梳理數(shù)學(xué)概念，強(qiáng)化解題思維

【摘要】初中數(shù)學(xué)課程具有大量的數(shù)學(xué)概念，對(duì)學(xué)生的知識(shí)理解能力與解題能力提出了一定的要求.學(xué)生在解題過程中應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)梳理數(shù)學(xué)概念，注重對(duì)相關(guān)理論知識(shí)的學(xué)習(xí)與解讀，在實(shí)踐中不斷強(qiáng)化解題思維，提升解題效率.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；解題方法

初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)廣泛而深入，包括代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等多個(gè)方面.在以上知識(shí)點(diǎn)教學(xué)過程中，教師為了促進(jìn)學(xué)生有效掌握知識(shí)點(diǎn)，將初中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)按照代數(shù)、幾何、函數(shù)等不同類別進(jìn)行分類整理，形成系統(tǒng)的知識(shí)框架，促進(jìn)學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的脈絡(luò)[1].

在對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解讀過程中，教師均指導(dǎo)學(xué)生深入理解背后的數(shù)學(xué)原理.在代數(shù)中，學(xué)生理解方程、不等式、函數(shù)等基本概念，在幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生需掌握?qǐng)D形的性質(zhì)、定理與證明方法[2].在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不斷總結(jié)歸納所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，形成自己的知識(shí)體系，有助于自身更好地記憶所學(xué)知識(shí).在掌握了基本的數(shù)學(xué)概念之后，學(xué)生通過大量的練習(xí)強(qiáng)化解題思維，提高數(shù)學(xué)解題能力.在練習(xí)過程中，學(xué)生注重基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固和訓(xùn)練，深入理解基本概念與公式[3].

例題已知拋物線y=a（x－1）2+33（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（－2，0），如圖1所示，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，過點(diǎn)O作射線OM∥AD．過頂點(diǎn)D作平行于x軸的直線交射線OM于點(diǎn)C，B在x軸正半軸上，連接BC．結(jié)合以上條件，求：

（1）該拋物線的解析式；

（2）如果動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，按照每秒1個(gè)單位長度的速度沿射線OM運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．那么t為何值時(shí)，四邊形DAOP分別是平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？

（3）如果OC=OB，動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度、2個(gè)單位長度的速度沿OC和BO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），連接PQ，則t為何值時(shí)，四邊形BCPQ的面積最??？最小值是多少？并求解此時(shí)PQ的長．

解（1）結(jié)合題干，

因?yàn)閽佄锞€y=a（x－1）2+33（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（－2，0），

所以0=9a+33，

所以a=－33，

所以二次函數(shù)的解析式表示如下：

y=－33x2+233x+833.

（2）由于點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，所以D（1，33）.

過點(diǎn)D作DN⊥OB于點(diǎn)N，

得出DN=33，

AN=3，

因此AD=32+（33）2=6，

所以∠DAO=60°.

因?yàn)镺M∥AD，

①在AD=OP的情況下，四邊形DAOP是平行四邊形，

所以O(shè)P=6，

所以t=6（s）.

②當(dāng)DP⊥OM時(shí)，四邊形DAOP是直角梯形，

過點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H，AO=2，

則AH=1，

（若未求出∠DAO=60°，可結(jié)合Rt△OHA∽R(shí)t△DNA，得出AH=1）.

所以O(shè)P=DH=5，

所以t=5（s）.

③在PD=OA，且AD≠OP的情況下，四邊形DAOP是等腰梯形，

所以O(shè)P=AD－2AH=6－2=4，

所以t=4（s）.

結(jié)合所述，在t=6，5，4時(shí)，對(duì)應(yīng)四邊形分別為平行四邊形、直角梯形、等腰梯形．

（3）由（2）及已知，

∠COB=60°，OC=OB，△OCB為等邊三角形，

得出OB=OC=AD=6，

OP=t，BQ=2t，

所以O(shè)Q=6－2t（0＜t＜3）

過點(diǎn)P作PE⊥OQ于點(diǎn)E，則PE=32t，

S四邊形BCPQ=12×6×33－12（6－2t）×32t=32（t－32）2+6383.

當(dāng)t=32時(shí)，S四邊形BCPQ的面積最小值為6383，

所以此時(shí)OQ=3，OP=32，OE=34，

所以QE=3－34=94，PE=334，

PQ=PE2+QE2=（334）2+（94）2=32.

數(shù)學(xué)題目種類繁多，學(xué)生在解題訓(xùn)練中應(yīng)進(jìn)行多樣化的練習(xí)以熟悉各種題型，掌握解題技巧.在練習(xí)過程中，學(xué)生難免會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，應(yīng)認(rèn)真分析原因，總結(jié)教訓(xùn)，并針對(duì)性地進(jìn)行補(bǔ)充.在實(shí)踐過程中不斷進(jìn)行錯(cuò)題總結(jié)，提高自己的解題能力與思維水平[4].數(shù)學(xué)題目往往需要運(yùn)用多種思維方法解答.在練習(xí)過程中，學(xué)生應(yīng)注重思維拓展和訓(xùn)練，學(xué)會(huì)運(yùn)用多種思維方法解決數(shù)學(xué)問題.在解決幾何問題時(shí)，嘗試運(yùn)用數(shù)形結(jié)合等方法簡(jiǎn)化問題，在解決代數(shù)問題時(shí)，運(yùn)用換元法、因式分解等方法化簡(jiǎn)表達(dá)式.在掌握了基本的解題技巧之后，挑戰(zhàn)難度較大的數(shù)學(xué)題目，以此鍛煉自己的思維能力與解題能力，在解決問題的過程中不斷突破自我[5].

結(jié)語

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)系統(tǒng)梳理數(shù)學(xué)概念，理解背后的數(shù)學(xué)原理，通過大量的練習(xí)強(qiáng)化解題思維，以此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷進(jìn)步，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]陳曉.核心素養(yǎng)背景下利用錯(cuò)題集優(yōu)化初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程研究[J].試題與研究，2024（17）：94-96.

[2]王慧.借助思維訓(xùn)練，擺脫初中數(shù)學(xué)解題困境[J].數(shù)理天地（初中版），2024（11）：36-37.

[3]鳳曙光.基于高階思維培養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2023（34）：23-25.

[4]楊霞，楊其，金曉玲.探究數(shù)形結(jié)合思想下的初中數(shù)學(xué)解題策略[J].新課程，2022（41）：82-84.

[5]馬晶晶.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生解題能力的培養(yǎng)方法[J].基礎(chǔ)教育研究，2021（22）：49-50.