幾何構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題過程中的妙用（1）

【摘要】幾何構(gòu)造法屬于一種創(chuàng)新性解題方式，其中滲透著類比、化歸、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，將其科學(xué)合理地用于初中數(shù)學(xué)解題實踐中，可使得學(xué)生在幾何圖形的輔助下，巧妙解決數(shù)學(xué)難題.本文結(jié)合典型的例題，探究幾何構(gòu)造法在解題中的具體應(yīng)用，并提出針對性的教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；幾何構(gòu)造法；解題教學(xué)

幾何構(gòu)造法是一種常見的數(shù)學(xué)解題方法，是指根據(jù)題目中所給出的已知條件、結(jié)論所求信息，對數(shù)學(xué)問題進行加工處理，進而構(gòu)造和所求問題相關(guān)聯(lián)的模式，以便于學(xué)生結(jié)合所學(xué)的知識進行解答.幾何構(gòu)造法解題本質(zhì)上是一種創(chuàng)新性解題思維和解題方式，其中蘊含了常見的數(shù)學(xué)思想，包括轉(zhuǎn)化思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等.經(jīng)解題實踐證明，將幾何構(gòu)造法應(yīng)用到解題實踐中，能夠有效轉(zhuǎn)化原有的問題，使得原本繁雜的數(shù)學(xué)問題簡單化、清晰化，進而幫助學(xué)生巧妙解答一些困難題目.

1" 幾何構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

例1" 求sin15°、cos15°、tan15°的值.

解析" 解決這一類求特殊角三角函數(shù)值的問題，如果按照代數(shù)解題的思路，借助相關(guān)的工具進行解答，會比較復(fù)雜，增加了學(xué)生的解題難度.針對這一類求特殊三角函數(shù)的問題，可借助幾何構(gòu)造的方式，從直角三角形的角度進行解題.

如圖1所示，構(gòu)造Rt△ABC，令∠C=90°，∠BAC=30°，延長CA至D，使得AD=AB，連接BD，則有∠D=15°，

假設(shè)BC=a，AC=3a，

所以CD=AC+AD=AC+AB=（2+3）a，

BD=BC2+CD2=a2+（7+43）a2=（6+2）a，

sin15°=sinD=BCBD=a（6+2）a=6－24

cos15°=cosD=CDBD=（2+3）a（6+2）a=6+24

tan15°=tanD=BCCD=a（2+3）a=2-3

圖1

例2" 求x2+4+（12－x）2+9的最小值.

解析" 針對這一類型題目，多數(shù)學(xué)生都是從代數(shù)的角度進行思考.但在這種情況下，學(xué)生極容易陷入思維困境中，難以形成明確的解題思路.鑒于此，可通過幾何構(gòu)造法，將其轉(zhuǎn)化成為直觀的幾何問題，進而完成題目的求解.

如圖2所示做AB⊥BC，CD⊥BC，假設(shè)AB=2，CD=3，BC=12，點E在BC上.假設(shè)BE=x，則CE=12－x.

根據(jù)勾股定理得知：AE=x2+4，

圖2

圖3

則DE=（12－x）2+9，

如此，x2+4+（12－x）2+9的最小值即可轉(zhuǎn)化為AE+ED的最小值，

根據(jù)所學(xué)知識可得，當(dāng)A，D，E三點共線時，AE+ED存在最小值.

此時，根據(jù)題目構(gòu)建Rt△AFD，如圖3所示，

因為AF=5，DF=12，

因此AD=AF2+FD2=52+122=13，

即x2+4+（12－x）2+9最小值為13［2］.

例3" 如圖4所示，△ABC是一個等腰三角形，AB=AC，∠BAC=100°，延長AC至M點，使得AM=CB，連接BM，求∠CBM的度數(shù).

圖4

解析nbsp; 本題目是求解三角形內(nèi)角度數(shù).針對本題目，很多學(xué)生找不到已知條件和所求問題之間的關(guān)系，以致于在解題時無從下手.鑒于此，即可采用幾何構(gòu)造法，通過構(gòu)建等邊三角形和全等三角形的方式，將原本看似沒有關(guān)系的條件構(gòu)建在一起，進而完成題目的解答.

構(gòu)造等邊三角形ACN，則有：

因為∠ABC=40°，∠ABN=10°，

因此∠NBC=30°，

因為AB=CN，∠BAM=∠BCN=100°，

又因為AM=CB，

所以△BAM≌△NCB，

即∠BMA=∠CBN=30°，

因此，在△BAM中，因為∠BMA=30°，∠BAM=100°，

所以∠MBA=50°，

又因為∠ABN=10°，∠NBC=30°，

則∠CBM=10°.

2" 基于幾何構(gòu)造法的解題教學(xué)啟示

幾何構(gòu)造法已經(jīng)在初中數(shù)學(xué)解題中得到了廣泛應(yīng)用，因此提升初中生的構(gòu)造解題能力具有重要的意義.鑒于此，教師在日常教學(xué)活動中，應(yīng)注意以下四個方面：

第一，基于構(gòu)造法的內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力.構(gòu)造法屬于一種創(chuàng)新性解題思維，學(xué)生在解題之前，必須對題目進行仔細(xì)觀察、分析，明確知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，進而為幾何構(gòu)造法解題奠定基礎(chǔ).而要達(dá)到這一目標(biāo)，教師在日常教學(xué)活動中，可借助多樣化的手段，優(yōu)化數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識教學(xué)，幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)化的知識體系.同時，還要有針對性地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力.

第二，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力.構(gòu)造法是思維深化的過程，初中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)活動中，應(yīng)關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，引領(lǐng)學(xué)生在多角度分析問題的過程中，運用假設(shè)分析、舉例驗證、反向推理等思維模式，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐漸沖破定勢思維的束縛，為應(yīng)用幾何構(gòu)造法奠定堅實的基礎(chǔ).

第三，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力.幾何構(gòu)造法要求學(xué)生在系統(tǒng)化的知識體系上展開聯(lián)想，最終構(gòu)建出新的關(guān)系，進而完成原有問題的解答.因此，教師在日常教學(xué)中，應(yīng)全面加強舉一反三訓(xùn)練，增強學(xué)生靈活運用知識的能力.

第四，及時進行總結(jié)和反思.帶領(lǐng)學(xué)生圍繞解題實踐，歸納具體的解題步驟，并逐漸提升自身的幾何構(gòu)造解題能力.

3" 結(jié)語

綜上所述，鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，學(xué)生在日常解題訓(xùn)練或者考試中，常常會遇到一些非常規(guī)性的題目，對學(xué)生的知識水平、思維能力均提出了更高的要求.幾何構(gòu)造法作為一種創(chuàng)新性解題思路，是解答非典型數(shù)學(xué)題目的有力手段.因此，教師在日常教學(xué)中，必須結(jié)合幾何構(gòu)造法的內(nèi)涵，借助針對性的練習(xí)，幫助學(xué)生在實踐中，內(nèi)化應(yīng)用幾何構(gòu)造法解題這一技巧，并逐漸提升自身的數(shù)學(xué)解題能力.