對(duì)代數(shù)推理教學(xué)的實(shí)踐與思考

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中，在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域增加了代數(shù)推理的內(nèi)容.因此，如何發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力逐漸成為研究的新趨勢.本文以“平方差公式”為例，從代數(shù)推理的情境性、可視性、遷移性、反思性四個(gè)方面出發(fā)，闡述對(duì)代數(shù)推理教學(xué)實(shí)踐的看法與思考，從而有效地發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力.

【關(guān)鍵詞】代數(shù)推理；平方差公式；初中數(shù)學(xué)

1代數(shù)推理

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》特別指出，在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中要關(guān)注基于代數(shù)的邏輯推理能力，要求學(xué)生能靈活運(yùn)用有關(guān)的代數(shù)知識(shí)進(jìn)行代數(shù)推理.張僑平指出，代數(shù)推理是對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的探索，是對(duì)具體的數(shù)字與計(jì)算進(jìn)行概括，即尋找、識(shí)別、概括與運(yùn)用潛在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是代數(shù)推理的主要因素[1]REF_Ref24002rh.吳立寶、劉穎超認(rèn)為，代數(shù)推理是指按照一定的程序和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)地表示這些概括和抽象的過程，并逐漸用標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)符號(hào)來推理并表達(dá)[2]REF_Ref24028rh.丁銀杰提出，代數(shù)推理主要包括代數(shù)運(yùn)算和代數(shù)結(jié)構(gòu)或關(guān)系的變形與轉(zhuǎn)化兩種形式，其中前者側(cè)重于寓理于算，后者主要是函數(shù)、方程、不等式等代數(shù)模型的等價(jià)轉(zhuǎn)化，顯性或隱性構(gòu)造新的代數(shù)模型或用圖形、圖象表征代數(shù)對(duì)象等[3]REF_Ref24054rh.殷如意等人也指出，代數(shù)推理是對(duì)數(shù)字與計(jì)算進(jìn)行總結(jié)，將所得結(jié)論用有意義的符號(hào)進(jìn)行表達(dá)并加以探究驗(yàn)證[4]REF_Ref24081rh.

因此，教師要加強(qiáng)學(xué)生的代數(shù)推理能力，促進(jìn)學(xué)生深入理解代數(shù)運(yùn)算的本質(zhì)和規(guī)律，明確知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，加深對(duì)代數(shù)知識(shí)和方法的理解，從而落實(shí)“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展與提高.

2基于“平方差公式”的代數(shù)推理教學(xué)實(shí)踐

2.1代數(shù)推理要體現(xiàn)“情境性”

環(huán)節(jié)1以“速算比賽”為背景，引出“平方差公式”

（1）（x+1）（x-1）（2）（2x+2）（2x-2）（3）（m+3）（m-3）（4）（5+4n）（5-4n）

問題1上述式子中，相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式有什么共同點(diǎn)？

問題2通過計(jì)算，上述式子的結(jié)果有什么共同點(diǎn)？

問題3每個(gè)式子的左右兩邊有什么共同的聯(lián)系？

問題4請(qǐng)你用一般化的式子歸納出你的發(fā)現(xiàn).

加強(qiáng)代數(shù)推理的“情境性”，能在教學(xué)之初就充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，便于學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)過程.在“平方差公式”的教學(xué)中，以“速算比賽”為情境，激發(fā)學(xué)生的興趣，讓每位學(xué)生最大程度地參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中.當(dāng)他們真正融入課堂后，再通過教師一步步的問題引導(dǎo)，最后順理成章地引出“平方差公式”，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)局面從“要我學(xué)”變?yōu)椤拔乙獙W(xué)”.

2.2代數(shù)推理要體現(xiàn)“可視性”

環(huán)節(jié)2深入探究“平方差公式”

問題1你能用多項(xiàng)式相乘證明你的發(fā)現(xiàn)嗎？

問題2你能說說多項(xiàng)式相乘與平方差公式之間的關(guān)系嗎？

問題3如何用幾何法來說明平方差公式？

當(dāng)學(xué)生歸納出“平方差公式”后，教師便引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多項(xiàng)式相乘的知識(shí)來驗(yàn)證“平方差公式”，這不僅加強(qiáng)了新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，還讓代數(shù)推理過程達(dá)到了“看得見”的效果.此外，教師還應(yīng)從幾何方面來說明“平方差公式”（如表1），從而加深學(xué)生對(duì)公式的理解.

對(duì)學(xué)生而言，代數(shù)推理本就是抽象的內(nèi)容，大部分學(xué)生很難理解“為何代數(shù)推理”“何謂代數(shù)推理”兩大問題.因此，這就需要教師從多角度出發(fā)，將代數(shù)推理過程“可視化”，只有學(xué)生“看得見”推理過程，再通過教師的循循誘導(dǎo)，便可達(dá)到“看得懂”的效果.

2.3代數(shù)推理要體現(xiàn)“遷移性”

環(huán)節(jié)3靈活應(yīng)用“平方差公式”

請(qǐng)你完成以下計(jì)算，并回答以下問題.

（1）（a+3）（a-3）;

（2）（-2a+3）（-2a-3）;

（3）（3-2a）（-2a-3）;

（4）（3-2a2）（-2a2-3）;

（5）（3b-2a）（-2a-3b）;

（6）（a+b+c）（a+b－c）;

問題1平方差公式中的字母a、b除了能表示數(shù)，還能表示什么？

問題2平方差公式有什么樣的結(jié)構(gòu)特征？

問題3應(yīng)用平方差公式的步驟是什么？

首先，通過不斷地變式訓(xùn)練，即變系數(shù)、變符號(hào)、變位置、變次數(shù)、變因式、變項(xiàng)數(shù)，從而加深學(xué)生對(duì)“平方差公式”的理解，發(fā)展他們的遷移能力；同時(shí)在練習(xí)過程中，教師要帶領(lǐng)學(xué)生分析“平方差公式”的特點(diǎn)，找準(zhǔn)“平方差公式”中所對(duì)應(yīng)的a和b，讓學(xué)生感受到應(yīng)用公式不是簡單的代入公式，而是要挖掘公式的本質(zhì).最后，教師再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)練習(xí)題進(jìn)行總結(jié)概況，得出“平方差公式”的結(jié)構(gòu)特征和應(yīng)用步驟.

2.4代數(shù)推理要體現(xiàn)“反思性”

（1）簡述我們探究平方差公式的路徑是什么？

（2）談?wù)劚竟?jié)課你收獲了什么？

圖1

經(jīng)過一堂課的學(xué)習(xí)后，學(xué)生反思本節(jié)課的內(nèi)容，嘗試畫出本節(jié)課的思維導(dǎo)圖（如圖1）.通過及時(shí)反思，不僅能夠使學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)新知識(shí)，還能明晰知識(shí)的探究過程與方法，將整個(gè)研究路徑了然于心，從而更好地理解代數(shù)知識(shí)之間的橫縱向聯(lián)系，鍛煉數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性，優(yōu)化解題策略和方法，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等能力.

3對(duì)代數(shù)推理教學(xué)的思考

3.1代數(shù)推理與現(xiàn)實(shí)生活結(jié)合

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)；強(qiáng)調(diào)要加強(qiáng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，要從學(xué)生熟悉的生活情境進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，使學(xué)生有機(jī)會(huì)從周圍熟悉的事物中學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)就在身邊，感受現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)之美.

代數(shù)推理作為數(shù)學(xué)的重要部分，它不僅在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要作用，也在我們的日常生活中發(fā)揮著巨大的作用.因此，在進(jìn)行代數(shù)推理教學(xué)時(shí)，教師可以從學(xué)生熟悉的生活情境出發(fā)，把學(xué)生思維的著力點(diǎn)建立在他們熟悉的事物上，加強(qiáng)代數(shù)推理與現(xiàn)實(shí)生活的有機(jī)結(jié)合，有效地發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力，充分展示數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

例如在探究“等比定理”時(shí)，我們便可利用生活中的常識(shí)性知識(shí)來發(fā)現(xiàn)“等比定理”.首先，我們用a表示糖水（溶液），b表示糖（溶質(zhì)），于是ba就表示甜度（濃度）.然后，將一大杯糖水分為三小杯糖水，其中三小杯糖水的濃度分別b1a1、b2a2、b3a3，由于三小杯的糖水都是由大杯倒出的，顯然有b1a1=b2a2=b3a3.之后，又把三小杯糖水倒入一個(gè)空的大杯子，由生活常識(shí)可知，三小杯糖水的濃度與混合后的糖水濃度相等，最后便得到“等比定理”：b1a1=b2a2=b3a3=b1+b2+b3a1+a2+a3.

3.2代數(shù)推理與育人教育結(jié)合

教育是國之大計(jì)、黨之大計(jì)，是人才培養(yǎng)的根本問題.為了讓數(shù)學(xué)教育重回育人的本質(zhì)，我們應(yīng)高度重視育人教育，將其融入數(shù)學(xué)課堂，融入代數(shù)推理教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)育人教育與代數(shù)推理的同頻共振、同向同行[5]REF_Ref4659rh.為將兩者相結(jié)合，教師可以從以下兩方面出發(fā).

首先，加強(qiáng)數(shù)學(xué)史與代數(shù)推理的融合.將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，讓數(shù)學(xué)課堂充滿人文元素.學(xué)生通過欣賞古今中外的數(shù)學(xué)史料和故事，能體會(huì)古人對(duì)數(shù)學(xué)的思考與創(chuàng)造，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家們堅(jiān)持不懈、持之以恒、追求真理等優(yōu)良品質(zhì).

例如在“勾股定理”的教學(xué)中，教師利用“趙爽弦圖”來證明勾股定理，并引用《〈周髀算經(jīng)〉注》里的話：“負(fù)薪余日，聊觀《周髀》”，以此告訴學(xué)生：我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在辛苦勞作的情況下仍舊不忘刻苦學(xué)習(xí)、努力鉆研[6]REF_Ref2834rh.在“可化為一元二次方程的分式方程”中，教師講述英國著名盲人數(shù)學(xué)家桑德森的故事，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)家堅(jiān)韌不拔、勤奮好學(xué)等可貴品質(zhì).

其次，加強(qiáng)社會(huì)時(shí)事熱點(diǎn)與代數(shù)推理的結(jié)合.以社會(huì)熱點(diǎn)為背景，開展代數(shù)推理教學(xué)，將新鮮有趣的引例帶入課堂中，向?qū)W生傳遞有溫度的數(shù)學(xué)知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

例如在學(xué)習(xí)“導(dǎo)數(shù)概念”時(shí)，以“2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)”跳水比賽為背景，研究奧運(yùn)健兒的瞬時(shí)速度，從而引出課題，并且還讓學(xué)生體會(huì)到了運(yùn)動(dòng)健兒為國爭光的愛國情懷.

4結(jié)語

在育人教育與代數(shù)推理結(jié)合的過程中，教師要由此及彼、循序漸進(jìn)地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)與思政教育的水乳交融[7]REF_Ref29717rh.充分挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的育人資源，提高數(shù)學(xué)課程育人的深度、溫度和力度REF_Ref4659rh.唯此，方能落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，幫助學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀.

總而言之，在實(shí)際教學(xué)中，需要教師落實(shí)代數(shù)推理的“情境性”“可視性”“遷移性”“反思性”.將現(xiàn)實(shí)生活和育人教育融入代數(shù)推理中，讓學(xué)生感受到生活中的數(shù)學(xué)之美，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)中的德育之美.

參考文獻(xiàn)：

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