幾何構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題過程中的妙用

【摘要】本文探討構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用，通過利用勾股定理構(gòu)建直角三角形、利用三角形中的恒等式逆命題構(gòu)建一般三角形、利用圓的定義構(gòu)建輔助圓等思路，為廣大學(xué)生提供參考和幫助.

【關(guān)鍵詞】幾何構(gòu)造法；初中數(shù)學(xué)；解題思路

幾何構(gòu)造法是初中數(shù)學(xué)解題思維中的重要組成部分.通過幾何構(gòu)造法解題，可將抽象、復(fù)雜的題目變得直觀、簡單，有助于提高學(xué)生的解題效率.

1" 利用勾股定理，構(gòu)建直角三角形

勾股定理在初中數(shù)學(xué)平面幾何中占據(jù)著重要地位，利用幾何構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)問題，可有效提高學(xué)生的解題效率.

例1" 已知a，b，c，d均為正數(shù)，三角形的三邊分別等于b2+c2，a2+c2+d2+2cd，a2+b2+d2+2ab，請計(jì)算三角形的面積.

分析" 題設(shè)三角形勢必會導(dǎo)致計(jì)算過程極為復(fù)雜，且需要利用海倫公式計(jì)算三角形的面積，整體計(jì)算過程相對繁瑣.如將已知代數(shù)式變形為c2+b2（①式）、a2+c+d2（②式）、d2+a+b2（③式），將三條線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，可簡化計(jì)算流程.具體解題思路如下：

圖1

如圖1，BC=AD=c+d，DC=AB=b+a，根據(jù)勾股定理可得出CF=d2+a+b2，F(xiàn)E=c2+b2，EC=a2+c+d2，△CFE即為所求三角形.根據(jù)S△CFE=S矩形ABCD－S△CDF－S△FAE－S△EBC，最終得出△CFE的面積為12（ac+bc+bd）.

2" 利用三角形中的恒等式逆命題，構(gòu)建一般三角形

從三角形中的恒等式逆命題出發(fā)構(gòu)建三角形解題，可有效提高解題效率，目前常見的三角恒等式如下：

tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC，

cotA·cotB+cotB·cotC+cotC·cotA=1，

cos2A+cos2B+cos2C+2cosA·cosB·cosC=1，

cosA+cosB+cosC=1+4sinA2·sinB2·sinC2，

tanA2·tanB2+tanB2·tanC2+tanC2·tanA2=1，

sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC.

例2" 已知正實(shí)數(shù)p，q，r，滿足關(guān)系式p+q+r+2pqr=1，

求證y－qr+z-qvz－m+y－m－1－y2－p有唯一解.

分析" 三角形恒等式cos2A+cos2B+cos2C+2cosA·cosB·cosC=1在結(jié)構(gòu)上類似已知等式，可根據(jù)0lt;p，rlt;1構(gòu)建如圖2.

根據(jù)圖2可以看出，銳角△ABC內(nèi)接于半徑長為12的圓中，其中H為垂心，p=cos2A，q=cos2B，r= cos2C，0lt;cosAlt;1，0lt;cosBlt;1，0lt;cosClt;1，

圖1

易證AH=cosA=p，BH=cosB=q，CH=cosC=r，進(jìn)而利用面積關(guān)系即可求證（p，q，r）的唯一解.

3" 利用圓的定義，構(gòu)建輔助圓

例3" 如圖3，AB=BC=CA=AD，AH⊥CD于點(diǎn)H，CP⊥BC交AH于點(diǎn)P，求證S△ABC=34AP·BD.

分析" 該題是證明△ABC的面積等于34AP·BD，而AP·BD并非三角形的邊，并且在正△ABC中，S△ABC=12·AC·BC·sin60°=34AC·BC，由此可以看出，問題等價(jià)于證明34AC·BC=34AP·BD，即AC·BC=AP·BD，改寫成比例的形式為ACBD=APBC，即證明△APC∽△BCD.根據(jù)題目條件可以得出∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∠BCP=∠AHC=∠AHD=90°，∠ACP=30°.從本質(zhì)上看，有關(guān)度數(shù)推導(dǎo)相等角的過程相對復(fù)雜，對此可利用AB=CA=AD即三條線段共端點(diǎn)A為基礎(chǔ)，構(gòu)建以A為圓心，AB為半徑的圓.

圖3

進(jìn)而根據(jù)上述圖形，利用圓弧所對應(yīng)的圓周角、圓心角等相關(guān)知識，可以得出∠BDC=12∠BAC=30°，最終得出∠BDC=∠ACP，∠APC=∠PCH+90°=∠BCD，所以△APC∽△BCD，問題得以求證.

4" 結(jié)語

綜上所述，本文對幾何構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用進(jìn)行討論與分析，以了解幾何構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用價(jià)值，旨在為廣大學(xué)者提供參考及幫助.

參考文獻(xiàn)：

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