數(shù)字化資源和數(shù)學(xué)方法論協(xié)同的高等代數(shù)線上線下課程建設(shè)探索

摘 要 高等代數(shù)是飛行器動力工程專業(yè)的基礎(chǔ)必修課程，在專業(yè)培養(yǎng)體系中起著重要作用。文章針對一直以來學(xué)生表現(xiàn)出的抽象概念缺乏數(shù)學(xué)方法論、引例缺少數(shù)字化資源和自主學(xué)習(xí)缺少數(shù)字化工具等問題，闡述如何通過構(gòu)建數(shù)字化資源，并借助線上課程將數(shù)學(xué)方法論及其他啟發(fā)性內(nèi)容融入線下課程主體的方式，建設(shè)一門面向抽象思維能力和自主學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)的高等代數(shù)課程，為卓越航空工程師的培養(yǎng)提供參考和借鑒。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)方法論；數(shù)字化資源；高等代數(shù)；課程建設(shè)

中圖分類號：G424 " " " " " " " " " " " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A " " DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2024.29.028

Construction of online and offline courses in Advanced Algebra under the"combination of Mathematical methodology and digital resources

LIU Wenran， XU Dengming

（Civil Aviation University of China， Tianjin， 300300）

Abstract Advanced Algebra is a fundamental and compulsory course in Aircraft Power Engineering， playing an important role in the professional training system. The article aims to address the problems of abstract concepts lacking mathematical methodology， examples lacking digital resources， and self-learning lacking digital tools that students have always shown. It elaborates on how to construct digital resources and integrate mathematical methodology and other inspiring content into the main body of offline courses through online courses， in order to build an advanced algebra course that focuses on the cultivation of abstract thinking ability and self-learning ability， providing reference and inspiration for the cultivation of outstanding aviation engineers.

Keywords Mathematical Methodology; digital resources; Advanced Algebra; Course Construction

在新工科背景下[1]，高等代數(shù)作為飛行器動力工程專業(yè)的本科基礎(chǔ)課程，是為學(xué)生打下堅實數(shù)理基礎(chǔ)的關(guān)鍵，也是培育未來工程師的重要基石。中國民航大學(xué)中歐航空工程師學(xué)院（以下簡稱“學(xué)院”）借鑒法國精英工程師培養(yǎng)模式，以培養(yǎng)數(shù)理基礎(chǔ)深厚，系統(tǒng)掌握航空發(fā)動機(jī)及衍生領(lǐng)域?qū)I(yè)知識的國際化科技創(chuàng)新人才為目標(biāo)。在這一目標(biāo)指引下，學(xué)院對全部課程均提出了明確的工程科學(xué)屬性要求。

筆者主講的課程“高等代數(shù)”，作為飛行器動力工程專業(yè)本科二年級學(xué)生的必修課程，其教學(xué)內(nèi)容雖相較于數(shù)學(xué)專業(yè)的代數(shù)課程有所精簡與調(diào)整，但在培養(yǎng)抽象思維能力和自主學(xué)習(xí)能力的目標(biāo)上是不變的。然而，從過往教學(xué)實踐反饋中發(fā)現(xiàn)，盡管學(xué)生在知識掌握層面表現(xiàn)尚可，但在思維塑造與能力提升方面仍有待加強(qiáng)，這凸顯了深化課程改革、優(yōu)化教學(xué)體系的緊迫性。為此，課程組創(chuàng)新性地提出了將數(shù)學(xué)方法論的內(nèi)容與課程內(nèi)容融合起來[2-3]，同時數(shù)字化資源的輔助下[4]，開展線上線下課程建設(shè)，力求在傳授知識的同時，更加注重對學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)思維的塑造與學(xué)習(xí)能力的提升。本文旨在探討如何沿著這一創(chuàng)新思路，構(gòu)建線上線下相結(jié)合的一流課程建設(shè)方案。

1" 課程教學(xué)中的主要問題

1.1" 抽象概念缺少方法論

抽象的數(shù)學(xué)概念往往是由某個具體的概念通過數(shù)學(xué)方法抽象得到的。以“向量空間”的概念為例，它是將中等數(shù)學(xué)中具體的“平面向量”的概念通過“公理化方法”抽象得到。同樣，“投影”的概念是由“平面向量向坐標(biāo)軸投影”通過“弱抽象方法”得到，“最大公因式”的概念是由“最大公因數(shù)”通過“類比方法”得到。數(shù)學(xué)概念的由來和數(shù)學(xué)方法論存在聯(lián)系。因此，讓學(xué)生先理解數(shù)學(xué)方法論再學(xué)習(xí)概念更符合學(xué)習(xí)心理學(xué)[5]，有助于學(xué)生更深刻地理解和掌握抽象的概念。

1.2" 引例缺少數(shù)字化資源

“弱抽象方法”定義的概念抽象度普遍較高。所謂“弱抽象方法”，簡單地說就是概念變得更一般化了。對于這樣由具體到一般的過程，學(xué)生理解起來自然難度很大。因此，在給出概念前設(shè)置若干引例是必不可少的。而僅靠板書講解引例會顯得十分呆板，數(shù)字化資源可讓其更加形象和直觀地呈現(xiàn)。這不僅提高了教學(xué)效率，還激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使教學(xué)事半功倍。

1.3" 自主學(xué)習(xí)缺少數(shù)字化工具

自主學(xué)習(xí)是學(xué)生提升自我、深化理解的重要途徑。學(xué)生之前的學(xué)習(xí)多依賴于紙筆完成課程習(xí)題和作業(yè)。然而，從長遠(yuǎn)來看，這種單一的學(xué)習(xí)方式并不利于學(xué)生適應(yīng)未來的數(shù)字化環(huán)境。因此，在建設(shè)課程的自主學(xué)習(xí)模塊時，我們應(yīng)積極融入數(shù)字化工具[6]，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)字化技能，讓他們在實踐中理解所學(xué)的知識。特別是在如高等代數(shù)這樣的基礎(chǔ)課程中，部分習(xí)題既可用紙筆求解，又可用數(shù)字化工具進(jìn)行求解。一題雙解豐富了學(xué)習(xí)方式，也使學(xué)生接觸到了更多學(xué)習(xí)資源。從另一方面看，這也是為參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽提前作了準(zhǔn)備。

可見，課程建設(shè)有其必要性和緊迫性，關(guān)鍵在于抽象的數(shù)學(xué)概念，因為概念的抽象度高一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要障礙也是教師講授的難點[7]。因此，在課程建設(shè)中，我們需特別注重這些概念的起源、所涉及的數(shù)學(xué)方法，以及它們之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系。

2" 課程建設(shè)的內(nèi)容與特色

本課程選用的教材為中國民航大學(xué)“十四五”規(guī)劃卓越工程師培養(yǎng)系列教材之《高等代數(shù)》[8]。在飛行器動力工程專業(yè)的本碩一貫制培養(yǎng)體系中，學(xué)生將經(jīng)歷“學(xué)―做―研”三個階段。在本科階段僅涉及“學(xué)”和“做”。以往，學(xué)生大多局限于教材和課程習(xí)題。通過課程建設(shè)，數(shù)字化資源包含的豐富學(xué)習(xí)材料和互動學(xué)習(xí)平臺讓“學(xué)”變得多元化。數(shù)字化工具的引入激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，拓寬了學(xué)生的視野，讓“做”不再是枯燥的“做題”， 而是一個尋找解決辦法的過程。這種過程既包括查閱書籍資料也包括學(xué)習(xí)使用數(shù)字化計算工具（如一些網(wǎng)站和程序設(shè)計軟件），十分貼近未來的科研工作狀態(tài)。課程建設(shè)內(nèi)容總體架構(gòu)如圖1所示。

2.1" 線上課程建設(shè)方案與融合策略

本課程共有理論課84課時和習(xí)題課52課時，整體上分為前六章代數(shù)基礎(chǔ)和后五章線性代數(shù)兩個部分。代數(shù)基礎(chǔ)部分以“自然數(shù)集”“整數(shù)集上的算術(shù)”和“基本代數(shù)結(jié)構(gòu)（群、環(huán)、域）”為主要內(nèi)容，線性代數(shù)部分講解“向量空間”“線性映射”“矩陣”“線性方程組”和“行列式”。筆者將課時與知識內(nèi)容綜合考慮構(gòu)建出一套線上線下結(jié)合的課程體系及配套資源。代數(shù)基礎(chǔ)部分的知識難度適中，在歸納、抽象和類比等數(shù)學(xué)方法的融入和引導(dǎo)下，學(xué)習(xí)過程不再僅限于知識的增長，更是數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練。前導(dǎo)課程“數(shù)學(xué)中的論證和表達(dá)”的設(shè)置是為了系統(tǒng)性地簡介論證方法和數(shù)學(xué)表達(dá)規(guī)范。這是學(xué)生在以前學(xué)習(xí)中所欠缺的?？臻g解析幾何知識設(shè)置在兩個部分之間，起銜接作用。既是對代數(shù)基礎(chǔ)部分涉及的數(shù)學(xué)方法做了一個總結(jié)，又是為接下來的 “向量空間”“線性映射”等抽象概念作一個鋪墊。在線性代數(shù)部分，線上課程內(nèi)容取自教材中適合自主學(xué)習(xí)的章節(jié)。在保持教材框架的基礎(chǔ)上，課程組對一些內(nèi)容進(jìn)行了適當(dāng)?shù)耐卣购蜕罨詽M足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

2.2" 數(shù)字化資源的構(gòu)建

課程建設(shè)完成構(gòu)建線上理論課八次、習(xí)題課六次、前導(dǎo)課一次。理論課分別為輾轉(zhuǎn)相除法（歸納方法）、環(huán)與模n剩余類環(huán)（抽象方法）、多項式環(huán)上的算術(shù)（類比方法）、空間解析幾何知識選學(xué)、投影與對稱（類比與抽象方法）、線性方程組、行列式定義的由來、總結(jié)與展望。習(xí)題課分別為費馬小定理和中國剩余定理、循環(huán)群和拉格朗日定理、一元三次方程的求根公式、仿射空間簡介、分塊矩陣及其應(yīng)用、矩陣的LU分解。

歸納、抽象、類比三種數(shù)學(xué)方法分別在第四、五、六三章融入。學(xué)生能熟練運用輾轉(zhuǎn)相除法求解最大公因數(shù)還不夠，還要領(lǐng)悟其背后的歸納思想。抽象方法用于定義“環(huán)”的概念，“模n剩余類環(huán)”是一個具體的例子。類比方法將多項式環(huán)與整數(shù)環(huán)上的算術(shù)對照起來，但慣性思維導(dǎo)致學(xué)生更多關(guān)注兩個類比對象的相似之處而忽視其區(qū)別，特別是在理論架構(gòu)層面。因此，筆者在課程視頻中著重講解理論架構(gòu)在多項式環(huán)與整數(shù)環(huán)上的區(qū)別。線性代數(shù)部分的“投影與對稱”是類比和抽象兩種方法的綜合應(yīng)用。

每節(jié)線上理論課程平均錄制40分鐘講授視頻，將時長分配至知識主體和方法論、隨堂練習(xí)及參考材料導(dǎo)讀三個部分。知識主體和方法論約25分鐘，隨堂練習(xí)約5分鐘，用于檢驗學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，及時發(fā)現(xiàn)并糾正理解上的偏差。參考材料導(dǎo)讀約10分鐘，是學(xué)生必須完成的學(xué)習(xí)任務(wù)點。筆者選取適當(dāng)?shù)膮⒖假Y料經(jīng)過提煉制作成課程材料，并通過導(dǎo)讀的方式引導(dǎo)學(xué)生閱讀。這種設(shè)置拓寬了學(xué)生的知識視野，更重要的是教會了他們自主學(xué)習(xí)的方法，同時鼓勵學(xué)生在課后自覺進(jìn)行探究和學(xué)習(xí)。

2.3" 線上線下內(nèi)容的整合

從知識傳授的角度看，線下課程是主體，面授確保學(xué)生扎實掌握核心知識，線上課程扮演了輔助與補充的角色。從自主學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)的角度看，線上課程是主體。它鼓勵學(xué)生獨立思考，通過完成任務(wù)點，不斷提升自主學(xué)習(xí)能力。線下部分的答疑和指導(dǎo)變成了輔助，教師為學(xué)生提供必要的幫助和支持。這種線上線下有機(jī)結(jié)合的教學(xué)模式，優(yōu)化了學(xué)習(xí)資源的配置，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。另外，線上課程具備獨立性的特點，可以單獨構(gòu)成一門講解數(shù)學(xué)方法論的迷你課程。這一特點為未來的課程建設(shè)與轉(zhuǎn)型留下了可能。

線上內(nèi)容與線下的整合有三種類型：總結(jié)升華型、開放拓展型、課程思政型?！巴队芭c對稱”“分塊矩陣及其應(yīng)用”設(shè)置于第七、九章末尾，屬于總結(jié)升華型。這種類型先鞏固線下課程，對前面章節(jié)知識進(jìn)行梳理和整合，再進(jìn)一步提煉和升華。學(xué)生在一章知識的末尾處站在更高的視角去審視所學(xué)知識，促進(jìn)深度理解和應(yīng)用。

“仿射空間簡介”“矩陣的LU分解”屬于開放拓展型。這種類型基于課程大綱，通過引入新的概念和方法拓寬知識面。仿射空間作為向量空間概念的拓展，為學(xué)生提供理解線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理的新視角。LU分解作為另一種求解線性方程組的方法有助于整合梳理由矩陣至線性方程組這一段的知識。“費馬小定理和中國剩余定理”屬于課程思政型，以思政導(dǎo)向進(jìn)行構(gòu)建。值得強(qiáng)調(diào)的是，在線上線下內(nèi)容的整合中，必須確保核心章節(jié)、重要概念、命題、定理的主體地位，切勿本末倒置。這些內(nèi)容是課程的根基，均放在線下課程中采用板書與幻燈片相結(jié)合的方式講授。

2.4" 作業(yè)形式多樣化

在本次課程建設(shè)之前，課程作業(yè)存在時間節(jié)點固定、題型單一、學(xué)生書面作答的數(shù)學(xué)表達(dá)不規(guī)范等問題。 針對數(shù)學(xué)表達(dá)，前導(dǎo)課程視頻對數(shù)學(xué)中常用的邏輯字詞及規(guī)范的語言表達(dá)作了講解，也作了具體的示范。預(yù)習(xí)作業(yè)和課后小結(jié)作業(yè)依托學(xué)習(xí)通平臺布置。預(yù)習(xí)作業(yè)讓學(xué)生在聽課前對重要概念先有一個初步認(rèn)識，為線下課聽講打一個基礎(chǔ)。課后小結(jié)作業(yè)針對易混概念進(jìn)行鞏固訓(xùn)練，幫助學(xué)生及時糾正錯誤認(rèn)知。此外，線上計算網(wǎng)站W(wǎng)olfram的使用練習(xí)及參考材料的查找練習(xí)，為學(xué)生提供了豐富的學(xué)習(xí)資源和實踐機(jī)會。這些突破傳統(tǒng)解題型的作業(yè)模式讓學(xué)生感到新穎有趣，增強(qiáng)了自信心和成就感，培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力和信息檢索能力。

3" 實施效果反饋

3.1" 依托知識圖譜的形成性反饋

課程組采用超星學(xué)習(xí)通知識圖譜中的知識點掌握率功能模塊觀察學(xué)生的掌握程度。舉例來說，課程組從第8至第10章分別選取難度由低到高的三個知識點“向量空間的基”“初等變換的應(yīng)用”“線性映射的表示矩陣”。同時，按時間先后選取 “階段作業(yè)”“復(fù)習(xí)題一”“復(fù)習(xí)題二”“期末測試”四個時間節(jié)點來觀察。通過作業(yè)的批閱數(shù)據(jù)評估知識點的掌握率。為了使評估更加客觀和準(zhǔn)確，掌握率以作業(yè)批閱分?jǐn)?shù)與難度系數(shù)的乘積計算，得到下面的知識點掌握率與時間節(jié)點的關(guān)系表。

表1 知識點掌握率與時間節(jié)點的關(guān)系表

考慮到學(xué)習(xí)能力的個體差異，對“階段作業(yè)”“復(fù)習(xí)題1”和“復(fù)習(xí)題2”完成的過程給予一定靈活性。在兩周時間內(nèi)，學(xué)生既可獨立完成也可小組討論完成，抑或獨立完成基礎(chǔ)部分，有難度的部分合作完成。從期末測試的數(shù)據(jù)反饋來看，簡單知識點無須教師過多介入。針對中等難度知識點，教師的介入幫助效果比較明顯，這反映了適時的指導(dǎo)和反饋對于學(xué)生學(xué)習(xí)的重要性。而對于難度大的知識點，線下答疑的效果具有延遲性，這提醒教師要有耐心地給予學(xué)生更多的時間和空間去思考和理解?？傮w上，實時跟蹤的掌握率和期末成績一致，這也說明了依托知識圖譜的評估體系的有效性。

3.2" 期末測試反饋和存在的問題

通過分析期末測試得分?jǐn)?shù)據(jù)得知，學(xué)生在不同知識點上的掌握情況存在差異，同時也揭示出后續(xù)需要重點關(guān)注的問題。線性方程組一題雖然難度超出課程習(xí)題，但得分率達(dá)83.7%，說明大部分學(xué)生已完全掌握線性方程組的求解要領(lǐng)。涉及向量組的線性無關(guān)性、過度矩陣這兩個抽象概念的題目得分率分別為67%和60%，反映出學(xué)生已經(jīng)理解這些概念，但應(yīng)用起來尚不嫻熟。一方面，這些概念本身較為抽象、難以理解，另一方面說明教學(xué)中應(yīng)對這些概念的講解配備更多的實例和練習(xí)，幫助學(xué)生加深理解。測試也反饋出了薄弱環(huán)節(jié)。筆者命有一道證明題，需使用矩陣的秩的定義，得分率僅為31%。這暴露了學(xué)生在使用定義完成論證方面的短板。在今后的教學(xué)中，應(yīng)更加注重引導(dǎo)學(xué)生理解定義的本質(zhì)和內(nèi)涵。

4" 結(jié)語

課程原先存在的問題源自數(shù)學(xué)概念的高抽象度。在數(shù)學(xué)方法論的幫助下，學(xué)生了解了概念的由來，理解得自然更深刻。受課時所限，單獨講解數(shù)學(xué)方法論并不可行，所以將數(shù)學(xué)方法論的內(nèi)容和課程內(nèi)容融合起來，隨課程章節(jié)的推進(jìn)逐步講授。我們通過構(gòu)建一套既系統(tǒng)又富有啟發(fā)性的線上課程及其配套資源，依托數(shù)字化工具初步建設(shè)了一門線上線下融合的課程。這在一定程度上解決了一直以來課程存在的一些問題，在實踐中取得了一定效果，但也有不盡如人意之處。未來，我們將繼續(xù)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋和需求變化，不斷優(yōu)化和完善課程內(nèi)容與形式。

基金項目：2023年中國民航大學(xué)課程分級卓越建設(shè)項目（B1類）“線上線下混合式一流課程‘高等數(shù)學(xué)（4）’”（CAUC-2023-B1-021）。

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