初中數(shù)學(xué)幾何中線問(wèn)題巧解

【摘要】初中階段，學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)加重，知識(shí)點(diǎn)逐漸增多，面對(duì)中考各科的壓力，學(xué)會(huì)使用恰當(dāng)?shù)姆椒ń忸}成為學(xué)生需要提升的關(guān)鍵素養(yǎng).本文旨在探究三角形中線問(wèn)題的解決，為學(xué)生提供解決問(wèn)題思路的同時(shí)，給一線教師提供教學(xué)參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；三角形中線；解題技巧

1前提：核心模型講解

例1如圖1，三角形ABC中，AF，BE，CD分別為邊BC，AC，AB的中線且交于點(diǎn)O.請(qǐng)證明S△AOD=S△BOD=S△BOF=S△AOE=S△COE=S△COF.

證明因?yàn)锳F為BC邊上的中線，

所以S△ABF=12S△ABC

同理：S△ABE=12S△ABC，

所以S△ABF=S△ABE，

所以S△ABF－S△ABO=S△ABE－S△ABO，

所以S△BOF=S△AOE，

同理，S△AOB=S四邊形CEOF，

又因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)都是中點(diǎn)，

所以S△BOF=S△AOE=S△COF=S△COE，

同理可得S△AOD=S△BOD=S△BOF=S△AOE=S△COE=S△COF.

2題目實(shí)訓(xùn)

題目1（中位線+8字相似或面積法）

例2如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，中線AD、CE相交于點(diǎn)F，則EF是多少？

解法1DE=12AC.

如圖3，連接DE，

因?yàn)镈，E為中點(diǎn)，

所以，易證，△DFE∽△AFC，

所以EF=12CF=13CE，

又因?yàn)镃E=12AB，

所以EF=16AB=52.

解法2（面積法）

易得，S△ACF=2S△AEF

所以EF=12CF=13CE，

又因?yàn)镃E=12AB，

所以EF=16AB=52.

題目2（中位線+8字全等）

例3如圖4，在△ABC中，AC=4，AD為BC邊上的中線，E是AD中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)AC于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng).

解過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC交BF于點(diǎn)G.

因?yàn)镈G∥AC，

所以∠GDE=∠FAE，

又因?yàn)镋是AD中點(diǎn)，

所以AE=DE，

又因?yàn)椤螱ED=∠FEA，

所以△GED≌△FEA（ASA），

所以AF=DG，

又因?yàn)辄c(diǎn)D為BC中點(diǎn)，且DG∥AC，

所以DG=AF=12FC，

所以AF=13AC=43.

題目3（斜中線定理+相似）

例4如圖5，已知點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且∠BEC=90°.連接DE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，求CEBE的值.

解過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC交BC于點(diǎn)G，設(shè)BC為x，F(xiàn)G為y.

易得△BGE∽△EGC，

所以CGCE=EGBE①.

因?yàn)椤鱁FG∽△DFC，

所以FGFC=EGCD，

所以y12x=EGx，

所以EG=2y②.

EF=5y，CG=CF-FG=x2-y）

將②代入①中得，CEBE=12x－y2y，

因?yàn)镋F=FC=12x=5y，

所以CEBE=5－12.

3結(jié)語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，各種知識(shí)點(diǎn)錯(cuò)綜復(fù)雜又相互聯(lián)系，尤其是到了初三的復(fù)習(xí)階段.本文提供了一些中線問(wèn)題的典型例題及解題思路，可以幫助學(xué)生建立模型意識(shí)，快速解題，便于學(xué)生復(fù)習(xí)并鞏固知識(shí)點(diǎn).本文提供了面積法解中線問(wèn)題的核心模型，可以幫助學(xué)生快速掌握該種解題思路，從而達(dá)到理解掌握并應(yīng)用的目的.