模型方法構(gòu)建，解題應(yīng)用探究

【摘要】一次函數(shù)背景下的搭橋模型教學(xué)探究，建議設(shè)置專題分兩個階段來構(gòu)建：第一階段，方法點撥，策略構(gòu)建；第二階段，應(yīng)用解題，總結(jié)反思.本文圍繞模型開展教學(xué)探究，與讀者交流學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】一次函數(shù)；搭橋模型；初中數(shù)學(xué)

一次函數(shù)背景下的搭橋模型較為特殊，融合了一次函數(shù)、動點、最值等知識內(nèi)容.模型解析需要借助“對稱平移+共線分析”的方式求解，其中對稱轉(zhuǎn)化的技巧是解題的關(guān)鍵，需要教師重點講解，下面具體探究.

1" 方法點撥，分步構(gòu)建

一次函數(shù)背景下的搭橋模型，其顯著特征為設(shè)定直線上以及外側(cè)的多個動點，構(gòu)建求解線段和的最值，問題解析需要針對點與直線的位置關(guān)系，進(jìn)而確定對稱轉(zhuǎn)化的方式.教學(xué)中可結(jié)合具體實例進(jìn)行講解方法.

1.1" 方法點撥

問題" "已知點A和點B為兩個定點，點P和點Q是直線m上的兩個動點，點P在點Q的左側(cè)，且PQ之間的長度為定值.探究：在直線m上要求P，Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小.

情形1" 點A和點B在直線m的異側(cè)（如圖1）.

圖2

作法" 如圖2所示.

①過點A作AC∥m，且使得AC=PQ；

②連接BC，與直線m的交點即為點Q；

③點Q向左平移PQ長，即為點P，此時可得出點P和點Q的位置，求線段長即可完成求解.

情形2" 點A，B在直線m同側(cè)（如圖3）.

圖4

作法" 如圖4所示.

①過點A作AE∥m，且使得AE=PQ；

②作點B關(guān)于直線m的對稱點B′，連接B′E，與直線m的交點即為點Q；

③點Q向左平移PQ長，即為點P，此時可得出點P和點Q的位置，求線段長即可完成求解.

1.2" 分步構(gòu)建

對于一次函數(shù)背景下的搭橋模型問題，需要把握一次函數(shù)的位置特性再逐步分析，教學(xué)中建議梳理分步構(gòu)建策略，引導(dǎo)學(xué)生按照該步驟來解析.

第一步，解讀題干條件，明晰直線與點的位置關(guān)系，確定類型；

第二步，根據(jù)上述總結(jié)的模型作圖策略進(jìn)行對稱轉(zhuǎn)化，確定動點的位置；

第三步，結(jié)合兩點之間距離最短，確定最值情形，推導(dǎo)點坐標(biāo)，計算求最值.

2" 應(yīng)用解題，總結(jié)反思

上述總結(jié)了一次函數(shù)背景下搭橋模型的兩種情形的對稱轉(zhuǎn)化方法，教學(xué)第二階段需注意精選問題，引導(dǎo)學(xué)生實戰(zhàn)應(yīng)用，掌握應(yīng)用思路.

2.1" 異側(cè)構(gòu)建，最值反推

例1" 如圖5所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=43x+8與x軸和y軸分別交于點A和點B，點C為OB的中點，點D位于第二象限，四邊形AOCD為矩形.動點P在CD上，PH⊥OA，垂足為點H，點Q為點B關(guān)于點A的對稱點.求：當(dāng)BP+PH+HQ的值最小時，點P的坐標(biāo).

圖5

過程構(gòu)建" 由題設(shè)可知，OB＝8，OA＝6，OC＝4，連接PB，CH，HQ，如圖5的虛線所示，則四邊形PHCB是平行四邊形，則有BP+PH+HQ＝CH+HQ+4.

分析可知，只需確保CH+HQ最小即可滿足條件，當(dāng)點C，H，Q在同一直線上時，CH+HQ的值最小，過點Q作QM⊥y軸，垂足為M，可推知OA是△BQM的中位線，則QM＝2OA＝12，OM＝OB＝8.

利用待定系數(shù)法可求出直線CQ的解析式為y＝x+4，進(jìn)而可求得點H（-4，0），結(jié)合平行特性可得點P（-4，4）.

解后反思" 上述問題是關(guān)于動點異側(cè)的一次函數(shù)搭橋模型問題，解析時可結(jié)合總結(jié)的策略進(jìn)行對稱轉(zhuǎn)化，再利用“共線分析”來確定最值情形求解.整個過程需要注意利用坐標(biāo)系的特點，推導(dǎo)點坐標(biāo)和直線方程，精準(zhǔn)定位.

2.2" 同側(cè)構(gòu)建，周長最值

例2" 如圖6所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（0，4），C（8，0），E（8，2），點P和點Q是OC邊上的兩個動點，且PQ=2.探究：是否存在點P使得四邊形APQE的周長最小，若存在求出點P坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

圖6

過程構(gòu)建" 將點E（8，2）向左平移2個單位長度，可得點F（6，2），則EF＝2＝PQ，EF∥PQ，由題設(shè)可知FP=QE.作點F關(guān)于x軸的對稱點F′，連接PF′，則F′（6，-2）.

分析可知，當(dāng)點A，P，F(xiàn)′在同一直線上時，AP+PF′最小，即AP+EQ最小，此時對應(yīng)的四邊形APQE的周長最小，可求得直線AF′的解析式為y＝-x+4，則點P（4，0）.

綜上可知，存在點P使得四邊形APQE的周長最小，點P坐標(biāo)為（4，0）.

解后反思" 上述問題為關(guān)于同側(cè)的一次函數(shù)搭橋模型探究，問題隱蔽性較強(qiáng)，以探究四邊形周長最值形式來呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生探索時，注意條件挖掘與轉(zhuǎn)化，把握模型特征，準(zhǔn)確定位類型.

3" 結(jié)語

總之，對于一次函數(shù)背景下的搭橋模型問題，教學(xué)中可參考上述探究方案，引導(dǎo)學(xué)生梳理解題模型轉(zhuǎn)化技巧，構(gòu)建分步策略，再結(jié)合實例強(qiáng)化運用.該類問題對幾何變換思維要求較高，教師要注意解題思維的指導(dǎo).