構特征”考向方面，對簡單幾何體的表面積與體積的考查；“空間點、直線、平面之間的位置關系”考向方面，對空間中的點、線、面位置關系的判斷及證明；“空間向量與立體幾何”考向方面，對解決空間中的夾角與距離問題等的考查.關鍵能力的考查，主要體現(xiàn)：如，邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學建模能力、創(chuàng)新能力等；核心素養(yǎng)的考查，主要體現(xiàn)：如，數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等.下面，我們對2024年新高考全國數(shù)學Ⅰ卷、Ⅱ卷、全國數(shù)學甲卷（文理）及北京卷、上海卷（夏季高考）、天津卷等7套試題中立體幾何試題進行分析，并對2025年高考立體幾何熱點問題進行預測，供考前備考參考．

12024年立體幾何命題分析

2024年高考數(shù)學試卷包括新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、全國甲卷（文、理科）、北京卷、上海卷和天津卷共7套.各套試題均面向全體考生，重視“四基”（基礎知識、基本技能和基本思想）．從試題數(shù)量看，甲卷（文理）及天津卷均為“兩小一大”，上海卷（夏季高考）無小題出現(xiàn)，其他卷均為“一小一大”，尤其新高考兩套全國卷2024年比2023年“二小一大”少一道小題；從命題形式來看，立體幾何題目包括單項選擇題、填空題和解答題，客觀小題主要在單選題和填空題出現(xiàn)，一道主觀解答題（除了天津三小問外，其他均2小問）；從立體幾何試題總分看，上海卷14分（約占全卷9.3%）、全國甲卷22分（約占全卷1467%），其他卷均20分（約占全卷13.3%）；試題的幾何體載體涉及廣泛，如圓（棱）柱、圓（棱）錐、圓（棱）臺等，少數(shù)涉及其他“非規(guī)正”的其他幾何體；試題難度整體上相對保持穩(wěn)定，難易適中．

其中，客觀小題仍然呈現(xiàn)一貫風格，一般不給出圖形，（除天津卷2道單選題，一個無圖，一個有圖），需要考生自己通過對題設條件的閱讀和分析畫圖、析圖和用圖解題，注重考查考生作圖能力和空間想象能力，主要注重從幾何體的體積與側面積的計算、點線面位置關系判斷等知識點考查基礎落實情況．主觀解答題，都給出圖形，命題形式相對固定，多為2小問設計，既有證明題型（平行與垂直），又有計算題型（多為基于二面角的計算），主要還是基于向量法的求解思路，求解過程中關注平面幾何圖形及其關系的挖掘、論證，滲透線面平行、垂直的性質(zhì)定理和判定定理的考查，需要學生“庖丁解牛”，進行嚴謹?shù)倪壿嬐评砗秃侠淼臄?shù)學運算．一題多問給不同層次的學生提供了不同的發(fā)揮空間．

1.1新高考Ⅰ卷

2024年新高考Ⅰ卷立體幾何試題“一小一大”，總分值為20分.第5題，單選題5分，無圖，以圓柱、圓錐為載體，考查圓柱與圓錐幾何體側面積及圓錐體積的計算，屬于基礎題.第17題，解答題15分，有圖，以四棱錐為載體，滲透線面垂直的判定與性質(zhì)，共兩小問：其中第一問證明題，考查線面平行的判定；第二問，條件呈現(xiàn)方式較常規(guī)方式而言逆向設計（與2023年新高考Ⅰ卷第18題第二問類似），已知二面角正弦值求線段長度，增加了一定計算量，屬于基礎題，突出向量法.

1.2新高考Ⅱ卷

2024年新高考Ⅱ卷立體幾何試題“一小一大”，總分值為20分.第7題，單選題5分，無圖，以正三棱臺為載體，主要考查正三棱臺幾何體體積及線面角的計算，重在條件的轉化，屬于基礎題.第17題，解答題15分，有圖，以折疊問題為背景、五棱錐為載體，主要考查線線垂直、線面垂直的判定與性質(zhì)，共兩小問：其中第一問證明線線垂直；第二問，二面角相關計算（正弦值）問題，屬于基礎題，突出向量法.

1.3全國甲卷

2024年全國甲卷理科，立體幾何試題“兩小一大”，總分值為22分.第10題，單選題5分，無圖，以簡易邏輯推理題（真命題判斷）形式為載體，主要考查空間直線與直線、直線與平面之間的位置關系的判定（平行、垂直的判定及性質(zhì)）等，屬于基礎題.第14題，填空題5分，無圖，以圓臺為載體，主要考查圓臺的體積計算，屬于基礎題.第19題，解答題12分，有圖，以五面體為載體，共兩小問：其中第一問證明線面平行；第二問，二面角相關計算（正弦值）問題，屬于基礎題，突出向量法.

2024年全國甲卷文科立體幾何試題，基本與理科試題一樣“兩小一大”，總分值為22分.第11題同甲卷理科第10題；第14題同甲卷理科第14題.第19題除了第（2）問外，均同甲卷理科第19題，第二問，計算“點面距”（主要運用等體積法），屬于基礎題.

1.4北京卷

2024年北京卷立體幾何試題“一小一大”，總分值為20分.第14題，填空題5分，無圖，以數(shù)學文化為背景，以圓柱為載體，主要考查圓柱體積、等比數(shù)列通項公式運用等，屬于基礎題.第17題，解答題15分，有圖，以四棱錐為載體，主要考查線面平行、線面垂直的性質(zhì)，共兩小問：其中第一問證明線面平行；第二問，基于線面垂直，求兩個平面的夾角的余弦值，屬于基礎題，向量法和幾何綜合法均可，突出思維的靈活性考查.

1.5上海卷

2024年上海（夏季高考）卷立體幾何試題僅1道解答題，14分.有圖，以正四棱錐為載體，共兩小問：其中第一問求圓錐體積；第二問，求線面角的大小，屬于基礎題，向量法和幾何綜合法均可，突出思維的靈活性考查.

1.6天津卷

2024年天津卷立體幾何試題“兩小一大”，總分值為25分.第6題，單選題5分，無圖，以簡易邏輯推理題（真命題判斷）形式為載體，主要考查空間直線與直線、直線與平面之間的位置關系的判定（平行、垂直）等，屬于基礎題.第9題，單選題5分，有圖，以基于棱柱截去一部分形成的五面體為載體，主要考查幾何體的體積計算等，突出補形法求幾何體體積，屬于基礎題.第17題，解答題15分，有圖，以四棱柱為載體，主要考查線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)，共三小問：其中第一問證明線面平行；第二問，求兩個平面的夾角的余弦值；第三問，求點到平面的距離.三問都屬于基礎題.

22025年高考立體幾何預測

下面我們結合2024年高考試題的命題特點和規(guī)律，通過近幾年各地相關經(jīng)典模擬試題的改編題和自編題，給出2025年高考立體幾何客觀試題和主觀解答題兩類題型的6個重點提醒，探尋高考命題的規(guī)律與趨勢，以便一線教師更好地把握立體幾何復習的方向、突破高考的重點和難點，供考前備考參考．

2.1重視空間點、直線、平面之間的位置關系三種語言的相互轉化

高考試題注重以空間中的直線、平面的位置關系為背景，從空間元素共面、直線與直線、直線與平面的位置關系（垂直或平行等）出發(fā)，綜合考查立體幾何的基礎知識以及空間想象能力和邏輯推理能力.此類試題多源于教材，貼近高中課程標準要求，有一定的綜合性，可以多側面、多層次有效考查考生對相關知識的掌握程度及直觀想象和邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).復習中，教師要強化相關知識的基礎性和綜合性，發(fā)展學生的轉化與化歸思想和空間想象能力，強化學生三種語言間的相互轉化（自然語言、符號語言和圖形語言）：學生需要根據(jù)題目的條件，熟練地將符號語言轉化為圖形語言來解決問題；學生需要運用數(shù)學作圖技能作出正方體等幾何直觀圖，以此為載體識圖、用圖，進行選項排除，可降低空間想象難度.

2.2重視常見簡單幾何體的基本結論和基本運算

空間中線與線、線與面的垂直、平行關系是立體幾何中重要的基礎性內(nèi)容，學生需要正確理解、熟練運用這些基礎知識以解決相關問題.高考試題注重常見的簡單幾何體，如正棱錐、長方體、直棱柱、圓柱、正棱臺等，特別正三棱錐和正方體中常見的點線面位置關系、數(shù)量關系等基本結論，考生熟練掌握后有助于思路形成和快速作答.

對于判定或證明平行與垂直、計算角或距離等，在幾何法和向量法（基底法或坐標法）中靈活選擇.

2.3重視以簡單幾何體或組合體為載體的體積、表面積、角、距離等運算

高考試題面向全體學生，聚焦基本立體圖形，重視以簡單幾何體或簡單組合體為載體，考查球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計算公式，并用其解決簡單的實際問題，在空間想象能力、邏輯推理能力、運算求解能力等方面對學生作了基礎性考查.教學中，要擯棄偏、難、怪題，學生要熟悉柱、錐、臺及簡單組合體的概念、結構特征和基本性質(zhì)，會求柱、錐、臺和組合體的表面積和體積；會求異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角的大小或三角函數(shù)值；會求兩點間的距離（含多面體和旋轉體表面上兩點間最短距離）、點到直線的距離、點到平面的距離、直線與直線間的距離、直線與平面間的距離和平面與平面間的距離等[1]．

2.4重視空間向量在不同類型幾何體中的解答題規(guī)范性訓練

立體幾何解答題一般一題兩問或者一題三問，分數(shù)為12分、14分、15分（全國新高考卷一般為15分）．試題多考查考生對簡單幾何體的認識，考查直線與直線、直線與平面和平面與平面的位置關系，考查二面角、空間直角坐標系，考查考生的推理論證能力、空間想象能力和運算求解能力，重點突出對基礎性和綜合性的考查.

教學中，教師要注意題目載體可以是常見的柱、錐、臺體和其組合體，也可以是不規(guī)則幾何體，所選試題要涉及空間概念和線線、線面、面面關系，貼近廣大學生的學習實際，準確把握相關幾何要素，把向量運算、空間建系、二面角的平面角作圖等較好地融人試題問題中；給出多樣的信息含量，為學生分析問題和解決問題提供多種思路和方法：通過問題的分層設計，給不同基礎的學生提供想象的空間和多角度的思維平臺，給不同思維方式（建系思維與幾何思維）的學生都提供發(fā)揮的空間；解題過程要使用準確的符號語言表達，說理時要寫全條件，證明分為計算證明和邏輯證明．在注重立體幾何基礎知識掌握的同時，著重發(fā)展學生的化歸與轉化思想，注重空間想象能力、邏輯推理能力、化歸與轉化能力和運算求解能力的訓練.

2.4.1以棱柱為載體的解答題圖6

2.4.2以棱錐為載體的解答題圖7

2.4.3以棱臺為載體的解答題

2.4.4以圓錐（或圓臺）為載體的解答題

2.4.5以不規(guī)則幾何體為載體的解答題

2.5重視動態(tài)幾何問題

2.5.1平面的平移運動

2.5.2平面的旋轉運動

2.6重視立體幾何中數(shù)學建模和跨主題領域知識的綜合運用

參考文獻

[1]劉才華.2024年高考“立體幾何”復習指導與命題預測[J].中學數(shù)學雜志，2024（3）：53-59.

作者簡介吳光潮（1979—），中學高級教師;主要從事中學數(shù)學教育教學研究．

鄧建書（1974—），中學正高級教師;主要從事中學數(shù)學教育教學研究．