探究二次函數(shù)背景下的特殊四邊形存在性問題

【摘要】二次函數(shù)背景下的特殊四邊形存在性問題是初中數(shù)學(xué)的重難點問題之一，融合了二次函數(shù)和四邊形兩大考點，對學(xué)生的邏輯推理能力和計算能力都提出了較高要求.為幫助學(xué)生理清解題思路，建立完善的知識體系，攻克難點，本文結(jié)合實例探究此類問題的基本思路和解題技巧.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；初中數(shù)學(xué)；特殊四邊形

1平行四邊形存在性問題

對于平行四邊形存在性問題，要以平行四邊形“對邊平行且相等”的性質(zhì)為解題的基礎(chǔ).此外，還要考慮到平行四邊形頂點排序的不同導(dǎo)致同一條邊可能為平行四邊形的邊或者是對角線，據(jù)此進(jìn)行分類討論，利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合兩點之間距離公式和坐標(biāo)運算即可求解.

例1平面直角坐標(biāo)系xOy中有拋物線y=12x2+x－4.P是拋物線上的一個動點，Q是直線y=－x上的一個動點，若以O(shè)，B，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則對應(yīng)的點Q的橫坐標(biāo)可能是？

解①如圖1所示，當(dāng)OB是平行四邊形的一條邊時，OB∥PQ，OB=PQ=4.

設(shè)點Q的橫坐標(biāo)為m，

則Q（m，－m），P（m，12m2+m－4），QP=|12m2+2m－4|.

由|12m2+2m－4|=4，

可得m=－2±25或m=－4.

②如圖2所示，當(dāng)OB是平行四邊形的對角線時，令OB的中點為D，即D（0，－2），且D為P4Q4的中點.

設(shè)P4（x0，y0），Q4（n，－n），

由中點坐標(biāo)公式得y0－n2=－2x0+n2=0，

故x0=－ny0=n－4.

即P4（－n，n－4），因為P4在拋物線上，代入得n=4.

綜上所述，點Q的橫坐標(biāo)為－2±25，±4.

2菱形存在性問題

菱形和平行四邊形的不同之處在于菱形的四邊相等，故在求解菱形存在性問題時，可以采取三種思路.一是先利用平行四邊形存在性問題的處理方法得到符合的點的坐標(biāo)，之后再利用點到直線距離公式進(jìn)行驗證；二是直接利用四邊相等的條件，列出多個方程綜合求解；三是利用菱形的對角線相互垂直簡化運算.

例2如圖3所示，平面直角坐標(biāo)系xoy中拋物線y=－12x2+32x+2交x軸于A（－1，0），B兩點，交y軸于C點.若點P（2，3），將拋物線沿射線CB方向平移5個單位長度，點M是平移后的拋物線對稱軸上的一點.在平面內(nèi)確定一點N，使得以A，P，M，N四點為頂點的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo).

解將拋物線沿射線CB方向平移5個單位長度等價為先向下平移一個單位長度再向右平移兩個單位長度，故平移后拋物線解析式為：

y=－12（x－2）2+32（x－2）+2－1=－12x2+72x－4，

對稱軸為直線x=72.

設(shè)M（72，n），N（s，t），

則由P（2，3），A（－1，0），

得PA2=18，PM2=94+（n－3）2，

AM2=814+n2.

①當(dāng)PA是菱形的對角線時，PM=AM，

故94+（n－3）2=814+n2，

得n=－32.

又因為xA+xP=xM+xNyA+yP=yM+yN，

即72+s=1n+t=3，解得s=－52t=92，

故N（－52，92）.

②當(dāng)PA是菱形的邊長且AM和PN是菱形的對角線時，PM=PA.

所以94+（n－3）2=18，

解得n=3±372.

又因為xA+xP=xM+xNyA+yP=yM+yN，

即2+s=72－13+t=n+0，解得s=12t=±372.

所以N（12，372）或N（12，－372）.

當(dāng)PA是菱形的邊長且AN和PM是菱形的對角線時，AM=PA，

所以814+n2=18，此方程無解.

綜上所述，點N的坐標(biāo)是（－52，92）或（12，372）或（12，－372）.

3結(jié)語

從上述兩道例題的分析可以看出，對于二次函數(shù)與特殊四邊形的深度融合問題，雖然知識點復(fù)雜多樣，但是解題也有一定的規(guī)律，即以平行四邊形為基礎(chǔ)，先對題目中的問題進(jìn)行分類討論，得到基礎(chǔ)的點坐標(biāo)后，再依據(jù)菱形或其他特殊四邊形特點進(jìn)行取舍，從而得到答案.在解題的過程中，還要充分利用數(shù)形結(jié)合的思想來簡化運算.