利用垂徑定理解決多類題型

【摘要】“圓”的垂徑定理在解題中具有重要作用，可用于證明圓內(nèi)線段、弧、角相等的關(guān)系，以及直線的垂直關(guān)系.其中圓的軸對稱性是垂徑定理的理論基礎(chǔ)，合理利用垂徑定理及其推論，面對各類題型需要靈活應(yīng)對，不落陷阱.通過深入研究垂徑定理，可以幫助學(xué)生更好地理解三角形與圓之間的關(guān)系，并更好地應(yīng)用于實(shí)際問題，探索圓中直角的奇妙應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；垂徑定理；直線與圓

題型一求線段長度

例1如圖1，圓O的半徑OD⊥弦AB交AB于點(diǎn)C，連接AO并延長交圓O于點(diǎn)E，連接EC，若AB=8，EC=213，則CD的長為（）

（A）1.（B）3.（C）2.（D）4.

分析此種題型需要利用垂徑定理解決，連接EB，可得到∠EBA是直角，因此在△CEB中可以利用勾股定理求出線段EB的長度，知道兩邊的長度，則可以求出未知的第三邊.線段EB的長度由線段EC和線段BC的平方和相減的平方根得到因?yàn)榫€段OC的長度是線段EB的一半，則可以順利求出線段CD的長度.

解連接EB，得到直角△CEB，

因?yàn)辄c(diǎn)O為圓心，所以AO=EO，即OC=12EB，

由點(diǎn)O過弦AB作垂線OC交于點(diǎn)C，可得點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，

因此AC=BC=4，又EC=213，

由勾股定理可得，EB=EC2－BC2=6，

因?yàn)镺C=12EB，則OC=3，

根據(jù)勾股定理，可得OA=OC2+AC2=5，

而OA=OD，則OD=5，

已經(jīng)得知OC=3，則CD=OD－OC=2.

題型二求角度

例2如圖2，在圓O中，半徑OC過弦AB的中點(diǎn)E，OC=2，OE=2，

（1）求弦AB的長度；

（2）求∠CAB的度數(shù).

分析可以先在圖上作輔助線，理清題目要求，針對問題合理做出解答.利用垂徑定理確定OC⊥AB，連接OB.可利用等腰直角三角形的性質(zhì)確定角度，再根據(jù)圓周角定理確定∠CAB的度數(shù).

解（1）連接OB，由于半徑OC過弦AB的中點(diǎn)E，

所以O(shè)C⊥AB，AE=BE，

因?yàn)镺B和OC都是圓O的半徑，可得OB=OC=2，

所以BE=OB2－OE2=22－（2）2=2，

由此可得弦AB的長度為AB=2BE=22，

（2）由（1）可得BE=OE，OC⊥AB，

綜上可得，△BOE為等腰直角三角形，所以∠COB=45°，

由圓周角定理可得∠CAB=12∠COB=22.5°.

題型三求最值

例3如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為圓心的圓過點(diǎn)A（5，0），直線y=kx－k+2與圓O交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的長的最小值為.

分析根據(jù)題目給出的已知信息，先化簡直線方程y=kx－k+2，可得到一個(gè)定點(diǎn)（1，2），要知道無論動(dòng)點(diǎn)B、C如何變化，都是經(jīng)過該定點(diǎn)的.連接圓心和定點(diǎn)，再連接OC和OA，即可利用垂徑定理和勾股定理解決該問題.

解化簡y=kx－k+2可得，y=k（x－1）+2，可得到定點(diǎn)（1，2），記為點(diǎn)M，

過點(diǎn)O作弦BC的垂線交于點(diǎn)H，連接OH，OC，得到Rt△HCO，

首先有CH=HB，求弦BC的最小值，可以先求出線段CH的最小值

在Rt△HCO中，由勾股定理可得CH=CO2－OH2，

連接OM，顯然OH≤OM，

當(dāng)點(diǎn)H和點(diǎn)M重合時(shí)，CH的值最小，

而OM=5，所以O(shè)Hmax=5，

在Rt△OCH中，CH=52－（5）2=25，

所以BCmin=2CH=45

結(jié)語

在涉及圓、直徑、弦以及圓的中點(diǎn)時(shí)，垂徑定理的應(yīng)用極為廣泛，包括但不限于計(jì)算線段長度、角度和最值等問題.在實(shí)際應(yīng)用中，垂徑定理是解決與圓有關(guān)問題的重要工具，很好地應(yīng)用和理解該定理，可以有效地解決許多幾何問題.在證明圓上的性質(zhì)和定理時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推導(dǎo)和證明，得到所需的一切條件，其中在問題求解中，可幫助我們尋找直角條件，從而簡化問題的分析和計(jì)算過程，對于解決與圓相關(guān)的實(shí)際問題非常有幫助.