初中數(shù)學(xué)中動(dòng)點(diǎn)問題的解題策略

【摘要】動(dòng)點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)中一種較為復(fù)雜的變換問題，蘊(yùn)含多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn).教師需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目給出的條件，正確找出“變量”和“不變量”，注重動(dòng)點(diǎn)問題的解題策略傳授，加強(qiáng)解題指導(dǎo)，提高教學(xué)成效.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；動(dòng)點(diǎn)問題；解題策略

初中數(shù)學(xué)中動(dòng)點(diǎn)問題具有很強(qiáng)的綜合性特征，涵蓋二次函數(shù)、三角形、直角坐標(biāo)系等諸多知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生在解決動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)不僅要具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，也需要具有一定的數(shù)學(xué)思維.動(dòng)點(diǎn)問題對學(xué)生的邏輯思維能力、知識(shí)應(yīng)用能力、信息處理能力要求較高，也是初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容.因此，教師需要在充分把握學(xué)生認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)問題特點(diǎn)，組織學(xué)生分析探討問題的核心要素，關(guān)注動(dòng)點(diǎn)問題的分類教學(xué)，為學(xué)生提供針對性的解題指導(dǎo).通過這種方式，不僅能夠有效提升學(xué)生解決難點(diǎn)問題的能力，也能夠?qū)ε囵B(yǎng)學(xué)生的綜合知識(shí)應(yīng)用能力起到一定的促進(jìn)作用.

1" 單一動(dòng)點(diǎn)問題的解題策略

單一動(dòng)點(diǎn)問題是動(dòng)點(diǎn)問題的基礎(chǔ)類型，一般涉及幾何知識(shí)、一次二次函數(shù)等方面的內(nèi)容，該類問題具有較強(qiáng)的綜合性，需要學(xué)生運(yùn)用多種數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和解題方法進(jìn)行解題［1］.

例1" 如圖1中二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸相交于P（1，0），Q（4，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于A（0，2）點(diǎn)，連接AP和AQ，求：

圖1

（1）二次函數(shù)表達(dá)式；

（2）如果M點(diǎn)是函數(shù)圖象對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求滿足∠AMQ=∠APQ條件的點(diǎn)的坐標(biāo).

解析" （1）利用待定系數(shù)法可求出表達(dá)式，為y=12x2－52x+2.

（2）由于M點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，在求坐標(biāo)時(shí)需要分情況討論：

情況1" M點(diǎn)在直線AQ上方時(shí).首先求B點(diǎn)坐標(biāo)，過A點(diǎn)作PQ平行線AB，過Q點(diǎn)作AP平行線BQ使兩條線相于B點(diǎn)，可求出B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）.線段AB垂直平分線方程為x=32，可得出AQ的垂直平分線方程為y=2x－3，較易得出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)C（32，0），點(diǎn)C是△ABQ外接圓的圓心，求出圓半徑為52，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（52，y），根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得y=212，因此M點(diǎn)坐標(biāo)為（52，212）［2］.

情況2" M點(diǎn)在直線AQ下方時(shí).參照圖2.根據(jù)題目給出條件，可求出圓心坐標(biāo)C（52，2），圖2中兩條垂直平分線交點(diǎn)為△APQ外接圓的圓心，求出M點(diǎn)坐標(biāo)為（52，12）.

圖2

單一動(dòng)點(diǎn)問題的解題具有代表性，即學(xué)生在掌握單一動(dòng)點(diǎn)問題的解題方法后，能夠?qū)ο嚓P(guān)動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行聯(lián)想，舉一反三進(jìn)而形成有效的學(xué)習(xí)思維.教師可利用“畫輔助線”這一關(guān)鍵要素，幫助學(xué)生明確解題思路，能夠較為容易地求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo).因此，在動(dòng)點(diǎn)問題解題教學(xué)中，教師需要關(guān)注學(xué)生畫輔助線的方法的合理性，并使學(xué)生形成綜合解題思維.

2" 雙（多）動(dòng)點(diǎn)問題的解題策略

雙（多）動(dòng)點(diǎn)問題可看作是單一動(dòng)點(diǎn)問題的擴(kuò)展或升級(jí)，因此在解題中需要遵循的基本策略是將雙（多）動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為單一動(dòng)點(diǎn)問題后再進(jìn)行解決.在具體的問題解決過程中，需要分類討論，并綜合使用多種數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思維［3］.

例2" 如圖3中拋物線y=ax2+bx-5與x軸相交于A（－1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于C點(diǎn)，求：

（1）拋物線的解析式；

（2）線段CD與x軸平行，M點(diǎn)為CD下面的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M點(diǎn)作與y軸平行的線段MN，與CD交于F點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)到哪個(gè)位置時(shí)四邊形CMDN面積最大？求此時(shí)的M點(diǎn)坐標(biāo)及四邊形面積.

圖3

解析" （1）用待定系數(shù)法可求出拋物線y=ax2+bx-5的表達(dá)式為y=x2－4x－5.

（2）在求解過程中，充分把握問題給出的已知條件，可將四邊形分成有一條邊是“橫平豎直”線段的兩個(gè)三角形，進(jìn)而求出四邊形面積表達(dá)式.這樣就可以將四邊形面積的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題進(jìn)行求解［4］.

根據(jù)已知條件可求得D（4，－5），CD=4，直線BC表達(dá)式為y=x－5.

假設(shè)M（x，x2－4x－5），N（x，x－5）的同時(shí)，0lt;xlt;4，進(jìn)而可得出：

MN=－x2+5x，S四邊形CMDN=S△CDM+S△CDN=－2（x-52）2+252.

結(jié)合限制條件0lt;xlt;4可知，在x=52時(shí)，四邊形CMDN面積最大，為252，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（52，－354）.

雙（多）動(dòng)點(diǎn)問題的解題關(guān)鍵在于把握多個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的相互關(guān)系，結(jié)合問題所給出的條件，明確“不變量”因素，并弄清楚多個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的先后順序，加強(qiáng)對關(guān)鍵因素的掌控，這樣能夠更清晰地明確解題思路.同時(shí)，多動(dòng)點(diǎn)問題可以簡化為雙動(dòng)點(diǎn)問題，雙動(dòng)點(diǎn)問題也可以靈活轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問題. 在解題時(shí)，需要具體問題具體分析，掌握相應(yīng)的解題方法.

3" 結(jié)語

綜上所述，動(dòng)點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)中的關(guān)鍵內(nèi)容，也是學(xué)生實(shí)際做題過程中遇到的較為棘手的問題，需要學(xué)生靈活使用多種數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解決.在解決動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，需要具備“轉(zhuǎn)化”思維，即將動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，結(jié)合問題給出條件明確問題關(guān)鍵點(diǎn)，正確找出“變量”和“不變量”，運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法解題.

參考文獻(xiàn)：

［1］趙玉葉.初中數(shù)學(xué)中“含有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的線段和（差）的最值問題”的解題策略［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（32）：86-88.

［2］何華萍.畫圖轉(zhuǎn)化討論——例談初中數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)問題”的解題指導(dǎo)策略［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（05）：87-88.

［3］王秋葉.如何“以不變應(yīng)萬變”——淺談初中數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)問題”單元教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.數(shù)理化解題研究，2023（32）：8-10.

［4］鄒騰.運(yùn)用“動(dòng)靜結(jié)合”策略解初中數(shù)學(xué)平面幾何動(dòng)點(diǎn)問題的探究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2024（07）：149-151.