構造中位線，巧解幾何題

【摘要】本文首先探討在幾何問題中構造中位線的方法及其重要性，通過對幾個幾何問題的分析，總結構造中位線的條件、技巧以及其在解決不同類型幾何問題中的應用．本文詳細闡述如何利用中位線的性質簡化問題、推導結論，為學生和教師在解決幾何問題時提供一種有效的策略和方法．

【關鍵詞】初中數(shù)學；中位線；解題技巧

幾何問題一直是數(shù)學學習中的重點和難點，而巧妙地構造輔助線往往是解決復雜幾何問題的關鍵，其中，構造中位線是一種極為有效的方法．中位線在幾何圖形中具有特殊的位置和性質，能夠將復雜的幾何關系變得清晰明了，為問題的解決提供有力的支持．本文將深入探討構造中位線的方法以及其在巧解幾何題中的應用．

1" 構造中位線在幾何問題中的妙用

在幾何問題中，構造中位線是一種極為有效的解題方法．構造中位線的方法通常有以下幾種：一是連接三角形兩邊的中點，可直接得到中位線；二是當出現(xiàn)線段比例關系時，考慮通過作平行線構造中位線；三是在有中點條件的圖形中，利用平行四邊形的性質來構造中位線．

三角形中的中位線具有重要的性質，它平行于第三邊，且長度是第三邊的一半．這一性質在解決幾何問題中起著關鍵作用．比如在證明兩線段平行問題時，若能構造出中位線，利用中位線與第三邊平行的性質，可輕松得出結論；在求線段長度問題中，已知一條線段長度，通過中位線與第三邊的關系，可求出另一條線段的長度．此外，在證明線段之間的倍數(shù)關系時，中位線也能發(fā)揮巨大作用．總之，構造中位線為解決復雜的幾何問題提供了一條簡潔而有力的途徑．

2" 證明線段相等

例1" 如圖1，△ABC是銳角三角形，分別以AB，AC為邊向外側作等邊△ABM和等邊△CAN．點D，E，F(xiàn)分別是MB，BC，CN的中點，連接DE，EF．求證：DE＝EF．

圖1

證明" 連接BN，CM，

因為△ABM和△CAN是等邊三角形，

所以AM＝AB，AC＝AN，

∠MAB＝∠CAN＝60°，

所以∠MAB＋∠CAB＝∠CAN＋∠CAB，

即∠MAC＝∠BAN，

所以△MAC≌△BAN（SAS），

所以MC＝BN.

又因為點D，E，F(xiàn)為MB，BC，CN的中點，

所以DE=12MC，EF=12BN，

所以DE＝EF．

點評" 點D，E，F(xiàn)分別是MB，BC，CN的中點，巧設中位線，可得DE=12MC，EF=12BN，再轉換長度關系即可解決問題．

3" 證明線段平行

例2" 如圖2，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，垂足為點D，AE=EC．求證：DE∥BC．

圖2

證明nbsp; 延長AD交BC于點F，

因為BD平分∠ABC，

所以∠ABD=∠CBD．

因為AD⊥BD，

所以∠BDA=∠BDF=90°．

所以△BDA≌△BDF，

所以AD=FD．

又因為AE=EC，

所以DE∥FC，

即DE∥BC．

點評" 已知點E為AC的中點，要證明DE∥BC，所以聯(lián)想到三角形中位線，故可延長AD交BC于點F，再證明點D為AF的中點即可．在三角形中位線定理中有兩條線段互相平行，所以利用這一點可以證明線段平行．

4" 證明線段的長度關系

例3" 如圖3，已知AO是△BAC中∠BAC的平分線，BD⊥AO交AO的延長線于點D，點E是BC的中點．求證：DE=12AB－AC．

圖4

證明" 延長AC，BD交于點F，如圖4，由AO平分∠BAC，BD⊥AO，易證△ABD≌△AFD，

所以AB＝AF，BD＝DF.

又因為點E為BC的中點，

所以ED為△BCF的中位線，

所以DE=12CF=12（AF－AC）=12（AB－AC）．

點評" 因點E為BC的中點，可得ED為△BCF的中位線，DE=12CF，為進一步解題提供條件．

5" 證明線段的和或差

例4" 如圖5，若BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，AM⊥CE于點M，AN⊥BD于點N．求證：MN=12AB+AC－BC．

圖5

證明" 分別延長AM，AN交BC于點F，G．

因為BD平分∠ABC，AN⊥BD，

所以∠ABD=∠CBD，∠ANB=∠GNB=90°，

所以△ANB≌△GNB．

所以AN=NG，AB=BG．

同理可證△ACM≌△FCM，

所以AM=MF，AC=CF．

所以MN=12FG．

又因為FG=BG＋FC－BC=AB＋AC－BC，

所以MN=12AB+AC－BC．

點評" 證明與線段的一半有關的問題，可把所給線段作為中位線，找對應三角形的底邊，將其轉化為求底邊線段長的問題，再轉化為所求證的問題．

6" 結語

構造中位線是解決幾何問題的一種重要方法，它能夠巧妙地利用中位線的特殊性質，將復雜的幾何關系簡化，為問題的解決提供清晰的思路．在實際解題過程中，我們要善于觀察題目條件，靈活運用構造中位線的方法，結合其他幾何知識，提高解決幾何問題的能力．同時，我們也要注意構造中位線的技巧和注意事項，確保解題過程的準確性和有效性．總之，掌握構造中位線的方法對于提高學生的幾何解題能力和數(shù)學素養(yǎng)具有重要的意義．

參考文獻：

［1］肖躍，王彭德.構造“中位線”巧解中考幾何題［J］.數(shù)理化學習（初中版），2024（03）：33-35.

［2］李艷群，方衛(wèi).找三角形中位線，巧解幾何題［J］.語數(shù)外學習（初中版八年級），2007（06）：24-26.