初中數(shù)學(xué)二次根式解題技巧

【摘要】二次根式是初中數(shù)學(xué)的一類重要知識點(diǎn)，二次根式在數(shù)學(xué)、幾何學(xué)中都有著重要應(yīng)用.學(xué)好二次根式可以幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.因此，二次根式在初中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位.本文列舉二次根式的幾種基本題型，以具體例題分析，期望能夠幫助學(xué)生理清解題步驟及方法，對二次根式問題有更深刻清晰的認(rèn)識.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次根式；非負(fù)

題型一二次根式的雙重非負(fù)性的運(yùn)用

對于二次根式a，有a≥0，a≥0.

例1已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c+a2+2024b－6+10－2b=2，則代數(shù)式ab+bc的值為.

解根據(jù)二次根式非負(fù)性可知，a+b+c≥0，a2+2024b－6≥0，

所以10－2b≤2，化簡得，4≤b≤6，

又a2+2024gt;0，所以b－6≥0，因此b≥6，

綜上，b=6，

將b=6代入原式得，a+c+6+0+2=2，

所以a+c+6=0，化簡得，a+c=－6，

所以ab+bc=ba+c=6×－6=－36.

分析本題難度較大，除用到二次根式a的雙重非負(fù)性外，還需考慮到絕對值的取值限制，只有將兩者充分結(jié)合才能求解出最終正確答案.其中絕對值的取值范圍為本題難點(diǎn)，學(xué)生可能不易聯(lián)想到.

題型二用配方法化簡二次根式

形如A±2B，若A=a+b，B=ab，其中agt;0，bgt;0，

則A±2B=a+b±2ab=a±b2=a±b.

例2化簡23－610+43－22.

解原式=23－610+422－22+1

=23－610+42－12

=23－610+42－1

=23－66+42

=23－622+42+22

=23－62+22 =23－62+2

=11－62

=32－62+22=3－22

=3－2.

分析本題利用二次根式配方法即可解答，較為基礎(chǔ).需要注意的是最后開平方時，注意所得數(shù)值的正負(fù)，由于二次根式是非負(fù)的，所以最后結(jié)果也應(yīng)該是非負(fù)數(shù).

題型三用平方法化簡二次根式

（1）形如A+B±A－B，

先平方，A+B±A－B2

=A+B+A－B±2A+BA－B

=2A±2A2－B，

再開平方.

例3化簡4－10+25+4+10+25.

解原式平方，原式2=8+26－25

=8+252－25+1=8+25－12

=8+25－1=6+25，

再開平方，

原式=6+25=52+25+1

=5+12=5+1.

（2）形如A+B±A－B，

對偶式換元，令x=A+B，

y=A－B，

則有x2+y2=2A，xy=A2－B，求x+y.

例4化簡320+142+320－142.

解令x=320+142，y=320－142，

則x3+y3=40，

xy=320+142·320－142

=3400－196×2=2，

由立方和公式，x3+y3=（x+y）（x2－xy+y2）

=x+yx+y2－3xy，

所以x3+y3=x+y3－3xyx+y，

此時令h=x+y，則有h3－6h－40=0，

即h－4h2+4h+10=0，解得h=4，即x+y=4，

所以320+142+320－142=4.

分析利用二次根式平方法解題，必須要注意的是最后還需開平方，許多學(xué)生直接平方完就結(jié)束了，這樣顯然不正確，必須按照先平方再開方步驟才能正確解題.

題型四二次根式的化簡求值

例5已知a=12+3，b=12－3，試求a2+b2，a2+3ab+b2的值.

解a=12+3=2－32+32－3=2－3，

b=12－3=2+32－32+3=2+3，

此時a+b=2－3+2+3=4，

a·b=2－3·2+3=4－3=1，

所以a2+b2=a2+b2+2ab－2ab=a+b2－2ab=42－2×1=14，

a2+3ab+b2=a2+b2+2ab+ab=a+b2+ab=42+1=17.

分析本題考查二次根式的化簡求值，需要先將a=12+3，b=12－3進(jìn)行化簡，再利用完全平方公式的逆運(yùn)算，將所求式子進(jìn)行化簡，同時還涉及二次根式的運(yùn)算，包括二次根式的加法、乘法，最后將化簡后的表達(dá)式代入到給定的公式中進(jìn)行計算.一定要先化簡再計算，否則計算量過大，容易導(dǎo)致出現(xiàn)錯誤.

結(jié)語

綜上所述，二次根式是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，有利于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維與實(shí)際應(yīng)用能力.解決問題時要擅長抓住題設(shè)中已有的條件，根據(jù)已有條件明確解題方法，還要擅長發(fā)現(xiàn)題設(shè)中的隱含條件，做到正確解題.二次根式題型復(fù)雜多樣，本文通過總結(jié)解題方法，期望能夠幫助學(xué)生掌握解題技巧，在解題中達(dá)到事半功倍的效果.