滲透模型思想，助力學生發(fā)展模型觀念

【摘要】模型觀念是數(shù)學核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)，是學生運用數(shù)學模型解決問題的關鍵.學生發(fā)展模型觀念，可以感悟數(shù)學應用的普遍性，增強數(shù)學應用能力.模型思想是數(shù)學學科重要的思想方法，是學生發(fā)展模型觀念的助力.但是，在傳統(tǒng)的數(shù)學教學中，部分教師毫無原則地單向灌輸模型思想.在這樣的情況下，學生無法有效建模，影響模型觀念的發(fā)展.本文先論述模型思想，接著闡述滲透模型思想的原則，然后介紹滲透思想的策略，希望能借此彌補當前教學中的不足，切實助力學生發(fā)展模型觀念.

【關鍵詞】初中數(shù)學；模型思想；教學策略

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“課程標準”）闡明了數(shù)學核心素養(yǎng)的不同表現(xiàn)，指明了數(shù)學教學方向.模型觀念是數(shù)學核心素養(yǎng)的表現(xiàn)之一.模型觀念是運用數(shù)學模型解決實際問題的關鍵［1］.我國數(shù)學家徐利治認為，數(shù)學是研究模型的學科.他高度重視數(shù)學模型思想，指明數(shù)學教學應當滲透模型思想.模型思想是學生發(fā)展模型觀念的助力.但是，當前有部分初中數(shù)學教師尚未認識到模型思想對學生模型觀念的影響，毫無原則地機械灌輸模型思想，導致模型思想的價值未能實現(xiàn).對此，數(shù)學教師要想幫助學生發(fā)展模型觀念，先要正確認識模型思想對模型觀念的影響，接著有原則、有策略地在教學中滲透模型思想.

1" 模型思想對模型觀念的影響

課程標準指出，學生發(fā)展模型觀念要認識數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系，從現(xiàn)實生活中抽象出數(shù)學問題，感悟數(shù)學應用的普遍性.

由此可見，學生發(fā)展模型觀念離不開模型思想.因此，在實施初中數(shù)學教學時，教師要滲透模型思想，助力學生扎實掌握數(shù)學知識，尤其是發(fā)展數(shù)學思維、儲備問題解決方法和經驗，順其自然地發(fā)展模型觀念.之后，在模型觀念的支撐下，學生會自覺應用模型思想，借助數(shù)學概念、數(shù)學原理、數(shù)學方法來描述、解決現(xiàn)實中的數(shù)學問題.同時，通過不斷地應用模型思想，學生的模型觀念會得以強化.

2" 滲透模型思想的原則

2.1" 教學形式多樣性

在傳統(tǒng)的數(shù)學課堂上，教師起主宰作用，單向灌輸模型思想.滲透模型思想目的之一是讓學生掌握問題解決方法.因此，在數(shù)學課堂上，學生要發(fā)揮主觀能動性，探究、掌握問題解決方法.所以，教師要改變傳統(tǒng)的教學形式，依據數(shù)學教學內容及模型思想，選用不同的教學工具，引導學生經歷建立數(shù)學模型的過程.在經歷此過程時，學生會主動地簡化問題、提出假設、創(chuàng)建模型、驗證模型、應用模型，由此掌握模型思想，發(fā)展模型觀念.

2.2" 注重完整建構過程

數(shù)學是一門邏輯性很強的學科，運用模型解決問題的過程，正是一個邏輯過程.在此過程中，學生要有嚴密的邏輯思維.但是，大部分初中生的邏輯思維不夠嚴密.他們在解決問題時，總會出現(xiàn)思維跳脫問題，甚至無法獨立思考.對此，教師要關注學生的思維過程，引導其經歷完整的知識建構過程.在此過程中，學生會積極動腦，分析并簡化問題、提出假設、創(chuàng)建模型、驗證模型、應用模型.如此，學生不但可以掌握數(shù)學內容，獲取模型思想，還可以增強思維的邏輯性，提升模型觀念發(fā)展水平.

3" 滲透模型思想的策略

滲透模型思想的步驟為：分析并簡化問題、提出假設、創(chuàng)建模型、驗證模型、應用模型［2］.在如上原則的指引下，教師要發(fā)揮教學智慧，緊扣模型思想滲透的步驟和教學內容，應用適宜的策略滲透模型思想.以“實際問題與二次函數(shù)”為例，教師可以應用如下策略滲透模型思想.

3.1" 創(chuàng)設情境，分析并簡化問題

分析并簡化問題是滲透模型思想的第一步.分析并簡化問題，其實是指從現(xiàn)實生活中提取出數(shù)學問題.創(chuàng)設情境是學生走進現(xiàn)實生活的重要途徑.在體驗情境時，學生會用數(shù)學的“眼睛”進行觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題.對此，在滲透模型思想時，教師可以依據教學內容與現(xiàn)實生活的關系，創(chuàng)設情境，引導學生分析簡化問題.

眾所周知，在打排球時，排球的運動軌跡是一條拋物線.于是，在“二次函數(shù)與實際問題”這節(jié)課上，教師播放電影《奪冠》片段.在學生觀看時，教師發(fā)問：“從這一片段中，大家能否發(fā)現(xiàn)排球的運動路線是什么樣的？”基于生活經驗，大部分學生聯(lián)想到拋物線.教師對此進行贊賞，并提出任務：“假設排球場長18米.球網位于排球場的中間位置，高為AB（2.24米），排球運動員從點O處發(fā)球.在發(fā)球時，運動員將球向上拋起.當排球達到C點（OC=2米）處時，開始向正前方運動.當運動到E點（OE=6米）時，排球達到拋物線的最高點F.請根據排球的運動情況，以點O為原點建立平面直角坐標系.”在了解任務內容后，大部分學生積極思考，自覺地在腦海中描繪畫面，并認真繪制平面直角坐標系.在學生繪制后，教師選擇一幅作品，當眾展示見圖1.

圖1

此時，學生們愈加肯定“排球的運動軌跡是一條拋物線”.此時，有學生遷移已有數(shù)學知識，自發(fā)地提出問題：“可以怎樣確定拋物線的具體關系式？”教師和學生一起探究此問題.

通過創(chuàng)設情境，將學生帶入了實際生活中.學生發(fā)揮數(shù)學思維作用，審視生活現(xiàn)象，提出數(shù)學問題，打好了建立數(shù)學模型的基礎.

3.2" 適當激勵，合理假設

合理假設是滲透模型思想的第二步.合理假設是創(chuàng)建模型的前提［3］.在課堂上，教師要給予學生自由空間.在自由空間里，學生會開放思維，大膽假設.在此過程中，一些學生會受到多種因素的影響，提出一些不合理的假設.面對不合理的假設，教師不能直接否定，而是要善于引導學生驗證，使其發(fā)現(xiàn)自己的錯誤，自覺改正.學生只有大膽地假設，才能進一步地建立模型.同時，學生也會因此感受到數(shù)學學習樂趣，激發(fā)建立數(shù)學模型的欲望.所以，教師要適當?shù)丶顚W生，促使其自主假設.

在學生分析并簡化問題后，教師激勵他們進行假設.具體地，教師詢問學生：“大家覺得可以用什么樣的方法來確定拋物線的具體關系式呢？開動腦筋想一想，看看能否想出好方法.”在教師的言語激勵下，大部分學生開動腦筋，聯(lián)想到不同的方法，如“待定系數(shù)法”“作圖法”等.面對多樣的方法，教師不作點評，而是提出合作要求：“請大家和小組成員整理不同的方法，試著驗證方法是否正確.”在要求的推動下，學生紛紛進行合作.在小組中，學生積極思考，提出不同的看法，認真整理，獲得一些有可行性的方法.之后，學生分工，各自檢驗不同的方法.在驗證的過程中，一些學生發(fā)現(xiàn)問題，主動與小組成員交流.在他人的幫助下，學生改正問題，繼續(xù)驗證.

學生通過進行合理的假設，不但發(fā)散了思維，鍛煉了思維能力，還順其自然地儲備了建立數(shù)學模型的經驗，為形成良好的假設意識打下基礎.

3.3" 布置任務，創(chuàng)建模型

創(chuàng)建模型是滲透模型思想的第三步.實際上，創(chuàng)建模型的過程正是學生檢驗假設的過程.在此過程中，學生既可以檢驗假設是否正確，獲取正確的思路，還可以建立出恰當?shù)哪Ｐ?，推動模型建立活動進一步發(fā)展.創(chuàng)建模型的過程一般分為兩步：第一步是剖析已知條件，確定數(shù)量關系；第二步是用合適的數(shù)學語言表示假設，建立數(shù)學模型.在學生驗證假設時，教師要以建立模型的步驟為重點，布置任務，驅動他們創(chuàng)建模型.

具體地，在學生驗證各自的假設時，教師提出任務：“（1）請大家認真閱讀題目，找出關鍵變量，確定數(shù)量關系，列出拋物線的解析式；（2）請主動展示自己列出的拋物線解析式.”在此任務的驅動下，學生經歷建立模型的過程.在此過程中，大部分學生細讀題目，確定數(shù)量關系，列出解析式.在完成任務后，學生主動與小組成員交流，確定解析式是否正確.之后，學生毛遂自薦，呈現(xiàn)拋物線解析式.

有學生代表呈現(xiàn)：y=－145x－62+2.8，并且認真描述自己的思路.其他學生認真傾聽，對照自己的結果作出判斷.在判斷時，有學生發(fā)現(xiàn)結果不同.于是，學生展示不同的結果.如有學生提道：“我們所求出的結果中的二次項系數(shù)不同.”面對不同的結果，教師鼓勵全體學生運算，得出正確結果.此時，有學生提道：“我們可以將已知線段的長度代入二次函數(shù)解析式中，直接得出結果.”在該學生的提示下，其他學生掌握簡便算法，認真運算.經過集體運算，學生最終確定了正確的拋物線解析式.

學生通過完成任務，創(chuàng)建了數(shù)學模型，解決了問題.尤其，學生因此積累了模型創(chuàng)建經驗，鍛煉了數(shù)學運算能力，強化了模型觀念.

3.4" 提出問題，求解模型

求解模型是滲透模型思想的第四步.數(shù)學模型類型多種多樣，如方程模型、不等式模型、概率模型等.求解模型重在考查學生綜合知識掌握情況.在學生創(chuàng)建模型后，教師要圍繞問題情境，提出其他問題，驅動學生綜合運用所學知識，建立、求解其他模型.通過求解不同的模型，學生可以驗證出模型是否正確，由此得出正確模型，為應用模型做好準備.

在學生創(chuàng)建拋物線解析式模型后，教師向他們提出問題：“在上述條件下，所發(fā)的排球能否過網呢？是否會出界呢？”在了解問題內容后，學生發(fā)散思維，進一步思考排球的拋物線運動與球網之間的關系.在思考的過程中，有學生想到根據球網的高度進行判斷.學生嘗試將數(shù)據代入模型中，得到一個不等式模型.如“當x=9時，y=2.6＞2.24；當x=18時，y=－0.4＜0”.由此，學生得出結論：“在上述條件下，所發(fā)的排球能過網，但是不會出界.”教師肯定學生的良好表現(xiàn)，并鼓勵他人探究其他模型.

3.5" 隨堂練習，應用模型

應用模型是滲透模型思想的第五步.學生求解模型，僅僅是得出了數(shù)學問題的結果，而非得出了實際問題的結果.所以，在求解模型后，學生還要繼續(xù)解決實際問題，借此驗證模型是否符合實際.在應用模型時，學生往往會得到兩種結果：一種是模型符合實際情境，第二種是模型不符合實際情境.面對第二種情況，教師要引導學生梳理建立模型的過程，發(fā)現(xiàn)問題，并及時改正.如此，學生可以得到符合實際情境的模型，為解決其他相關的實際問題奠定堅實基礎.隨堂練習是學生應用模型的途徑.在學生求解模型后，教師可以依據真實情境，呈現(xiàn)其他練習題，驅動學生應用模型.

如在學生求解模型后，教師呈現(xiàn)如此練習：“在其他條件不變的情況下，當排球運動的最大高度為2.32米時，在什么樣的高度范圍內，排球才會不出界？”在呈現(xiàn)練習題后，教師給予學生充足的練習時間.大部分學生紛紛應用模型，如有的學生建立二次函數(shù)等式模型，有的學生建立二次函數(shù)不等式模型.教師巡視課堂，了解具體情況.在此過程中，部分學生遇到困難.教師引導其回顧模型建立過程，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題.最終，大部分學生解決了問題.

于是，教師趁機組織講評活動.在活動中，學生代表分析問題條件，介紹關鍵信息，建立模型，認真運算，得出結果.其他學生認真傾聽，判斷結果正誤.當結果錯誤時，其他學生進行糾正.

學生通過體驗隨堂練習活動，靈活地應用了模型，得出了符合實際情境的模型.同時，學生因此解決了實際問題，掌握了更多的解題方法，有利于形成良好的模型觀念，主動解決實際問題.

4" 結語

總而言之，有效滲透模型思想，便于學生經歷模型建立過程，順其自然地發(fā)展模型觀念.因此，在實施初中數(shù)學教學時，教師要緊抓模型思想對學生模型觀念的影響，遵循以學生為主體、教學形式多樣、注重完整建構過程這三大原則，結合數(shù)學教學內容，應用適宜策略，引導學生經歷“分析并簡化問題—提出假設—創(chuàng)建模型—驗證模型—應用模型”這一過程，助力學生掌握數(shù)學知識，獲取建模思想，發(fā)展模型觀念.

參考文獻：

［1］劉光建.基于“四能”的初中數(shù)學模型構建及價值分析［J］.中學數(shù)學教學參考，2022（23）：73-75.

［2］李琪.初中數(shù)學模型思想滲透現(xiàn)狀及教學策略研究［D］.濟南：山東師范大學，2022.

［3］安志紅，劉金英.構建數(shù)學模型解決實際問題——以初中數(shù)學解決問題專題為例［J］.考試研究，2021，17（06）：25-29.