信息技術(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

摘要：在高中教育階段，數(shù)學(xué)是一門重要學(xué)科，知識(shí)具有典型的抽象性特征，學(xué)習(xí)起來(lái)難度相對(duì)較大，教師可合理應(yīng)用信息技術(shù)改進(jìn)教學(xué)形式.文章以“正余弦函數(shù)的圖象”為例，探討合理應(yīng)用信息技術(shù)引領(lǐng)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，幫助他們掃清學(xué)習(xí)障礙.

關(guān)鍵詞：信息技術(shù)；高中數(shù)學(xué)教學(xué)；正余弦函數(shù)；圖象

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）06-0005-03

收稿日期：2024-11-25

作者簡(jiǎn)介：黃美金，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一直以來(lái)，高中數(shù)學(xué)都是一門難度較大的科目，知識(shí)內(nèi)容同初中相比顯得更加深?yuàn)W，研究范圍也有擴(kuò)大，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、思維能力與認(rèn)知能力等均有著較高要求，致使他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中極易遇到困難.面對(duì)這一局面，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)與時(shí)俱進(jìn)，在“正余弦函數(shù)的圖象”教學(xué)中積極應(yīng)用信息技術(shù)，對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)模式進(jìn)行優(yōu)化，豐富正余弦函數(shù)圖象的呈現(xiàn)形式與資源，帶領(lǐng)學(xué)生高效學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，幫助他們透徹理解正余弦函數(shù)圖象的規(guī)律與性質(zhì)[1].

1做好教學(xué)準(zhǔn)備

1.1深度分析教材

“正余弦函數(shù)的圖象”屬于人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第五章《三角函數(shù)》中《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》的內(nèi)容，在整個(gè)單元中，不僅是對(duì)前面所學(xué)三節(jié)課的深化，還為后面學(xué)習(xí)三角函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用做鋪墊，起著承上啟下的作用.本節(jié)課在新教材中，先通過(guò)正弦函數(shù)的概念引出常規(guī)畫法，再揭示具體正弦函數(shù)圖象的繪制，還明確涉及信息技術(shù)的運(yùn)用，通過(guò)信息技術(shù)可以把大量的點(diǎn)呈現(xiàn)出來(lái)，且采用光滑的曲線進(jìn)行連接，即可得到正弦函數(shù)圖象，順勢(shì)引出“五點(diǎn)法”，然后繪制余弦函數(shù)的圖象.

1.2明確教學(xué)目標(biāo)

（1）帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)過(guò)正弦函數(shù)的整個(gè)繪制流程，體會(huì)到利用概念的幾何意義繪制正弦函數(shù)圖象的合理性和優(yōu)越性，真正感受到信息技術(shù)的作用和價(jià)值，了解由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)問(wèn)題處理能力，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力；

（2）幫助學(xué)生感知到“五點(diǎn)法”在畫函數(shù)圖象時(shí)的便利性與敏捷性，使其會(huì)據(jù)此準(zhǔn)確畫出正弦函數(shù)的圖象，不斷豐富他們的畫圖經(jīng)驗(yàn)；

（3）指導(dǎo)學(xué)生使用圖象變換的方式依托正弦函數(shù)圖象繪制出余弦函數(shù)的圖象，體會(huì)到三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的實(shí)用性，以及數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想的價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在的內(nèi)在聯(lián)系；

（4）通過(guò)繪制正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真負(fù)責(zé)的學(xué)習(xí)精神和勇于探索、勤于思考的科學(xué)素養(yǎng)，增強(qiáng)他們透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)的能力.

2教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

2.1注重知識(shí)聯(lián)系，引出新課主題

數(shù)學(xué)知識(shí)有著自身的獨(dú)立體系，新舊知識(shí)之間往往存在著一定的聯(lián)系.在本節(jié)課教學(xué)中，教師可要求學(xué)生回顧學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的方法及過(guò)程，概括出學(xué)習(xí)函數(shù)的基本思路，使其據(jù)此猜測(cè)學(xué)習(xí)完三角函數(shù)的概念和誘導(dǎo)公式以后，就該研究三角函數(shù)的圖象，順勢(shì)指出先學(xué)習(xí)正弦與余弦函數(shù)的圖象，由此引出新課主題.

設(shè)計(jì)意圖圍繞單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)展開(kāi)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)回顧舊知識(shí)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)整理學(xué)習(xí)函數(shù)的一般思路，激活他們的知識(shí)背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的順序性、整體性和結(jié)構(gòu)性.

2.2結(jié)合學(xué)生學(xué)情，巧妙設(shè)疑置惑

在本環(huán)節(jié)中，教師可直接給出新問(wèn)題：如何畫出和研究正弦函數(shù)y＝sinx的圖象？根據(jù)之前繪制函數(shù)圖象的方法與經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)想到同樣可利用“描點(diǎn)法”畫出正弦函數(shù)的圖象時(shí)，該如何取點(diǎn)與描點(diǎn)？他們根據(jù)以往學(xué)習(xí)經(jīng)歷指出取點(diǎn)時(shí)可尋找一些特殊點(diǎn)，主要包括兩種情況：

（1）當(dāng)y值為整數(shù)的幾個(gè)特殊點(diǎn)，包括（0，0），（π2，1），（π，0），（3π2，-1），（2π，0）等；

（2）選擇已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的一些特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行描點(diǎn)，包括（0，0），（π4，22），（π2，1），（3 π4，22），（π，0）等.

接著，教師設(shè)置問(wèn)題：在描點(diǎn)過(guò)程中是否遇到過(guò)難題？主要有哪些？要求學(xué)生在練習(xí)紙上畫出一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，找到剛才所列出的三角函數(shù)中這些特殊點(diǎn)的位置，他們發(fā)現(xiàn)很難精準(zhǔn)無(wú)誤地確定這些點(diǎn)的位置，特別是涉及的角都與π有關(guān)，函數(shù)值里面還帶有根號(hào)，所以畫出的圖象不夠準(zhǔn)確.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生利用已經(jīng)積累的畫函數(shù)圖象的經(jīng)驗(yàn)，嘗試自己動(dòng)手描點(diǎn)，真實(shí)感受到如果點(diǎn)的位置不準(zhǔn)確，畫出的圖象自然也不準(zhǔn)確，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為下一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的推進(jìn)做鋪墊.

2.3應(yīng)用信息技術(shù)，啟發(fā)學(xué)生思考

教師先拋出問(wèn)題：如何準(zhǔn)確找到圖象上的點(diǎn)，比如（3π4，22），大家有什么好的方法？此時(shí)要尋找問(wèn)題的源頭，聯(lián)系任意角的概念，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？師生一起展開(kāi)分析：結(jié)合前面對(duì)三角函數(shù)概念與弧度制相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，當(dāng)研究任意角的三角函數(shù)時(shí)，要想保持一般性，通常會(huì)利用單位圓，將單位圓與三角函數(shù)的概念相結(jié)合，能夠確定（3π/4）表示的就是135°角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，sin（3π/4）則是角（3π/4）的終邊和單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

接著，教師講述：在以上環(huán)節(jié)，你們分析的是部分特殊點(diǎn)在一個(gè)單位圓中相應(yīng)的弧長(zhǎng)，那么對(duì)于任意點(diǎn)（x0，sinx0）如何在單位圓中找到相對(duì)應(yīng)的幾何量？學(xué)生能夠聯(lián)想到同樣利用單位圓來(lái)確定x0與sinx0所對(duì)應(yīng)的幾何量，然后追問(wèn)：如何精確找到任意點(diǎn)（x0，sinx0）？教師使用信息技術(shù)手段動(dòng)態(tài)化演示單位圓平移和滾動(dòng)的過(guò)程，即先在一個(gè)單位圓中任意取一個(gè)點(diǎn)B，讓點(diǎn)A在x軸上，設(shè)∠AOB的弧度數(shù)為x0，使這個(gè)單位圓在x軸上滾動(dòng)，能夠得到一個(gè)橫坐標(biāo)x0，其縱坐標(biāo)與點(diǎn)B相同，將MB進(jìn)行平移至x0位置，便可獲得點(diǎn)T，如圖1.

設(shè)計(jì)意圖在教師提問(wèn)、引導(dǎo)與追問(wèn)下，驅(qū)使學(xué)生由淺及深地展開(kāi)思考，發(fā)散思維空間，把學(xué)習(xí)難點(diǎn)加以拆分，使其體會(huì)到僅僅依靠傳統(tǒng)教學(xué)方式難以精準(zhǔn)確定三角函數(shù)圖象上的點(diǎn)，隨著信息技術(shù)的應(yīng)用，讓他們初步感知到引入新技術(shù)的優(yōu)勢(shì)與必要性，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)[2].

2.4借助信息技術(shù)，增進(jìn)思維深度

教師直接提出問(wèn)題：你們已經(jīng)知道如何準(zhǔn)確找到正弦函數(shù)圖象上具體點(diǎn)所處的位置，現(xiàn)在該如何畫出函數(shù)y=sinx的圖象？學(xué)生應(yīng)用信息技術(shù)手段，精準(zhǔn)找到三角函數(shù)y=sinx中情況（1）與（2）的幾個(gè)特殊點(diǎn)，并使用光滑的曲線進(jìn)行連接，便可得到y(tǒng)=sinx的圖象，分別如圖2與圖3所示.

接著，教師提問(wèn)：你們都這樣認(rèn)為嗎？有什么不同的看法？觀察這兩個(gè)圖象，存在哪些相同之處？學(xué)生認(rèn)真觀察以后發(fā)現(xiàn)形狀相同，點(diǎn)的區(qū)間均為[0，2π]，教師借機(jī)追問(wèn)：誰(shuí)知道正弦函數(shù)的定義域？正弦函數(shù)在整個(gè)定義域中圖象是什么形狀？提示學(xué)生根據(jù)之前所學(xué)的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式一進(jìn)行分析，可把y=sinx∈[0，2π]的圖象持續(xù)往左、右兩邊進(jìn)行平移，每次只平移2π個(gè)單位長(zhǎng)度，便能夠獲得y=sinx的整個(gè)圖象，指導(dǎo)他們共同總結(jié)如何描述正弦曲線.

之后，教師提問(wèn)：假如在準(zhǔn)確度要求一般的情形下，該如何迅速簡(jiǎn)便地畫出正弦函數(shù)在區(qū)間[0，2π]中的圖象？提示學(xué)生仔細(xì)觀察以上兩個(gè)圖象，指出，僅僅使用5個(gè)點(diǎn)就能夠?qū)崿F(xiàn)這一目的，由此引出“五點(diǎn)法”.

設(shè)計(jì)意圖觀察圖2與圖3的異同之處與取點(diǎn)的具體區(qū)間，能夠充分激起學(xué)生的認(rèn)知沖突，使其展開(kāi)深層次的思考，在信息技術(shù)助力下直觀感知正弦函數(shù)圖象的特征與周期變化，增強(qiáng)他們的邏輯推理能力與數(shù)學(xué)思維能力.

2.5強(qiáng)調(diào)類比遷移，鼓勵(lì)自主探究

教師提出問(wèn)題：如何畫余弦函數(shù)y=cosx圖象？由學(xué)生結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類比遷移，得出以下方法：（1）同正弦函數(shù)類比，也使用單位圓；（2）如果對(duì)精準(zhǔn)度要求一般，可使用“五點(diǎn)法”；（3）結(jié)合誘導(dǎo)公式與正余弦函數(shù)進(jìn)行聯(lián)系.重點(diǎn)研究第（3）種方法，引導(dǎo)他們使用誘導(dǎo)公式得到sin（x+π2）=cosx，使其據(jù)此嘗試根據(jù)正弦函數(shù)的圖象獲得余弦函數(shù)的圖象.

接著，教師給予引導(dǎo)性提問(wèn)：如何通過(guò)函數(shù)y=sinx的圖象得到函數(shù)y=sin（x+π2）的圖象？提示學(xué)生采用由特殊到一般的思想方法，根據(jù)函數(shù)y=sinx圖象上的5個(gè)關(guān)鍵特殊點(diǎn)能夠得到函數(shù)y=sin（x+π2）圖象上的5個(gè)關(guān)鍵特殊點(diǎn)分別是（0，1），（π2，0），（π，-1），（3π2，0），（2π，1），然后應(yīng)用信息技術(shù)手段把這兩個(gè)函數(shù)的圖象展示到同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，如圖4所示.觀察這兩個(gè)函數(shù)的圖象，交流各自所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，可以將y=sinx圖象上的5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)向左平移π/2個(gè)單位長(zhǎng)度，即可獲得函數(shù)y=sin（x+π2）的圖象上的5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).隨后教師追問(wèn)：如何從點(diǎn)（x0，sinx0）獲得特殊點(diǎn)（x0，sin（x0+π2）？引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行遷移，指出可以把點(diǎn)（x0，sinx0）向左平移π/2個(gè)單位長(zhǎng)度，這樣能夠?qū)⒑瘮?shù)y=sinx圖象上的點(diǎn)進(jìn)行同樣的移動(dòng)，必能獲得y=cosx的圖象，引領(lǐng)他們掌握描述余弦函數(shù)曲線的方法.

3結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，教師需主動(dòng)融入信息技術(shù)手段，還原數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程，呈現(xiàn)出各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系與邏輯關(guān)系，帶給學(xué)生與眾不同的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，加深他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，使其整體學(xué)習(xí)效果變得更佳.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 王桂花.深度融合：信息技術(shù)助力高中數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新策略[J].中小學(xué)信息技術(shù)教育，2024（04）：80-81.

[2] 王淑萍.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中信息技術(shù)的多元化運(yùn)用分析[J].數(shù)理天地（高中版），2024（05）：127-129.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］