“動(dòng)靜比翼，數(shù)形雙飛”

【摘要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分.二次函數(shù)的最值問題，可以考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維中的數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想——初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用較多的方法，也是課堂學(xué)習(xí)的重點(diǎn).掌握二次函數(shù)最值的求解策略，能夠極大地提高數(shù)學(xué)解題能力，為步入高中學(xué)習(xí)更多的函數(shù)知識(shí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；初中數(shù)學(xué)；最值

1" 軸定區(qū)間定

軸定區(qū)間定，主要就是在題目給出或者可根據(jù)條件求出二次函數(shù)解析式的前提下，根據(jù)題目所給出的函數(shù)的具體定義域，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出這個(gè)二次函數(shù)在給定的定義域內(nèi)的最值問題.

例1" 已知函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，3），（6，3）．

（1）求b，c的值；

（2）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，求y的最大值與最小值之差．

解析" （1）因?yàn)楹瘮?shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，3），（6，3），

所以c=3，

y=x2+bx+3，

將點(diǎn)（6，3）代入可得3=62+6b+3，

解得b=－6，

所以b=－6，c=3.

（2）y=x2－6x+3=（x－3）2－6，

當(dāng)0≤x≤4時(shí)，

①僅當(dāng)x=3時(shí)，y取得最小值，此時(shí)y=（3－3）2－6=－6；

②僅當(dāng)x=0時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y=（0－3）2－6=3；

3－（－6）=9，

所以當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y的最大值與最小值之差為9.

點(diǎn)評(píng)" 利用具體的二次函數(shù)解析式求解固定區(qū)間的最值問題，要搞清楚二次函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸，以及頂點(diǎn)坐標(biāo)等，然后根據(jù)給出的定義域截取圖象，然后根據(jù)圖象獲取信息，找到最值即可.

2" 軸動(dòng)區(qū)間定

軸動(dòng)區(qū)間定是在根據(jù)已知條件求解二次函數(shù)具體的解析式后，依據(jù)題目所給出的帶有參變量的定義域求解函數(shù)最值問題，這種題目因?yàn)榻o出的定義域的不確定性，所以隨著參數(shù)取值的不同導(dǎo)致截取的對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象也發(fā)生變化.

例2" 求關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2－2tx+1在－1≤x≤1上的最大值（t為常數(shù)）．

解析" 根據(jù)題意，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸為直線x=－－2t2×1=t，

由題意可得，拋物線開口向上，

①當(dāng)tlt;－1，x=1時(shí)，y有最大值為－2t+2，

②當(dāng)－1≤tlt;0，x=1時(shí)，y有最大值為－2t+2，

③當(dāng)t=0，x=1或－1時(shí)，y有最大值為2，

④當(dāng)0lt;t≤1，x=－1時(shí)，y有最大值為2t+2，

⑤當(dāng)tgt;1，x=－1時(shí)，y有最大值為2t+2．

點(diǎn)評(píng)" 對(duì)于二次函數(shù)中的軸動(dòng)區(qū)間定的問題，首先對(duì)函數(shù)方程式進(jìn)行適當(dāng)?shù)男畔⑻崛?，獲得基本信息后就可以畫出函數(shù)的基本圖象，特別注意開口方向和對(duì)稱軸，然后依據(jù)分類討論思想對(duì)于參數(shù)變化導(dǎo)致定義域的不同進(jìn)行討論求解即可.

3" 軸定區(qū)間動(dòng)

所謂軸定區(qū)間動(dòng)，就是在根據(jù)已知確定二次函數(shù)解析式的前提下，根據(jù)題目給出的確定的定義域，求解函數(shù)的最值問題.注意此類問題的特點(diǎn)：題目給出的二次函數(shù)的定義域是固定不變的，但因?yàn)槎魏瘮?shù)解析式中的參數(shù)不同，二次函數(shù)的開口方向和對(duì)稱軸的其中之一或者兩者都是隨著參數(shù)取值的不同而發(fā)生變化的.

例3" 已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，3），（6，3）．

（1）求b，c的值；

（2）當(dāng)k－4≤x≤k時(shí)，若y的最大值與最小值之差為8，求k的值．

解析" （1）因?yàn)楹瘮?shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，3），（6，3），

所以c=3，y=x2+bx+3，

將題目中給出的已知點(diǎn)（6，3）代入可得：3=62+6b+3，解得：b=－6，

所以b=－6，c=3.

（2）當(dāng)k－4≤x≤k時(shí)，y=x2－6x+3=（x－3）2－6，

①當(dāng)k－4≤x≤k≤3時(shí)，即k≤3，

僅當(dāng)x=k，y取得最小值，此時(shí)y=k2－6k+3；

僅當(dāng)x=k－4，y取得最大值，此時(shí)y= （k－4）2－6（k－4）+3；

（k－4）2－6（k－4）+3－（k2－6k+3）=8，

解得：k=4，

因?yàn)閗≤3，

所以k=4不符合題意.

②當(dāng)k－4≤3且k≥3時(shí)，即3≤k≤7，此時(shí)最小值為y=－6，

當(dāng)x=k－4時(shí)取得最大值，

即3－（k－4）≥k－3時(shí)，k≤5，

此時(shí)y= （k－4）2－6（k－4）+3，

（k－4）2－6（k－4）+3－（－6）=8，

解得：k=7±22，

因?yàn)?≤k≤5，7+22gt;7，

所以k=7+22不符合題意；

所以k=7－22；

當(dāng)x=k取得最大值，

即3－（k－4）≤k－3時(shí)，k≥5，

此時(shí)y=k2－6k+3，

k2－6k+3－（－6）=8，

解得：k=3±22，

因?yàn)?≤k≤7，5lt;3+22lt;7，3－22lt;5，

所以k=3+22符合題意，k=3－22不符合題意，

所以k=3+22.

③當(dāng)3≤k－4≤x≤k時(shí)，即k≥7，

僅當(dāng)x=k－4，y取得最小值，此時(shí)y= （k－4）2－6（k－4）+3；

僅當(dāng)x=k，y取得最大值，此時(shí)y=k2－6k+3；

k2－6k+3－［（k－4）2－6（k－4）+3］=8，

解得：k=6，

因?yàn)閗≥7，

所以k=6不符合題意.

綜上所述，k的值為7－22或3+22．

點(diǎn)評(píng)" 基于軸定區(qū)間動(dòng)求解二次函數(shù)最值問題時(shí)，要根據(jù)題目采用數(shù)形結(jié)合思想，畫出固定區(qū)間后，確定題目給出的二次函數(shù)信息，對(duì)該二次函數(shù)隨著參數(shù)的取值不同而進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓?，從而確定在不同情況下對(duì)應(yīng)的函數(shù)的不同的最值問題，通過分類討論解決即可.

4" 結(jié)語

對(duì)于二次函數(shù)在不同條件下的最值求解問題，我們要充分利用題目中的二次函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸，以及題目給出的定義域，采用數(shù)形結(jié)合思想把握在不同的條件下，參變量所帶來的圖象變化，進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)分類討論思想的理解.由于此類題目具有一定的綜合性，所以在日常學(xué)習(xí)中務(wù)必對(duì)學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的強(qiáng)化訓(xùn)練，且讓學(xué)生熟悉各類題型，以及各類問題的處理方法，學(xué)會(huì)自我總結(jié)歸納解法，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力，為日后學(xué)習(xí)其他內(nèi)容奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

［1］雷寶生.二次函數(shù)在求解最值問題中的應(yīng)用［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（21）：29-31+34.

［2］劉盛.以二次函數(shù)最值談銜接教學(xué)案例［J］.文理導(dǎo)航（中旬），2024（02）：19-21.