基于APOS理論的高中數(shù)學概念課教學設計與反思

摘要：APOS理論是由杜賓斯基提出，這種學習理論是以建構(gòu)主義為出發(fā)點，真實地將學習和理解高中數(shù)學概念的過程反映出來，它的核心是指導學生從生活實例、探索、活動中學習數(shù)學知識，分析數(shù)學問題.文章結(jié)合“數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念”這個課例，由APOS理論四個階段延伸出六步驟教學環(huán)節(jié)，幫助學生理解復數(shù)概念，從而讓學生在大腦中抽象出自己的概念圖式.

關鍵詞：概念教學； APOS理論；復數(shù)概念；教學設計

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）06-0060-04

收稿日期：2024-11-25

作者簡介：李小梅，本科，一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

在高中課堂教學中，我們發(fā)現(xiàn)學生對于數(shù)學概念的學習不是很理想，在解題時會出現(xiàn)各種錯誤，原因就在于對相應的數(shù)學概念沒有及時理解.因此，有效的概念教學，除了能提高學生的解題質(zhì)量外，還能教會學生學習類似概念知識的方法.但在教學中，許多教師都是匆匆講完定義就開始做題，從而導致一些高中數(shù)學概念課成為一節(jié)習題課，這種模式常常導致學生對概念一知半解，運用不靈活[1].而杜賓斯基提出的APOS四階段理論就很適用于概念教學，該理論對學生的概念理解有所幫助.

1APOS理論簡述

APOS學習理論從建構(gòu)主義出發(fā)，將數(shù)學概念的學習分為如下四個階段：“Action”（操作）、“Process”（過程）、“Object”（對象）、“Schema”（圖式）[2].它主要是幫助學生從探索出發(fā)理解概念，進而用不同的問題情境加深學生對概念的理解.

1.1操作（Action）階段——創(chuàng)設情境引入概念

操作階段就是利用數(shù)學情境讓學生體驗知識的發(fā)生發(fā)展過程，從而體會到概念與概念間的聯(lián)系.

1.2過程（Process）階段——規(guī)律探索提煉概念本質(zhì)

教師在課堂教學中要學會發(fā)揮學生的主體性，用一系列的操作作為學生思考的過程，充分引入情境教學，讓學生能夠自己對概念進行概括.

1.3對象（Object）階段——分析概念的內(nèi)涵與外延，辨析概念

概念作為學生要學習的對象，有了前面過程的思考，教師需要引導學生給概念對象下定義及符號表示，讓學生更加具體地揭示概念的關系.

1.4圖式（Scheme）階段——知識升華，形成概念結(jié)構(gòu)

圖式階段要求學生通過前面概念的學習，以及對例題與變式的思考，將知識進行升華，從而形成自身的概念結(jié)構(gòu).

2六步教學環(huán)節(jié)流程及說明

基于上述APOS的四個階段，以下得出概念教學的六步教學環(huán)節(jié)，具體流程如圖1.

基于APOS理論的概念教學設計六步教學環(huán)節(jié)包括：引→提→探→懂→精→用，下面是對這六步的含義進行說明.

“引”是指情境的引入，教學中，要根據(jù)不同概念內(nèi)容及特點創(chuàng)設出合理且符合學生認知規(guī)律的情境，讓學生對即將學習的新概念產(chǎn)生求知欲.

“提”就是根據(jù)情境產(chǎn)生的疑問讓學生主動提出問題，從而對相應問題進行思考，特別是對問題中涉及的高中數(shù)學課里的未知概念和未知知識點，教師應引導學生對問題提出解決方法.

“探”是指對問題、對活動的探究.“探”主要在于讓學生弄清概念是什么，注重的是為什么概念是這樣的過程.所以，教師在概念的教學設計中要設置一些合理的符合學生認知規(guī)律的探究活動，讓學生理解本節(jié)課所學的概念是什么，表述的方式是怎樣的.

“懂”即理解，能完整地表達出所學的新概念，能將高中課程里的概念數(shù)學化、符號化，從而理解概念的本質(zhì).教師要將概念里包含的要素以及特點強調(diào)清楚，為利用概念解決問題作好鋪墊.

“精”指精細概念，對概念進行辨析，辨別出不同概念間的異同點，使概念達到精致化，從而具體化.

“用”指的就是概念的運用以及知識遷移.利用新學的概念解決新的數(shù)學問題時，教師可以先讓學生獨立思考，然后再稍作引導，這樣學生才能將新舊概念相互聯(lián)系，進而明白如何運用新的概念.

3“數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念”教學設計

為了把發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的機會還給學生，把成功的體驗讓給學生，教材采用APOS理論引導教學，讓學生體驗探索概念形成的樂趣.復數(shù)的引入是中學階段數(shù)系的最后一次擴充，《普通高中數(shù)學課程課標（2017年版）》[3]提到，可以創(chuàng)設一些問題情境，讓學生逐步了解數(shù)系的擴充過程，體會當實際需求與現(xiàn)有數(shù)學知識產(chǎn)生矛盾時，如何從現(xiàn)有的運算規(guī)則、方程理論得到啟發(fā)，進而體現(xiàn)數(shù)系擴充的價值，所以本節(jié)內(nèi)容通過創(chuàng)設情境，讓學生參與活動去構(gòu)建概念就尤為重要.

3.1活動階段（創(chuàng)設情境，發(fā)現(xiàn)問題）

第一步：“引”.

情境：如何將10分成兩部分，使它們的乘積等于40？這是意大利數(shù)學家卡爾達諾曾提出的一個著名問題.

師生活動：上述問題用數(shù)學符號表示就相當于研究二次方程x2-10x+40=0是否有兩個解.

追問：根據(jù)初中學習的一元二次方程知識，我們該如何探究上述方程的解呢？

師生活動：采用配方法變形得到（x-5）2=-15，

這說明方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解.

追問：方程（x-5）2=-15是否有解的問題可不可以變換成一般的情形呢？

師生活動：教師引導學生將方程（x-5）2=

-15一般化，也就是解決方程x2=-a（agt;0）是否有解的問題，再進一步可以轉(zhuǎn)化為x2=-1是否有解.

設計意圖從數(shù)學家卡爾達諾的著名問題入手，創(chuàng)設數(shù)學文化情境，引發(fā)學生的認知沖突，從而產(chǎn)生對數(shù)系新領域的探索

欲望，進而激發(fā)學生的求知欲，順利引入新課.

3.2過程階段（提出問題，探究本質(zhì)）

第二步：“提”.

提出問題：我們知道方程x2=-1在實數(shù)范圍內(nèi)是沒有解的，此時在實數(shù)范圍內(nèi)數(shù)已經(jīng)不夠用，這種情形從小學到現(xiàn)在我們已經(jīng)經(jīng)歷過多次，這就是我們不斷學習的數(shù)的擴充問題.再次回顧以前解決“數(shù)不夠用”問題的方法，具體過程如圖2.

我們發(fā)現(xiàn)，引入新元素能讓數(shù)集不斷擴大，方程得到求解，受此啟發(fā)，提出想法，我們可以嘗試引入新元素，使得x2=-1有解.

師生活動：引入新數(shù)“i”，它取自imaginary（想象的，假想的）一詞的詞頭，是由數(shù)學家歐拉提出的，并規(guī)定i2=-1.

設計意圖回顧數(shù)系擴充的歷史發(fā)展過程，讓數(shù)系的擴充更加完善，也為“i”的引入提供借鑒方法，揭示類比學習的思想.讓學生主動提出探究數(shù)集擴充的必要性.

第三步：“探”.

追問：實數(shù)集里加入新的元素“i”后構(gòu)造出一個新的集合A，我們將兩個實數(shù)a，b與“i”進行任意的加法、乘法運算，得到的新數(shù)有什么形式呢？

師生活動：可以發(fā)現(xiàn)新數(shù)有如下的形式：ai，a+bi，ab+ai，上述這些新數(shù)具有相同的特征，也就是實數(shù)+實數(shù)×i，通過比較發(fā)現(xiàn)，原來的所有實數(shù)以及i也能用這種形式呈現(xiàn)：實數(shù)+0×i，0+1×i.

教師總結(jié)：通過探究發(fā)現(xiàn)，新的數(shù)集里面的數(shù)都可以寫成固定的形式，也就是a+bi的形式，這里要求a∈R，b∈R.

設計意圖弗賴登塔爾的再創(chuàng)造教育理論指出：學生通過課堂中的體驗與探究，重新將要學的東西發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來.數(shù)系經(jīng)過擴充后仍然要保持原來的運算性質(zhì)，根據(jù)這一特征，讓學生感受數(shù)學形式和符號化的過程，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng).

3.3對象階段（分析問題，精細概念）

第四步：“懂”.

給出概念：形如a+bi（a∈R，b∈R）的數(shù)叫做復數(shù)，用字母z表示，其中a叫做復數(shù)的實部，b叫做復數(shù)的虛部，所有復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，記為C，即C=a+bi|a∈R，b∈R .

提問：兩個復數(shù)相等的充要條件是什么？

師生活動：兩個復數(shù)可以設為a+bi和c+di，若a+bi=c+di，則a=c，b=d.

追問：復數(shù)何時為實數(shù)？a+bi=0需要滿足什么條件？

師生活動：學生思考后回答，教師適當作補充.當b=0時，復數(shù)為實數(shù)；當a=b=0時，a+bi=0.

追問：在實數(shù)集中，兩個數(shù)可以比較大小，那兩個復數(shù)可以比較大小嗎？

師生活動：復數(shù)中i的大小很難界定，所以可以把復數(shù)看成有序?qū)崝?shù)對，因此兩個復數(shù)不能比較大小.

設計意圖類比實數(shù)集，再對復數(shù)概念的一些問題進行探究，給出兩個復數(shù)相等的含義以及復數(shù)不能比較大小，幫助學生理解辨析.

第五步：“精”.

提問：舉出如下幾個復數(shù)-2+13i，2+i，1，-i，i，0，這些復數(shù)的實部、虛部分別是什么？

師生活動：這幾個復數(shù)中有一些比較特殊，究其原因，得到復數(shù)的幾種分類：

復數(shù)z實數(shù)（b=0）虛數(shù)（b≠0）純虛數(shù)（a=0）非純虛數(shù)（a≠0）

追問：有了上述分類后，大家能發(fā)現(xiàn)復數(shù)集R與實數(shù)集R之間有怎樣的關系？

師生活動：每個實數(shù)都可以看成是b=0的復數(shù)，從而實數(shù)集R是復數(shù)集R的子集，從而得到如圖3所示的venn圖：

設計意圖對復數(shù)進行分類能強化復數(shù)的概念，教師引導學生比較復數(shù)集與實數(shù)集的異同，精細概念，能加深對復數(shù)概念的深層次理解.

3.4圖式階段（知識遷移，數(shù)學應用）

第六步：“用”.

例1m為何實數(shù)時，復數(shù)z=（2+i）m2-3（i+1）m-2（1-i）是： （1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)．

師生活動：找到這種類型題的方法規(guī)律，由學生歸納，教師給予引導．

例2求滿足下列條件的實數(shù)x，y的值：（x+y）+（y-1）i=（2x+3y）+（2y+1）i.

師生活動：左右兩邊的復數(shù)均有實部和虛部，當其形式化為a+bi后，利用復數(shù)相等的充要條件列出方程（組）求解．

跟蹤訓練：若關于x的方程3x2-a2x-1=（10-x-2x2）i有實根，求實數(shù)a的值．

師生活動：設方程的實根為x=m，則原方程可變?yōu)?m2-a2m-1=（10-m-2m2）i.從而轉(zhuǎn)化成復數(shù)和0相等，進而將式子化簡成復數(shù)a+bi的形式，即3m2-a2m

-1-（10-m-2m2）i=0，最后利用兩復數(shù)相等的充要條件列出式子3m2-a2m

-1=0，10-m-2m2=0，解得a=11或--715.

設計意圖例1、例2以及跟蹤訓練是為了鞏固學生對復數(shù)分類標準及相等含義的理解，從而將復數(shù)的概念及時內(nèi)化，起到學以致用的效果，進而滲透轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

4反思與探討

“于活動中思考，從思考中理解，在理解中建構(gòu)”，這是APOS理論讓筆者感觸最深的.在上面的教學設計里，筆者圍繞“活動”“過程”“對象”“概型”這四個階段，設計不同的問題情境與練習，利用問題、探究以及題型的變式讓學生對復數(shù)概念有了本質(zhì)的理解.

4.1創(chuàng)設情境不是數(shù)學概念教學的最終目的

在高中數(shù)學概念的形成過程中，往往需要尋找它與生活的聯(lián)系，這就要求教師能夠采用多樣的問題情境來讓學生感受概念，但只有問題情境是不夠的，還需要學生的配合與思考.本節(jié)課的“活動環(huán)節(jié)”創(chuàng)設了數(shù)學文化背景，提出了現(xiàn)有數(shù)系不能解決的問題，讓學生進行探究，參與復數(shù)概念的構(gòu)建，從而感受概念之間的聯(lián)系.

4.2過程階段與對象階段在概念建立中的價值

“過程階段”及“對象階段”是APOS理論的重中之重，對于“過程階段”“對象階段”可以理解如下：（1）高中數(shù)學概念往往具有抽象性，所以抽絲剝繭地將這抽象的內(nèi)容轉(zhuǎn)化成熟識的數(shù)學問題就需要一段過程；（2）對于不同問題、不同概念，最終思考的結(jié)果如何呈現(xiàn)，這都是“過程階段”需要呈現(xiàn)的內(nèi)容.過程階段與對象階段可以是往復序進、循環(huán)上升的.本節(jié)課在教學方程的解的過程中，把問題拋給學生，先思考再引導，讓學生初步對復數(shù)的定義、分類、相等等相關概念有所理解，這體現(xiàn)了APOS理論的最大特征，即讓問題經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮，從而對數(shù)學概念有清晰的認識與理解.

4.3圖式階段在概念教學中是呈螺旋式上升的

圖式階段的學習是建立在學生已經(jīng)對概念有深刻理解的基礎上進行的，教師可以利用計算、證明等不同的練習讓學生加以鞏固，圖式階段是對前面三個階段的一個總體把握.在學生已有的復數(shù)概念認知基礎上，本節(jié)課設計了利用復數(shù)有關概念解決問題的教學環(huán)節(jié)，進一步讓學生對于概念的辨析與理解有所啟發(fā)，進而能夠熟練地將概念作為一個解決問題的工具，構(gòu)建出學生自己的概念模式.

5結(jié)束語

如果把教學看成一門藝術，那么概念課教學則是藝術中的明珠[4].我們在進行概念教學時，如若能將APOS理論貫徹其中，相信學生對于概念的學習與理解也會更加深刻.

參考文獻：

［1］ 蔡海濤，林運來.核心素養(yǎng)下高中數(shù)學概念課教學策略[J].數(shù)學通報，2019，58（09）：20-25，66.

[2] 林梅，余泉.基于APOS理論的“四階段八步”概念教學設計：以“對數(shù)函數(shù)”為例［J］.數(shù)學教學研究，2023，42（02）：15-19，54.

[3] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[4] 徐德同.關于概念教學的幾點思考[J].數(shù)學通報，2015，54（03）：23-26，29.

［責任編輯：李慧嬌］