運(yùn)用基本圖形，巧證線段相等

【摘要】線段相等問題是初中數(shù)學(xué)平面幾何中的一類經(jīng)典問題，考查學(xué)生對(duì)于平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度和對(duì)相關(guān)定理的應(yīng)用能力.但是部分學(xué)生對(duì)相應(yīng)的條件運(yùn)用理解尚淺，無法提高解題效率.本文探究一道典型例題的多種解法，運(yùn)用基本圖形巧證線段相等，以供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；線段問題；解題技巧

平面幾何問題中的特殊三角形是非常重要的一個(gè)板塊，熟練運(yùn)用一些特殊三角形的性質(zhì)，并適當(dāng)添加輔助線，再結(jié)合基本圖形即可解決一些常見的線段相等的證明問題.

例題呈現(xiàn)如圖1所示，在等腰直角三角形ABC，已知∠BAC=90°，AB=AC，AM=CN，AP⊥MN，求證：AP=MN.

視角1證明三角形全等，間接轉(zhuǎn)化得相等

分析題目條件，等腰直角三角形的兩個(gè)底角的大小均為45°，過頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，可以構(gòu)造出兩個(gè)等腰直角三角形，實(shí)現(xiàn)邊的等量轉(zhuǎn)化，而利用同角的余角相等則可以實(shí)現(xiàn)角的等量轉(zhuǎn)化，從而證明三角形全等.

解法1利用全等三角形+平行四邊形

證明如圖2所示，作NQ⊥AC，且NQ=NC，

則∠QCN=45°，連接AQ，CQ.

因?yàn)椤螧AC=90°，AB=AC，

所以∠B=∠ACB=45°=∠QCN.

因?yàn)镹Q⊥AC，∠BAC=90°，

所以NQ∥AM.

因?yàn)镹Q=NC，AC=MN，

所以NQ=AM.

所以四邊形AMNQ是平行四邊形，

所以AQ∥MN，AQ=MN.

因?yàn)锳P⊥MN，

所以∠PAQ=90°.

因?yàn)椤螧AC=90°，

所以∠BAP=∠CAQ，△BAP≌△CAQ.

所以AP=AQ，AP=MN.

解法2利用全等三角形+等腰三角形

證明如圖3所示，作NQ⊥AC，交BC于點(diǎn)Q，連接AQ.

因?yàn)椤螩=45°，

所以NQ=NC.

因?yàn)镹C=AM，

所以AM=NQ.

因?yàn)锳N=AN，∠MAN=∠QNA，

所以△MAN≌△QNA.

所以MN=AQ，∠MNA=∠QAN.

因?yàn)锳P⊥MN，

所以∠BAP+∠NMA=90°.

因?yàn)椤螹NA+∠NMA=90°，

所以∠BAP=∠MNA，∠BAP=∠CAQ.

因?yàn)椤螧=∠C，

所以∠APQ=∠B+∠BAP=∠C+∠CAQ=∠AQP，

所以AP=AQ=MN.

評(píng)析解法1和解法2都是通過作垂線的方式得到△CNQ是等腰直角三角形，按照這樣的思路，過其他頂點(diǎn)構(gòu)造等腰直角三角形，從而分別得到平行四邊形和等腰三角形兩個(gè)基本圖形，從而利用其性質(zhì)解題.

視角2證明三角形相似，間接轉(zhuǎn)化得相等

分析垂直的條件，以Rt△MAN為參照?qǐng)D形，過點(diǎn)B作平行線，延長AP或者是過點(diǎn)P作AB邊的高線，均可以得到和Rt△MAN相似的三角形，間接轉(zhuǎn)化即可證明所求的線段相等.

解法3添加平行線，利用“三垂直”兩次證明三角形相似

證明如圖4所示，過點(diǎn)B作BH∥AC，交AP的延長線于點(diǎn)H.

因?yàn)锳B=AC，AM=CN，

所以AB－AM=AC－AN，BM=AN.

因?yàn)椤螦BH=∠MAN=90°，∠BAH=∠ANM，

所以△ABH≌△NAM.

設(shè)AM=CN=a，BA=AN=b，

所以AHMN=BHAM=ABAN=a+ba，

BH=a（a+b）b.

因?yàn)椤鱌BH≌△PCA，

所以PHAP=BHAC=ab.

因?yàn)锳HAP=PH+APAP=1+PHAP=1+ab=a+bb，

所以AHAP=AHMN.

所以AP=MN.

解法4添加垂線來證明相似

證明如圖5所示，作NQ⊥AC，交BC于點(diǎn)Q，連接AQ，作PD⊥AB，交AB于點(diǎn)D.

因?yàn)椤螧AC=90°，AP⊥MN，

所以∠BAP=∠ANM.

因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，

所以∠B=45°.

所以△DBP是等腰直角三角形，BD=DP.

設(shè)BD=DP=a，AM=CN=b，AB=AC=x，

因?yàn)椤鰽DP≌△NAM，

所以ax－a=bx－b，a=b.

所以BD=DP=AM=CN，AMDP=MNAP=1，AP=MN.

評(píng)析解法3和解法4都是借助相似三角形證明線段相等，基本的設(shè)想是由相似得到四條線段成比例的性質(zhì)，再據(jù)此證明分子或者分母相等.本題依據(jù)題目的已知條件可以添加垂線、平行線或者是利用延長線構(gòu)造出新的直角或者是等腰三角形，產(chǎn)生相似三角形，從而實(shí)現(xiàn)邊的轉(zhuǎn)化，間接證明線段相等.

結(jié)語

通過對(duì)這道例題的分析可以看出，解答線段相等問題的方法眾多，關(guān)鍵是要能夠從復(fù)雜的圖形中抽象出基本圖形，再利用其性質(zhì)解題.例如，利用直角三角形、等腰三角形或者是平行四邊形的性質(zhì)可以得到相等關(guān)系或者是平行關(guān)系，有助于簡化解題.而對(duì)難度較大的問題，則可以建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將幾何問題代數(shù)化處理.