感悟中考穩(wěn)中有變，傳承創(chuàng)新提升能力

【摘要】本文對(duì)2017～2024年這8年的安徽省中考數(shù)學(xué)選擇壓軸題，進(jìn)行梳理歸納總結(jié)，可以發(fā)現(xiàn)呈現(xiàn)一定的傳承性與創(chuàng)新性，在此基礎(chǔ)上挖掘問(wèn)題的數(shù)學(xué)價(jià)值，可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與實(shí)踐能力.

【關(guān)鍵詞】最值問(wèn)題；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

1問(wèn)題背景

近幾年中考數(shù)學(xué)選擇壓軸題主要以幾何最值、函數(shù)圖象分析、幾何圖形多結(jié)論等為主.其中幾何最值問(wèn)題考查居多，內(nèi)涵也很豐富，可謂匠心獨(dú)運(yùn)，一般處于第10題的位置，作為選擇壓軸題.下面以安徽省中考試卷為例，從2017～2024年這8年中，幾何最值問(wèn)題考查了4次.本類(lèi)題型重在考查學(xué)生的邏輯推理能力、探索能力以及邏輯表達(dá)能力.本文闡述深入研討此類(lèi)問(wèn)題后的收獲.

2真題剖析

例1（2017安徽·10）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB＝13S矩形ABCD，則點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為（）

（A）29.（B）34.（C）52.（D）41.

分析首先由S△PAB＝13S矩形ABCD，得出動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，兩線段和的最小值從而轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”問(wèn)題，此問(wèn)題的本質(zhì)是確定“河”的位置或軌跡是核心．

解答設(shè)△ABP中AB邊上的高是h．

因?yàn)镾△PAB＝13S矩形ABCD，

所以12AB·h=13AB·AD，

所以h=23AD=2，

所以動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖2，作A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接AE，連接BE，則BE的長(zhǎng)就是所求的最短距離．

在Rt△ABE中，因?yàn)锳B＝5，AE＝2+2＝4，

所以BE=AB2+AE2=52+42=41，即PA+PB的最小值為41．

故選（D）．

例2（2019安徽·10）如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)將對(duì)角線AC三等分，且AC＝12，點(diǎn)P在正方形的邊上，則滿足PE+PF＝9的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）

（A）0.（B）4.（C）6.（D）8.

分析本題考查了正方形的性質(zhì)，以及最短路徑問(wèn)題，與2017年的考查點(diǎn)有相似之處，但也有創(chuàng)新之處，沒(méi)有明確求兩條線段和的最小值，而是給出一個(gè)定值讓學(xué)生去判斷分析，所以在BC上找到點(diǎn)H，使點(diǎn)H到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小是本題的關(guān)鍵．

解答如圖4，作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接FM交BC于點(diǎn)N，連接EM，交BC于點(diǎn)H.

因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)將對(duì)角線AC三等分，且AC＝12，

所以EC＝8，F(xiàn)C＝4＝AE.

因?yàn)辄c(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，

所以CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°，

所以∠ACM＝90°，則在線段BC存在點(diǎn)H到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小為45＜9.

在點(diǎn)H右側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，則PE+PF＝12，

所以點(diǎn)P在CH上時(shí)，45＜PE+PF≤12，

在點(diǎn)H左側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，BF=FN2+BN2=210.

因?yàn)锳B＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF，

所以△ABE≌△CBF（SAS），

所以BE＝BF＝210，

所以PE+PF=410，

所以點(diǎn)P在BH上時(shí)，45＜PE+PF＜410，

所以在線段BC上點(diǎn)H的左右兩邊各有一個(gè)點(diǎn)P，使PE+PF＝9，同理在線段AB，AD，CD上都存在兩個(gè)點(diǎn)使PE+PF＝9．

即共有8個(gè)點(diǎn)P滿足PE+PF＝9，故選（D）．

例3（2022安徽·10）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，則線段OP長(zhǎng)的最小值是（）

（A）332.（B）532.

（C）33.（D）732.

分析本題考查等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是自主畫(huà)出圖形，證明△PAB的面積是定值．如圖5，不妨假設(shè)點(diǎn)P在AB的左側(cè)，證明△PAB的面積是定值，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線PM，連接CO延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)R，交PM于點(diǎn)T．因?yàn)椤鱌AB的面積是定值，推出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線PM，求出OT的值，可得結(jié)論．

解答如圖5，不妨假設(shè)點(diǎn)P在AB的左側(cè)，

因?yàn)镾△PAB+S△ABC=S△PBC+S△PAC，

所以S1+S0=S2+S3，

因?yàn)镾1+S2+S3=2S0，

所以S1+S1+S0=2S0，

所以S1=12S0，

因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為6，

所以S0=34×62=93，

所以S1=932，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線PM，連接CO，并延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)R，交PM于點(diǎn)T．

因?yàn)椤鱌AB的面積是定值，

所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線PM，

因?yàn)镺是△ABC的中心，

所以CT⊥AB，CT⊥PM，

所以12AB·RT=932，CR=33，OR=3，

所以RT=332，

所以O(shè)T＝OR+TR＝RT=532，

因?yàn)镺P≥OT，

所以O(shè)P的最小值為532，故選（B）．

例4（2023安徽·10）如圖6，點(diǎn)E在線段AB上，△ADE和△BCE是位于直線AB同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，點(diǎn)P，F(xiàn)分別為CD，AB的中點(diǎn)，若AB=4，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

（A）PA+PB的最小值為33.

（B）PE+PF的最小值為23.

（C）△CDE周長(zhǎng)的最小值為6.

（D）四邊形ABCD面積的最小值為33.

分析本題以“雙等邊三角形”為背景，考查等邊三角形的性質(zhì)，本題的難點(diǎn)在于確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑，此種思路利用三角形的中位線來(lái)確定，從而轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決，考查了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

解答如圖7，延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)G，易得△ABG為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，四邊形CEDG為平行四邊形．因?yàn)辄c(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，可知點(diǎn)P為平行四邊形CEDG的對(duì)角線交點(diǎn)，從而可得G，P，E三點(diǎn)共線，且點(diǎn)P為GE的中點(diǎn)．作PM∥AB交AG于M，交BG于N，由滬科版八下教材第81頁(yè)推論得M，N分別為AG，BG中點(diǎn)，故點(diǎn)P在中位線MN上．

如圖8，補(bǔ)全等邊三角形ABG，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，作點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′，則AB′為PA+PB的最小值，F(xiàn)G=BB′=23，AB′=42+（23）2=27，故選（A）選項(xiàng)錯(cuò)誤．

如圖9，由（1）知，點(diǎn)P在直線MN上，作點(diǎn)E關(guān)于直線MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，則PE=PE′，則PE+PF=PE′+PF≥FG，根據(jù)垂線段最短，得PE+PF的最小值為GF=23，故（B）選項(xiàng)結(jié)論正確．類(lèi)似的可得出（C）（D）選項(xiàng)結(jié)論正確，所以選（A）.

3教學(xué)啟示

3.1悟透原理挖本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思考的能力

新課標(biāo)下的教學(xué)設(shè)計(jì)要整體規(guī)劃，立足于單元整體教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維．教師不僅要從整體上把握知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系、概念之間的關(guān)系，還要把握知識(shí)的定位.近幾年雖然多以幾何最值為主，但是每年的考題不同，引發(fā)學(xué)生思考的角度也不同，有傳承也有創(chuàng)新，對(duì)于現(xiàn)在學(xué)生的要求更高，需要學(xué)生站在更高的視角去審視問(wèn)題，教師也要引導(dǎo)學(xué)生理解問(wèn)題本質(zhì)，挖掘問(wèn)題根源，審清題意，找出問(wèn)題的考查點(diǎn)，深度研究數(shù)學(xué)問(wèn)題原型，提升思辨和創(chuàng)新能力.

3.2重視操作技能，提升學(xué)生綜合分析的能力

初中學(xué)業(yè)水平考試命題依據(jù)各學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)，在全面檢查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上，注重考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決實(shí)際問(wèn)題能力，引導(dǎo)發(fā)展素質(zhì)教育，體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)中堅(jiān)持立德樹(shù)人目標(biāo)的根本要求.所以要注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維活動(dòng)的過(guò)程，“學(xué)會(huì)思考”是要自己“悟”出來(lái)、自己“學(xué)”出來(lái)的，教師要教會(huì)學(xué)生思考問(wèn)題的方法和策略，自己要能用學(xué)到的方法和策略，在解決具有新情境問(wèn)題的過(guò)程中，感悟出如何進(jìn)行正確的思考，遷移運(yùn)用，提升學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.幾何離不開(kāi)畫(huà)（作）圖，幾何最值往往需要自己畫(huà)圖，或添加適當(dāng)?shù)妮o助線幫助解題，考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力，所以平時(shí)教師要積極引導(dǎo)學(xué)生自主規(guī)范畫(huà)圖，并提升對(duì)圖形的分析能力.

3.3抓住問(wèn)題結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力

核心素養(yǎng)視域下，教師開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，應(yīng)該積極轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，并尊重學(xué)生主體地位，積極創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)模式，對(duì)于同一類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，要引導(dǎo)學(xué)生自主歸納總結(jié)，從而掌握解決一類(lèi)問(wèn)題的基本路徑，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，助力提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，從而培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).

【基金項(xiàng)目：1.本文系2023年安徽省合肥市包河區(qū)教育規(guī)劃課題“基于學(xué)科育人的初中數(shù)學(xué)大單元教學(xué)策略實(shí)踐研究”的研究成果，立項(xiàng)編號(hào)為BJG2318.2.本文系2023年安徽省合肥市教育信息技術(shù)課題“信息化助推初中數(shù)學(xué)學(xué)生運(yùn)算能力提升的實(shí)踐探究”的研究成果，立項(xiàng)編號(hào)為HDJ23010】

參考文獻(xiàn)：

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[2]朱浩.自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 促進(jìn)學(xué)生思維生長(zhǎng)——以一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2022（04）：10-14.