小包裝大問(wèn)題

[摘" 要] 為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決包裝中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，研究者開(kāi)展了一堂綜合實(shí)踐課“包裝中的數(shù)學(xué)”：通過(guò)談話導(dǎo)入，讓學(xué)生初步感知重合的面越多越節(jié)約包裝紙;通過(guò)合作探究，讓學(xué)生感知組合圖形越接近正方體越節(jié)約包裝紙;通過(guò)應(yīng)用拓展，讓學(xué)生感知包裝在數(shù)學(xué)與生活中的聯(lián)系和區(qū)別。

[關(guān)鍵詞] 包裝問(wèn)題;綜合與實(shí)踐;小學(xué)數(shù)學(xué)

包裝問(wèn)題是學(xué)生在生活中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。學(xué)生在學(xué)習(xí)了“長(zhǎng)方體和正方體”后知道了長(zhǎng)方體和正方體的特征，會(huì)正確計(jì)算長(zhǎng)方體和正方體的表面積。在此基礎(chǔ)上，筆者增加了一節(jié)綜合實(shí)踐課“包裝中的數(shù)學(xué)”，引導(dǎo)學(xué)生探索多個(gè)長(zhǎng)方體疊放后使其表面積最小的最優(yōu)策略，體驗(yàn)策略的多樣性，以此發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

一、教學(xué)內(nèi)容

綜合實(shí)踐課“包裝中的數(shù)學(xué)”。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.讓學(xué)生結(jié)合具體的物品想出不同的包裝方案，能分別計(jì)算不同包裝的表面積，并選出最節(jié)約的包裝方案。

2.讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)解決問(wèn)題的基本方法和過(guò)程，能用不同的方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

3.讓學(xué)生在解決包裝問(wèn)題中體會(huì)策略的多樣性和優(yōu)化思想，培養(yǎng)節(jié)約的意識(shí)，感知數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

三、教學(xué)過(guò)程

1. 談話導(dǎo)入，揭示課題

師：同學(xué)們，你們?cè)谀睦镆?jiàn)到過(guò)包裝？

生1：給別人送禮物的時(shí)候，禮物的外面會(huì)有包裝盒，比如春節(jié)禮物外面的包裝盒。

師：包裝盒在我們生活中無(wú)處不在，也正因?yàn)橛辛硕Y物的包裝，才使我們的生活變得更加豐福多彩。看，老師帶來(lái)了幾盒茶葉，請(qǐng)給這幾盒茶葉包裝一下。此時(shí)我想知道究竟要用多少包裝紙，從數(shù)學(xué)的角度看實(shí)際上是求長(zhǎng)方體的表面積。請(qǐng)大家回憶一下：長(zhǎng)方體的表面積怎么計(jì)算？

生2：把長(zhǎng)方體的六個(gè)面加起來(lái)。

師：現(xiàn)在我要送2盒茶葉，把這2盒茶葉先拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，再進(jìn)行包裝?？梢栽鯓悠茨?？

生3：我覺(jué)得有三種不同的拼法，第一種是我們可以把最小的兩個(gè)面合在一起;第二種是我們可以把兩個(gè)中面合在一起;第三種是我們可以把最大的兩個(gè)面合在一起。

師：把兩個(gè)小面、兩個(gè)中面和兩個(gè)大面合在一起后，所拼得新長(zhǎng)方體的重合面是怎樣的？分別重合了什么？

生4：第一個(gè)重合了兩個(gè)小面，第二個(gè)重合了兩個(gè)中面，第三個(gè)重合了兩個(gè)大面。

師：你們能不能快速找到哪一種包裝方式最節(jié)約紙，哪一種包裝方式最浪費(fèi)紙，為什么？

生5：第三種最節(jié)約紙，因?yàn)樗褍蓚€(gè)最大的面重合了起來(lái)。第一種最浪費(fèi)紙，因?yàn)樗睾系氖亲钚〉膬蓚€(gè)面。

師：換句話說(shuō)重合兩個(gè)小面，露在外面的表面積最大;重合兩個(gè)大面，露在外面的表面積最小。這節(jié)課我們就一起來(lái)研究包裝中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

設(shè)計(jì)意圖：教師開(kāi)門(mén)見(jiàn)山地引導(dǎo)學(xué)生從生活角度思考“你在哪里見(jiàn)到過(guò)包裝”，不僅讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就在自己身邊，還讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)可以用來(lái)解決生活實(shí)際問(wèn)題，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。在師生談話中，教師自然地提出“如果要包裝2盒茶葉，怎樣包裝最節(jié)約紙”這個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)問(wèn)題“求組合圖形的表面積”。教師引導(dǎo)學(xué)生一起分析2盒茶葉包裝會(huì)有三種不同的拼法，從每一種拼法重合幾個(gè)面的角度比較三種不同拼法后物體的表面積，讓學(xué)生初步感知重合的面越大越節(jié)約包裝紙。同時(shí)，教師為了方便學(xué)生表達(dá)和交流，與學(xué)生約定“最大的面叫作大面，最小的面叫作小面，中間的面叫作中面”。

2. 合作探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

（1）利用結(jié)論研究3盒茶葉的最優(yōu)包裝方案

師：如果你要把3盒這樣的茶葉先拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，然后進(jìn)行包裝，可以怎樣拼呢？請(qǐng)用學(xué)具先擺一擺，再把你們認(rèn)為最節(jié)約包裝紙的拼法記錄在學(xué)習(xí)單中。

生6：可以把三個(gè)大面拼在一起，重合了三個(gè)大面。

生7：（借助學(xué)具操作）不對(duì)，把四個(gè)大面拼在一起，是重合了四個(gè)大面;把四個(gè)中面拼在一起，是重合了四個(gè)中面;把四個(gè)小面拼在一起，是重合了四個(gè)小面。

師：請(qǐng)你們仔細(xì)想一想哪一種包裝最節(jié)約紙，為什么？

生8：重合大面的包裝最節(jié)約紙。因?yàn)橹睾系拿娣e越大，拼出的長(zhǎng)方體的表面積就越小。

設(shè)計(jì)意圖：在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生應(yīng)用了上一個(gè)環(huán)節(jié)中的結(jié)論“重合的面越大包裝最節(jié)約紙”。當(dāng)學(xué)生在計(jì)算組合圖形有多少個(gè)重合面出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生借助學(xué)具來(lái)觀察和數(shù)數(shù)，直觀地?cái)?shù)出有多少個(gè)重合面。

（2）利用比較研究4盒茶葉的最優(yōu)包裝方案

師：你們覺(jué)得怎樣包裝4盒茶葉，使得它的表面積最小、包裝最節(jié)約紙呢？把你們的想法說(shuō)出來(lái)，到底哪一種更節(jié)約包裝紙呢？請(qǐng)把你們認(rèn)為最節(jié)約紙的拼法記錄在學(xué)習(xí)單里，四人小組合作交流探討。

生9：我們小組認(rèn)為六個(gè)大面重合的那種包裝方法最節(jié)約紙，因?yàn)榱鶄€(gè)大面的面積比四個(gè)大面和四個(gè)中面的面積大。

生10：我們小組以前也認(rèn)為六個(gè)大面重合的那種包裝最節(jié)約紙，但是現(xiàn)在我們改變想法了，認(rèn)為二乘二的包裝最節(jié)約紙。豎著放重合了六個(gè)大面，二乘二的包裝則重合了四個(gè)大面和四個(gè)中面，這時(shí)我們只要比較兩個(gè)大面和四個(gè)中面誰(shuí)大就可以了，其實(shí)是比較一個(gè)大面和兩個(gè)中面的大小。我們用了設(shè)數(shù)的方法，把大面看作3，中面看作2，小面看作1。

師：你們用設(shè)數(shù)的方法，確實(shí)是一種好方法，但是大面、中面和小面不一定是這樣的關(guān)系。在沒(méi)有數(shù)據(jù)的情況下，我們還可以怎么比較一個(gè)大面和兩個(gè)中面的大小？

生11：我們還可以借助具體的實(shí)物比較，將兩個(gè)中面放在一個(gè)大面上，以此觀察誰(shuí)更大。

師：我們?cè)谏钪信龅桨b這樣的四個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)，到底該用哪種包裝方法呢？

生12：兩個(gè)中面加起來(lái)比一個(gè)大面大，就用二乘二的包裝方法;兩個(gè)中面加起來(lái)比一個(gè)大面小，就用大面重合的包裝方法。

師：你們能從生活中找出兩個(gè)中面比一個(gè)大面小的例子嗎？

生13：包裝餅干、面膜、書(shū)。

設(shè)計(jì)意圖：在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師注重培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維，讓學(xué)生在基于結(jié)論“重合的面越大包裝最節(jié)約紙”的認(rèn)知基礎(chǔ)上，先猜一猜怎樣包裝4盒茶葉最節(jié)約紙，再讓學(xué)生借助學(xué)具驗(yàn)證自己的想法。這時(shí)，有的學(xué)生保持原來(lái)的猜想，有的學(xué)生改變?cè)瓉?lái)的猜想，他們發(fā)現(xiàn)有“豎著放”和“二乘二”這兩種情況。此時(shí)，學(xué)生在比較這兩種情況時(shí)將“六個(gè)大面”轉(zhuǎn)化為“四個(gè)大面和兩個(gè)大面”，與“四個(gè)大面和四個(gè)中面”進(jìn)行比較，從而將比較的內(nèi)容聚焦為比較一個(gè)大面和兩個(gè)中面誰(shuí)大誰(shuí)小，并通過(guò)設(shè)數(shù)比較和實(shí)物比較得出結(jié)論。

（3）利用計(jì)算研究4盒茶葉的最優(yōu)包裝方案

師：用眼睛看得出的數(shù)學(xué)結(jié)論并不能讓人信服，我們需要運(yùn)用數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證?，F(xiàn)有學(xué)具長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是10厘米，寬是6厘米，高是4厘米，請(qǐng)大家動(dòng)手算一算組合圖形的三條邊和表面積，并填寫(xiě)表1。

學(xué)生邊匯報(bào)邊出示組合圖形的各種數(shù)據(jù)（如表2）。

師：同學(xué)們，仔細(xì)觀察組合圖形和各種數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生14：當(dāng)組合圖形拼擺越接近正方體時(shí)，它的表面積就越小。

師：組合圖形越接近正方體，實(shí)際上與圖形的長(zhǎng)寬高就越有關(guān)。我們來(lái)算一算組合圖形長(zhǎng)寬高這三條棱長(zhǎng)兩兩之差的和分別是多少？

生15：第一組34+2+36=72，第2組14+20+6=40，第3組8+8+16=32，第4組14+2+12=28，第5組4+10+6=20，第6組2+4+2=8。

師：組合圖形長(zhǎng)寬高兩兩之差的和越小，它越接近正方體，表面積也越小。

設(shè)計(jì)意圖：在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師讓學(xué)生通過(guò)具體的數(shù)據(jù)計(jì)算再次驗(yàn)證4盒茶葉的最優(yōu)包裝方案。在計(jì)算過(guò)程中，學(xué)生不僅復(fù)習(xí)了長(zhǎng)方體的表面積，還通過(guò)數(shù)據(jù)比較發(fā)現(xiàn)“當(dāng)組合圖形拼擺越接近正方體，它的表面積就越小”的結(jié)論。為了更具體地讓學(xué)生通過(guò)數(shù)據(jù)看到組合圖形越來(lái)越接近正方體，教師組織學(xué)生計(jì)算長(zhǎng)寬高這三條棱長(zhǎng)兩兩之差的和。學(xué)生在計(jì)算中更加清晰地看到組合圖形越接近正方體，它的表面積就越小，包裝就最節(jié)約紙。

3. 應(yīng)用拓展，提升能力

師：如果要包裝6盒茶葉，你們覺(jué)得怎樣包裝最節(jié)約紙？

生16：橫著放3盒，往上疊2層。

生17：不對(duì)，應(yīng)該是橫著放2盒，往上疊3層。生16的方法重合了6個(gè)大面和8個(gè)中面，我的方法重合了8個(gè)大面和6個(gè)中面，重合大面越多就越節(jié)約包裝紙。

師：如果要包裝8盒茶葉，怎樣包裝最節(jié)約紙呢？

生18：橫著放2盒，往上疊4層，這樣重合了12個(gè)大面和8個(gè)中面。

師：如果要包裝9盒茶葉，怎樣包裝最節(jié)約紙呢？

生19：橫著放3盒，往上疊3層，重合了12個(gè)大面和12個(gè)中面。

師：如圖1，重合大面和中面越多，組合圖形越接近正方體。現(xiàn)在老師這里有零散的10包紙巾，怎樣包裝最節(jié)約？（學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[圖形）看，這是我從超市里買(mǎi)來(lái)的10包紙巾的包裝，這種包裝的大面都露在外面肯定不是最節(jié)約紙的，誰(shuí)來(lái)猜測(cè)下商家的想法？

設(shè)計(jì)意圖：為了幫助學(xué)生鞏固和應(yīng)用前面得到的結(jié)論，教師設(shè)計(jì)了挑戰(zhàn)性任務(wù)：（1）如果要包裝6盒茶葉，怎樣包裝最節(jié)約紙？（2）如果要包裝8盒茶葉，怎樣包裝最節(jié)約紙？（3）如果要包裝9盒茶葉，怎樣包裝最節(jié)約紙？（4）如果要包裝10包紙巾，怎樣包裝最節(jié)約紙？挑戰(zhàn)性任務(wù)不僅有利于學(xué)有余力的學(xué)生不斷超越自我，提升數(shù)學(xué)思維;也有利于其他學(xué)生在比較重合大面和中面的過(guò)程中，對(duì)上一環(huán)節(jié)中“組合圖形越接近正方體包裝最節(jié)約紙”這個(gè)結(jié)論有更深刻的理解。在教學(xué)最后，教師借助包裝10包零散的紙巾，將數(shù)學(xué)中的包裝與生活中的包裝進(jìn)行聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)商家對(duì)包裝紙巾的想法。

總之，數(shù)學(xué)從生活中來(lái)，要回到生活中去?！鞍b中的數(shù)學(xué)”涉及長(zhǎng)方體的表面積計(jì)算、包裝方案的比較和優(yōu)化、重合面積的大小比較等知識(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)歷了討論解決包裝問(wèn)題的思路、包裝有哪些方案、利用結(jié)論或計(jì)算知道哪種方案最節(jié)約包裝紙等過(guò)程，探討了如何包裝2盒茶葉、3盒茶葉、4盒茶葉、6盒茶葉、8盒茶葉、9盒茶葉、10包紙巾最節(jié)約包裝紙的問(wèn)題，對(duì)“重合大面和中面”與“越接近正方體”的認(rèn)識(shí)有了拓展和深化。同時(shí)，教師結(jié)合數(shù)學(xué)和生活中的具體包裝方案，為學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)留下了思考的空間。

作者簡(jiǎn)介：華悅（1995—），本科學(xué)歷，小學(xué)一級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作。