將數(shù)形結(jié)合思想滲透于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想，是學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的助力.教師應(yīng)當在日常教學(xué)中滲透該思想.然而，部分教師缺少滲透經(jīng)驗，導(dǎo)致滲透效果不佳.本文開展“將數(shù)形結(jié)合思想滲透于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中”的實踐研究，探索挖掘數(shù)形結(jié)合思想、滲透數(shù)形結(jié)合思想、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形感悟等策略，希望其他教師能從中獲取滲透數(shù)形結(jié)合思想的經(jīng)驗，使數(shù)形結(jié)合思想成為數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的一部分，促進數(shù)學(xué)教學(xué)有效發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；教學(xué)策略

眾所周知，數(shù)形結(jié)合思想是最常見、最常用的一種思想，是從幾何直觀角度，利用幾何圖形性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系、解決代數(shù)問題，或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形性質(zhì)、解決幾何問題的思想［1］.其實質(zhì)是結(jié)合直觀的幾何圖形和抽象的數(shù)量關(guān)系，實現(xiàn)代數(shù)與圖形的相互轉(zhuǎn)化.在日常教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，可以化抽象為直觀、化復(fù)雜為簡單，大大降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度，助力學(xué)生順利地解決數(shù)學(xué)問題［2］.學(xué)生會因此經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成過程，扎實掌握數(shù)學(xué)知識，習(xí)得數(shù)形結(jié)合思想.他們還可以主動地運用數(shù)形結(jié)合思想進行數(shù)學(xué)探究，提高數(shù)學(xué)探究水平.那么，要如何在日常教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，實現(xiàn)其價值呢？

1" 剖析教學(xué)內(nèi)容，挖掘數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)教材中有很多內(nèi)容都體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合思想，但是沒有進行細致的分析.這導(dǎo)致部分教師在教學(xué)實踐過程中忽視滲透數(shù)形結(jié)合思想，或者部分教師不知道如何滲透數(shù)形結(jié)合思想.要想解決這種情況，教師需要在每節(jié)課教學(xué)之前，認真地剖析教學(xué)內(nèi)容，挖掘出其中蘊含的數(shù)形結(jié)合思想，并遷移教學(xué)經(jīng)驗，設(shè)想滲透方法、預(yù)設(shè)滲透效果，由此做好充足的準備.

例如" 針對“平方差公式”這一內(nèi)容，教材出示圖示（見圖1），要求學(xué)生根據(jù)圖形的面積從幾何角度探究平方差公式.該內(nèi)容主要強調(diào)了平方差公式的幾何意義.這其實是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)知識中的滲透.

圖1

所以，教師要將此內(nèi)容作為滲透數(shù)形結(jié)合思想的入手點，在課堂上引導(dǎo)學(xué)生運用不同的方式來表示教材中的圖形面積.在此過程中，學(xué)生可以認真運算，不斷簡化，得出平方差公式的形式.這樣的教學(xué)不光可以使平方差公式的呈現(xiàn)變得更加直觀、可視，還可以使學(xué)生做到知其然且知其所以然，同時將知識牢牢地印刻在腦海深處.同時，一些學(xué)生會因此汲取經(jīng)驗，并將經(jīng)驗遷移運用到探究其他內(nèi)容上，增強數(shù)學(xué)探究效果.

2" 把握教學(xué)過程，滲透數(shù)形結(jié)合思想

在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想不是一蹴而就的，需要以數(shù)學(xué)知識為支撐，以知識生成、問題解決、歸納總結(jié)這一過程為入手點，運用恰當?shù)姆绞竭M行滲透.

2.1" 滲透數(shù)形結(jié)合思想于知識生成中

知識生成過程其實是學(xué)生探究知識的過程，此過程中少不了要運用數(shù)學(xué)思想.因為一旦缺少數(shù)學(xué)思想，學(xué)生將很難清楚地知道“數(shù)學(xué)知識是什么”“數(shù)學(xué)知識從哪里來”“數(shù)學(xué)知識是怎么來的”，影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果［3］.對此，教師要把握數(shù)學(xué)概念、定理、法則的生成過程，有機地滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生借助圖形的直觀性來理解抽象內(nèi)容.

例如" 在教學(xué)“圓和直線的位置關(guān)系”時，教師可以先在電子白板上播放海上日出短視頻，讓學(xué)生感性地認知圓和直線的位置關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，教師可以布置任務(wù)，如驅(qū)動學(xué)生在紙上畫出一個圓，將一支筆看作直線并放在紙張的空白位置上，讓筆慢慢地向著所畫的圓移動，同時觀察、分析、總結(jié)其與圓的公共點數(shù)量，測量其與圓心之間的距離d，用表格展現(xiàn)自己的發(fā)現(xiàn).大部分學(xué)生會有目的地進行操作，且邊操作邊思考，發(fā)現(xiàn)不同的情況.之后，他們會展示自己的發(fā)現(xiàn)，如表1.

表1

圖形

公共點個數(shù)

圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系

0

d＞r

1

d＝r

2

d＜r

在此基礎(chǔ)上，教師可以講解相應(yīng)的直線名稱、公共點名稱、直線和圓的位置關(guān)系名稱，使直觀現(xiàn)象數(shù)學(xué)化.在整個教學(xué)過程中，大部分學(xué)生會主動地借助直觀的圖形發(fā)現(xiàn)代數(shù)關(guān)系，并以此為基礎(chǔ)，掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)概念.立足于此，教師可以揭示其中蘊含的數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生掌握學(xué)習(xí)方法.

2.2" 滲透數(shù)形結(jié)合思想于問題解決中

很多數(shù)學(xué)問題的解決得益于數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化［4］.在日常教學(xué)中，教師可以針對具體的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)習(xí)情況，選取相應(yīng)的典型例題，引導(dǎo)學(xué)生借助以數(shù)解形、以形助數(shù)的方式理清問題的解決思路和方法，提高問題解決效率.同時，學(xué)生可以因此習(xí)得問題解決方法、積累問題解決經(jīng)驗，有利于養(yǎng)成遇形思數(shù)、遇數(shù)思形的好習(xí)慣，提高解決數(shù)學(xué)問題的水平.

例如" 在“數(shù)軸”的教學(xué)過程中，學(xué)生體驗多樣活動，掌握了數(shù)軸的概念，理解了數(shù)軸的點和有理數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.教師可以以學(xué)生的學(xué)習(xí)成果為依據(jù)，出示需要用數(shù)形結(jié)合思想來解決的典型例題：

在數(shù)軸上數(shù)a和3的對應(yīng)點分別為點A和點B，點A到原點的距離為1.5，則點A關(guān)于點B的對稱點所對應(yīng)的數(shù)是.

此題重在考查數(shù)軸的概念與畫法.解決此題需要畫出數(shù)軸，根據(jù)題目條件在其上標注出相應(yīng)的點，由此直觀地進行觀察、分析，理清解析思路，得出答案（如圖2）.

圖2

|a|=1.5，a=1.5或a=-1.5，點A關(guān)于點B的對稱點所對應(yīng)的數(shù)是3+（3-1.5）=4.5或3+［3-（-1.5）］=3+4.5=7.5.

教師可以先引導(dǎo)學(xué)生閱讀題目，提取出關(guān)鍵信息，確定其考查的知識點.在此基礎(chǔ)上，教師可以鼓勵學(xué)生通過畫數(shù)軸來展示關(guān)鍵信息，確定a，A，B的值，由此進行運算.當學(xué)生出現(xiàn)問題時，教師可以進行指導(dǎo).此外，教師還可以直接指明解決問題的方法——數(shù)形結(jié)合法，促使學(xué)生加深對該方法的認知.

基于此，教師可以出示其他典型練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)解決問題，例如：

有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖3所示，化簡|a|+|c-b|-|a+b|+|a-c|.

圖3

這樣，學(xué)生既可以鞏固基礎(chǔ)知識，習(xí)得解決問題的方法，還可以提高思維的直觀性、靈活性，豐富解決問題的經(jīng)驗，有利于未來繼續(xù)通過轉(zhuǎn)化數(shù)與形來解決問題，提高解決問題的效率.

2.3" 滲透數(shù)形結(jié)合思想于內(nèi)化總結(jié)中

倘若將知識點比作一顆顆珍珠，那么，知識歸納可以將一顆顆珍珠串成一串項鏈.學(xué)生在此過程中會聯(lián)想起探究基礎(chǔ)知識的過程與當時使用的方法，由此提煉出數(shù)形結(jié)合思想，從而主動地將其內(nèi)化到自己的數(shù)學(xué)思維中，進一步地強化認知.對此，教師要精心組織課時小結(jié)、章節(jié)小結(jié)或整體復(fù)習(xí)活動，滲透數(shù)形結(jié)合思想.

例如" 在學(xué)生學(xué)習(xí)“一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與性質(zhì)”后，教師可以開展課時小結(jié)活動.在活動中，教師可以要求學(xué)生回顧課堂學(xué)習(xí)過程，利用表格呈現(xiàn)一次函數(shù)的“數(shù)”（k和b的符號、性質(zhì)）和“形”（圖象）.在此要求下，全體學(xué)生會邊回想學(xué)習(xí)過程邊依據(jù)k和b的情況繪制圖象，由此進行分析、總結(jié)，得出相關(guān)性質(zhì).在此基礎(chǔ)上，教師可以鼓勵他們主動總結(jié)探究一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與性質(zhì)的方法.學(xué)生會在遷移已有認知的基礎(chǔ)上，將注意力集中在“數(shù)”與“形”上，感悟數(shù)形結(jié)合.這樣，他們可以切實建構(gòu)較為完善的知識體系，有利于后續(xù)主動地探究反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).

3" 緊抓數(shù)形關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形感悟

在知識生成、問題解決和內(nèi)化總結(jié)中滲透數(shù)形結(jié)合思想的同時，教師還要抓住“數(shù)”與“形”之間的關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形感悟，更好地幫助其運用數(shù)形結(jié)合思想進行數(shù)學(xué)探究［5］.作圖是一項復(fù)雜的活動，且傳統(tǒng)的作圖方式很容易出現(xiàn)誤差.為了增強培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形感悟的效果，教師可以運用現(xiàn)代信息技術(shù)將抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀形象的圖形，助力學(xué)生清楚地認知“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系.

例如" 不同參數(shù)對二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的影響是“二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)”這節(jié)課的一大重點.倘若教師機械地進行語言描述，很難使學(xué)生建構(gòu)起正確的認知，甚至?xí)箤W(xué)生陷入迷茫狀態(tài).對此，教師可以利用幾何畫板演示二次函數(shù)y=ax2+bx+c的每個參數(shù)對其圖象的影響.演示的情況有：a＞0，b＞0，c＞0；a＞0，b＜0，c＞0；a＞0，b＜0，c＜0；a＜0，b＞0，c＞0；a＜0，b＜0，c＞0；a＜0，b＜0，c＜0.學(xué)生會將視線集中在大屏幕上，細心觀察、對比“數(shù)”不同情況下的“形”的特點，由此建構(gòu)一定的認知框架.他們還會主動地展示自己的認知成果.當發(fā)現(xiàn)學(xué)生認知成果存在問題時，教師可以繼續(xù)操作幾何畫板繪制幾個相應(yīng)的圖象，豐富圖形材料，助力學(xué)生繼續(xù)觀察、對比、分析、總結(jié)，由此提高他們的認知水平.同時，他們還可以在整個過程中借助操作、觀察、對比等方式主動地探究“數(shù)”與“形”的特點，發(fā)現(xiàn)二者之間的對應(yīng)關(guān)系，增強對二者關(guān)系的感悟.為了使學(xué)生增強數(shù)形感悟，教師可以鼓勵他們在課后模仿教師的做法，自主地在紙張上繪制出不同參數(shù)情況下的函數(shù)圖象，繼續(xù)觀察、對比、總結(jié)，深刻地理解、記憶參數(shù)對二次函數(shù)圖象的影響.

4" 融入賞識性評價，形成數(shù)形結(jié)合思想

在第斯多惠看來，教育的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵、喚醒和鼓舞.一些學(xué)生會在知識生成、問題解決、內(nèi)化總結(jié)、感悟關(guān)系的過程中遇到各種各樣的問題，很容易從心底產(chǎn)生一股挫敗感，失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.針對此情況，教師要在整個教學(xué)過程中留心關(guān)注學(xué)生的表現(xiàn)，善于融入賞識性評價，讓學(xué)生受到激勵，秉持積極的態(tài)度繼續(xù)探究，從而掌握數(shù)形結(jié)合思想.

例如" 在探究“圓和圓的位置關(guān)系”時，大部分學(xué)生會遷移已有的認知，運用作圖的方式繪制兩個圓，固定其中一個圓，移動其中一個圓，觀察、分析它們的交點、圓心與圓心間的距離，獲取“數(shù)”，由此總結(jié)結(jié)論.教師在巡視課堂的過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的良好表現(xiàn)，有針對性地進行贊賞，讓他們建立信心，認真地動手操作、觀察，獲得結(jié)論.這樣，大部分學(xué)生可以提高學(xué)習(xí)效率、運用數(shù)形結(jié)合思想的積極性，便于在長期的學(xué)習(xí)、運用過程中形成數(shù)形結(jié)合思想.

5" 結(jié)語

總而言之，將數(shù)形結(jié)合思想滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以讓學(xué)生輕松地解決一些數(shù)學(xué)問題，深刻地理解、掌握數(shù)學(xué)知識，同時習(xí)得數(shù)形結(jié)合思想.在習(xí)得數(shù)形結(jié)合思想的情況下，學(xué)生會主動地進行數(shù)學(xué)探究，提高數(shù)學(xué)探究水平.為此，教師要善于在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想.這需要教師發(fā)揮專業(yè)能力，堅持進行理論研究和實踐研究，探索出更多的教學(xué)方法，并將其落實于日常教學(xué)中.

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