例談初中數(shù)學(xué)中三類(lèi)幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解題技巧

【摘要】本文主要探討初中數(shù)學(xué)中的三類(lèi)幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，即隱圓問(wèn)題、費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題和胡不歸模型．通過(guò)具體的實(shí)例分析，詳細(xì)闡述這三類(lèi)問(wèn)題的解題思路和技巧，旨在幫助初中學(xué)生更好地掌握幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解題方法，提高他們的數(shù)學(xué)思維能力和解題能力．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；幾何動(dòng)點(diǎn)；解題技巧

在初中數(shù)學(xué)中，幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一．這類(lèi)問(wèn)題通常涉及圖形的運(yùn)動(dòng)變化，要求學(xué)生根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的位置變化，分析圖形的性質(zhì)和關(guān)系，進(jìn)而求解問(wèn)題．由于動(dòng)點(diǎn)的位置不確定，解題的難度增加，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的空間想象能力、邏輯思維能力和分析問(wèn)題的能力．

1" 隱圓問(wèn)題

例1" 如圖1，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在⊙O內(nèi)，∠ACB=90°，∠ABC=30°，連接OC，若⊙O的半徑是4，則OC長(zhǎng)的最小值為""" ．

圖1

解析" 如圖2，延長(zhǎng)BC交圓O于點(diǎn)D，連接DO，AD，過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AD交于點(diǎn)E.

圖2

因?yàn)椤螦BC=30°，

所以∠AOD=60°，

因?yàn)锳O=DO，

所以△AOD是等邊三角形，

因?yàn)镺A=4，所以AD=4，

因?yàn)椤螦CB=90°，

所以∠ACD=90°，

因?yàn)镋O⊥AD，

所以AE=DE，

所以點(diǎn)C在以E為圓心，AE為半徑的圓上，

所以當(dāng)O、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，OC為最小.

在Rt△DEO中，DO=4，DE=2，

所以EO=23，

所以CO的最小值為23－2．

點(diǎn)評(píng)" 本題為求圓中的最小距離問(wèn)題，熟練掌握垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的勾股定理，根據(jù)定角定弦確定點(diǎn)C的軌跡是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)BC交圓O于點(diǎn)D，連接DO，AD，過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AD交于點(diǎn)E，則△AOD是等邊三角形，再確定點(diǎn)C在以E為圓心，AE為半徑的圓上，則CO的最小值為EO－DE，再求解即可．

2" 費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題

例2" 如圖3，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA+PB+PC的最小值為""" ．

圖3

圖4

解析" 將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DFC，連接PF、AD、DB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖4.

所以AP=DF，∠PCF=∠ACD=60°，

PC=FC，AC=CD，

所以△PCF、△ACD是等邊三角形，

所以PC=PF，AD=AC=1，

∠DAC=60°

所以PA+PB+PC=FD+BP+PF，

所以當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，最小值為BD的長(zhǎng).

因?yàn)椤螩AB=90°，∠CAD=60°，

所以∠EAD=30°，

所以DE=12AD=12，

所以AE=AD2－ED2=32，

所以BE=1+32，

所以BD=BE2+DE2=6+22，

所以PA+PB+PC的最小值為6+22．

點(diǎn)評(píng)" 本題為費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DFC，將三條線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化到一條直線上，將PA+PB+PC轉(zhuǎn)化為FD+BP+PF，當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，最小值為BD的長(zhǎng)．根據(jù)勾股定理求解即可．

3" 胡不歸模型

例3" 如圖5，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=4，若點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+DC的最小值為""" ．

圖6

解析" 過(guò)點(diǎn)C作射線CE，使∠BCE=30°，再過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作DF⊥CE，垂足為點(diǎn)F，連接AD，如圖6．

在Rt△DFC中，∠DCF=30°，

所以DF=12DC，

因?yàn)?AD+DC=2（AD+12DC）＝2（AD+DF），

所以當(dāng)A，D，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上，即AF⊥CE時(shí)，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長(zhǎng)，

此時(shí)，∠B=∠ADB=60°，

所以△ABD是等邊三角形，

所以AD=BD=AB=4，

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=4，

所以BC=8，DC=AD=4，

所以DF=12DC=2，

所以AF=AD+DF=4+2=6，

所以2（AD+DF）=2AF=12，

所以2AD+DC的最小值為12．

點(diǎn)評(píng)" 本題考查垂線段最短、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造胡不歸模型，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題．過(guò)點(diǎn)C作射線CE，使∠BCE=30°，再過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作DF⊥CE，垂足為點(diǎn)F，連接AD，當(dāng)A，D，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上，即AF⊥CE時(shí)，2AD+DC的值最小，最小值等于垂線段AF的長(zhǎng)．

4" 結(jié)語(yǔ)

初中數(shù)學(xué)中的幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一．通過(guò)對(duì)點(diǎn)在線段或圖形邊界上運(yùn)動(dòng)的三類(lèi)問(wèn)題的分析，可以總結(jié)出一些解題思路和技巧，如利用圖形的性質(zhì)、建立函數(shù)關(guān)系、運(yùn)用分類(lèi)討論思想等．在實(shí)際教學(xué)中，要注重基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，加強(qiáng)練習(xí)和鞏固，幫助學(xué)生更好地掌握幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解題方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解題能力．

參考文獻(xiàn)：

［1］鄒騰.運(yùn)用“動(dòng)靜結(jié)合”策略解初中數(shù)學(xué)平面幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的探究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2024（07）：149-151.

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