幾何解題中的“畫龍點(diǎn)睛”

【摘要】輔助線在初中數(shù)學(xué)幾何問題中的應(yīng)用十分普遍，它是幾何模型的構(gòu)造基礎(chǔ)，通過做輔助線，可以幫助學(xué)生理清圖形中的解題關(guān)鍵信息，將分散的數(shù)學(xué)信息聚攏起來，找到有關(guān)點(diǎn)、線、面的關(guān)系，進(jìn)而利用它們的性質(zhì)解決繁雜的幾何問題.可以說，輔助線是幾何解題中“畫龍點(diǎn)睛”的一筆，構(gòu)造正確的輔助線，即可輕松化解幾何難題.

【關(guān)鍵詞】輔助線；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

1截長補(bǔ)短法

輔助線的本質(zhì)就是將不完整的圖形補(bǔ)成熟悉的圖形，尤其是在三角形中，利用輔助線構(gòu)造成特殊的形狀、全等與相似三大類.其中全等涉及中線、截長補(bǔ)短、折疊以及一線一角，相似涉及旋轉(zhuǎn)、一線三等角以及一些相似模型等.截長補(bǔ)短法在中考幾何中出現(xiàn)的頻率相對較高.

例1如圖1，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，點(diǎn)E、F分別在邊AB，AD上，且AE=DF，BF與DE交于點(diǎn)G，連接CG，求證：BG+DG=CG.

分析通過讀題，可知本題需要證明BG+DG=CG，看到這個形式，學(xué)生可以大膽猜測本題可能需要用到截長補(bǔ)短的輔助線作法，通過構(gòu)造全等三角形來破題，再次分析已知條件，本題利用補(bǔ)短法，延長BF至點(diǎn)H，使得BH=CG，連接DH，BD.如此構(gòu)造出輔助線，可以梳理出本題中的幾何關(guān)系，也就是要想求證BG+DG=CG，只需求得DG=GH即可.通過已知的條件，可以得出兩個全等，即△DAE≌△BDF、△BDH≌△CDG，因此可得DG=GH，進(jìn)而求出BG+DG=CG.

解析延長BF至點(diǎn)H，使得BH=CG，連接DH，BD.

在菱形ABCD中，AB=AD=DC=CB.

因為∠BAD=60°，

所以△ABD、△BCD是等邊三角形.

所以BD=DA=CD，

∠FDB=∠BAD=60°，

因為AE=DF，

所以△DAE≌△BDF，∠BFD=∠DEA.

在△DAE中，因為∠BAD=60°，

所以∠ADE+∠DEA=120°，

因為∠BFD=∠DEA，

所以∠DGB=∠ADE+∠BFD=120°.

在等邊△BCD中，∠DCB=60°，

因此∠DCB+∠DGB=180°，則B、C、D、G四點(diǎn)共圓，由此可得以DG為底的兩個三角形中，∠DCG=∠DBG.

因為BD=CD，BH=CG，

∠DCG=∠DBG（SAS），

所以△BDH≌△CDG，

所以DG=DH，

因為∠DGB=120°，

所以∠DGH=60°，

所以△DGH是等邊三角形，

所以DG=GH.由此可證得BG+DG=CG.

評析截長補(bǔ)短是中考幾何中常見的輔助線構(gòu)造方法之一，對于證明線段之間數(shù)量關(guān)系的幾何解題十分有用，掌握了截長補(bǔ)短的方法，學(xué)生很容易就能找到破題的關(guān)鍵，結(jié)合題意作出相應(yīng)的輔助線，通過構(gòu)造全等關(guān)系，進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換，幾何問題就能化繁為簡.

2圓中的輔助線做法

圓內(nèi)的輔助線做法主要包括四大類，可以總結(jié)為與弦有關(guān)做垂徑、弧的中點(diǎn)連圓心、遇直徑，連直角、遇切線，連切點(diǎn).從這四點(diǎn)總結(jié)中，不難發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)的輔助線做法就是在圓內(nèi)構(gòu)造直角三角形，然后利用勾股定理以及與圓有關(guān)的定理與性質(zhì)進(jìn)行解題.

例2如圖2所示，AB=10，∠AEC=45°，OE∶AE=2∶3，求線段CE的長為.

分析根據(jù)總結(jié)的圓內(nèi)輔助線的四種做法，可以發(fā)現(xiàn)，本題需求的線段CE在弦CD上，因此利用與弦有關(guān)作垂徑的方法，過圓心O作OF⊥CD，交點(diǎn)為點(diǎn)F，連接OD，此時就構(gòu)成了兩個直角三角形，分別是Rt△OFE與Rt△OFD，利用已知條件以及勾股定理可以求出DF與EF的長度，然后根據(jù)垂徑定理得出點(diǎn)F為弦CD的中點(diǎn)，得到CF的長度，進(jìn)而可以求得CE的長.

解析過圓心O作OF⊥CD，交點(diǎn)為點(diǎn)F，連接OD.

在Rt△OFE中，因為∠AEC=45°，

所以Rt△OFE為等腰直角三角形，

所以O(shè)F=EF，

因為AB=10，OE∶AE=2∶3，

所以O(shè)E=2，

在Rt△OFD中，OF2+EF2=OE2，

可以求得OF=EF=2，

OD=12AB=5.

在Rt△OFE中，DF2=OD2－OF2=25－2=23，

所以DF=23.

根據(jù)垂徑定理，點(diǎn)F為弦CD的中點(diǎn)，

所以CF=DF=23，

所以CE=CF－EF=23－2.

評析對于與圓有關(guān)的問題，構(gòu)造輔助線的最終目的就是構(gòu)造直角三角形，直角三角形往往就是解題的關(guān)鍵，然后結(jié)合題目中的已知條件，利用構(gòu)造出的直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行解題，從而實現(xiàn)幾何圓問題的突破.

3結(jié)語

構(gòu)造輔助線對于初中生來說是致關(guān)重要的，絕大多數(shù)的中考幾何題型中都涉及了輔助線的構(gòu)造，因此要想突破中考數(shù)學(xué)幾何大關(guān)，輔助線構(gòu)造的培養(yǎng)對學(xué)生來說意義重大.掌握了輔助線的作法，學(xué)生很容易就能一眼看出幾何題中的解題方法，抓住關(guān)鍵信息，利用所學(xué)圖形的性質(zhì)與定理，真正實現(xiàn)對幾何問題的突破.