初中數(shù)學(xué)解題方法和技巧研究

【摘要】二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)，其解析式是解題關(guān)鍵，一般式、頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式是常見(jiàn)的形式.學(xué)生需要掌握各種形式對(duì)應(yīng)的解題策略，才能提升解題效率與準(zhǔn)確性，本文主要介紹頂點(diǎn)式與待定系數(shù)法.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；解題技巧

二次函數(shù)作為中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，其主要考查學(xué)生解析式求解能力，通過(guò)掌握不同形式的函數(shù)表達(dá)式，并熟練運(yùn)用已知條件進(jìn)行求解，是解答二次函數(shù)題目的基礎(chǔ)，只有理清解析式解題思路，才能有效攻克二次函數(shù)難題.

1" 利用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式

二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的形式為y=a（x－h(huán)）2+k，其中（h，k）是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，a是拋物線(xiàn)的二次項(xiàng)系數(shù)，這將影響到拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向與寬度.當(dāng)已知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)的另外一個(gè)點(diǎn)，可以使用頂點(diǎn)式求解出二次函數(shù)的解析式［1］.

例1" 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=－12x2+bx+152交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B（5，0），點(diǎn)A先向上平移m（m＞0）個(gè)單位，再向右平移n（n＞0）個(gè)單位得點(diǎn)C；點(diǎn)B先向上平移m個(gè)單位，再向左平移3n個(gè)單位也得點(diǎn)C，且點(diǎn)C恰好落在該拋物線(xiàn)上．

圖1

（1）求b的值及該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解析" 根據(jù)題目信息，第（1）問(wèn)可以使用待定系數(shù)法求出數(shù)值b，并根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=－b2a，求出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，即因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y=－12x2+bx+152交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B（5，0），所以－12×25+5b+152=0，所以b=1，所以?huà)佄锞€(xiàn)為y=－12x2+x+152，所以?huà)佄锞€(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=－12×（－12）=1.第（2）問(wèn)結(jié)合題目中A （x，0），根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得出其是關(guān)于x的方程，解方程求出x的數(shù)值，進(jìn)而推導(dǎo)出A的坐標(biāo).即因?yàn)辄c(diǎn)B（5，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，所以A（-3，0），所以點(diǎn)A先向上平移m（m＞0）個(gè)單位，再向右平移n（n＞0）個(gè)單位得點(diǎn)C" （－3+n，m），點(diǎn)B先向上平移m單位，再向左平移3n個(gè)單位也得點(diǎn)C" （5－3n，m），所以－3+n=5－3n，所以n=2，所以C的橫坐標(biāo)為－1，把x=－1代入y=-12x2+x+152，得y=－12×1－1+152=6，所以C（-1，6）．

2nbsp; 待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式

待定系數(shù)法是求解二次函數(shù)解析式的一種常用方法，比較適合使用在已知二次函數(shù)經(jīng)過(guò)幾個(gè)點(diǎn)的情況，確定已知點(diǎn)，建立方程組（將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)的一般形式），得到三個(gè)未知數(shù)a，b，c的數(shù)值，將求解出的數(shù)值代入一般式中，最終得到二次函數(shù)解析式.

例2" 如圖2，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-4，0）和點(diǎn)B，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C（0，-4）．

（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，當(dāng)∠BCP=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖2

解析" （1）直接將A與C的坐標(biāo)代入到解析式中求出b與c的數(shù)值即可.主要分析問(wèn)題（2），此問(wèn)題需要學(xué)生結(jié)合解題要求，將y=0代入解析式，可得0=x2+3x－4，整理得（x－1）（x+4）=0，解得x1=1，x2=－4，所以點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，0）．

如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BT⊥BC交CP與T，作TH⊥AB交AB于點(diǎn)H，則三角形△BCT為等腰直角三角形，所以∠TBH+∠OBC=90°，∠OBC+∠OCB=90°，所以∠TBH=∠OCB①.又因?yàn)椤蟃HB=∠BOC=90°②，BC=BT③，由①②③得△BHT≌△COB（AAS），所以TH=OB=1，BH=OC=4，所以O(shè)H=3，所以T（－3，1），設(shè)CP解析式y(tǒng)=dx+e，C，T的坐標(biāo)分別代入得－3d+e=1e=－4，解d=－53e=－4，所以此函數(shù)解析式為y=－53x－4，聯(lián)立y=x2+3x－4和y=－53x－4，得x2+3x－4=－53x－4，解得x1=－143和x2=0（舍去），將x1=－143代入y=－53x－4，得y=349，所以P（－143，349）.

圖3

3" 結(jié)語(yǔ)

在二次函數(shù)解析式的求解過(guò)程中，學(xué)生需要靈活掌握不同的表達(dá)形式，依據(jù)已知點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解是核心環(huán)節(jié).同時(shí)，還需要結(jié)合其他相關(guān)知識(shí)點(diǎn)來(lái)確定坐標(biāo)，并熟練掌握基本點(diǎn)的求解方法，從而得出函數(shù)的具體形式.這是二次函數(shù)解析式解題的關(guān)鍵要點(diǎn).

參考文獻(xiàn)：

［1］程龍軍.第10講 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（02）：54-58.