類比法巧解一道物理難題

摘" 要：質(zhì)點(diǎn)在復(fù)雜作用力下所做的運(yùn)動，通常的分析方法是根據(jù)牛頓運(yùn)動定律等寫出動力學(xué)方程，求解此類動力學(xué)方程通常須運(yùn)用大量微積分相關(guān)知識.對點(diǎn)電荷在庫侖力作用下所做的運(yùn)動，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過與行星繞太陽運(yùn)動規(guī)律進(jìn)行“類比”，從而求解運(yùn)動時(shí)間等特定問題，最后針對類比法在教學(xué)中的運(yùn)用進(jìn)行思考總結(jié).

關(guān)鍵詞：類比法；開普勒第三定律；點(diǎn)電荷；學(xué)科素養(yǎng)

中圖分類號：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0100-04

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：韓楊（1990.9—），男，安徽省長豐人，中學(xué)二級教師，從事高中物理教學(xué)研究.

《物理學(xué)難題集萃》（以下簡稱《集萃》）是高中生參與物理競賽的重要參考書之一，其收錄的不少經(jīng)典問題，能很好地激發(fā)師生探究熱情，引起深度思考.同時(shí)，該書中大量物理問題的求解需要用到矢量分析、微分方程等較深層次的高等數(shù)學(xué)知識，可以說對高中生來說很不友好，《集萃》第三部分【題1】即是一例.本文嘗試通過類比法，運(yùn)用中學(xué)數(shù)學(xué)知識，對一類復(fù)雜運(yùn)動學(xué)問題進(jìn)行求解，并思考對日常教學(xué)的啟示.

1" 問題提出

例1" 真空中有兩個點(diǎn)電荷q1和q2，它們的質(zhì)量分別為m1和m2，位置矢量分別為r1和r2，只考慮其間的庫侖相互作用.

（1）引入相對位矢r=r2-r1，試建立r（t）的微分方程.

（2）設(shè)t=0時(shí)刻，兩點(diǎn)電荷均靜止，相互間距為r0.若兩點(diǎn)電荷電量異號，試問：它們何時(shí)相碰［1］？

2" 問題求解

《集萃》通過建立相對位矢r關(guān)于t的微分方程r（t），并令r（t）=0，即可求解出兩點(diǎn)電荷相碰時(shí)刻.現(xiàn)將《集萃》給出的求解過程摘錄如下.

（1）如圖1所示，q1和q2的運(yùn)動方程分別為：

m1r1··=-q1q24πε0r3r

m2r2··=q1q24πε0r3r

圖1" 相距為r的點(diǎn)電荷q1和q2

由于q1、q2帶異種電荷，r1··與r同向，故r前面的系數(shù)應(yīng)為正，q1q2前應(yīng)為負(fù).兩式相減，得：

r··=r2··-r1··=（1m1+1m2）q1q24πε0r3r

即

mr··=q1q24πε0r3r.①

式中：m為約化質(zhì)量，即m=m1m2m1+m2.

（2）因t=0時(shí)，q1和q2靜止，而后兩點(diǎn)電荷將沿其連線做直線運(yùn)動.r··與r反向，于是，式（1）可簡化為

mr··=q1q24πε0r3r②

利用r··=dr·dt=dr·drdrdt=r·dr·dr代入（2）式，得

mr·dr·=q1q24πε0r2dr.

結(jié)合初始條件：t=0時(shí)，r=r0，r·=0得：

r·2=-q1q22πε0m（1r-1r0），因q1與q2異號，-q1q2gt;0，據(jù)題意知，r·lt;0，故：

r·=--q1q22πε0mr0-rr0r.③

把r·=drdt代入式（3），積分得：

∫rr0-rr0r0-rdr=∫t0-q1q22πε0mdt.④

做變量替換，令u=rr0，有 dr=2r0udu

則得r0∫rr0-rr01-rr0dr=r0∫u1-u·2r0udu1-u2

=r320（u1-u2+π2-arcsinu）. ⑤

聯(lián)立④⑤得：

t=r3202πε0m-q1q2（rr01-rr0+π2-arcsinrr0）.

取r=0，得：

t=πr022πε0mr0-q1q2.

本題第（1）問“建立r（t）的微分方程”難度不大，接觸過物理競賽的同學(xué)一般都能順利得到答案，并且為第（2）的解決作出了提示.同時(shí)該問題啟發(fā)我們，對于兩質(zhì)點(diǎn)相遇問題可以通過建立質(zhì)點(diǎn)的相對位矢關(guān)于時(shí)間的微分方程加以解決.

3" 問題的其他求解思路

本題（2）問也可利用變換參考系來求解，現(xiàn)將解法展示如下.由于q1、q2帶異種電荷，q1q2前應(yīng)為負(fù).當(dāng)q1和q2距離為r時(shí)，q1具有的加速度為a1=-q1q2m14πε0r3r，r為q2相對q1位移，如圖1所示.選取相對q1靜止的平動參考系，對q2有：

q1q24πε0r3r+m2q1q2m14πε0r3r=m2r··

整理即得到①式，下同.

4" “類比法”求解

以上的兩種解題方案，在參考系的選取、模型建構(gòu)的方式上有所不同，但基本思路都是建立點(diǎn)電荷的動力學(xué)方程，進(jìn)而求解微分方程，這是求解動力學(xué)問題的常規(guī)思路.但不論哪一種方法，在求解時(shí)都要用到大量微積分相關(guān)知識，對普通中學(xué)生來說要求過高.接下來本文利用動量守恒定律以及“開普勒第三定律”等高中物理知識對本題第（2）問進(jìn)行求解.

兩點(diǎn)電荷q1和q2，只考慮其間的庫侖相互作用，故q1和q2系統(tǒng)動量守恒：

m1v1-m2v2=0

v1、v2分別為q1、q2的速度大小，并規(guī)定q1的速度方向?yàn)檎?則相遇時(shí)，q1和q2的位移大小x1、x2滿足：

m1x1-m2x2=0⑥

x1+x2=r0⑦

得：x1=m2m1+m2r0，x2=m1m1+m2r0.

如圖2所示，O點(diǎn)為相遇位置，也即q1和q2的質(zhì)心，這是高中常見的“人船模型”問題.q1與O點(diǎn)相距x時(shí)，設(shè)此時(shí)q2距O點(diǎn)x′，q1加速度：a1=-q1q24πε0m1（x+x′）2.

圖2" q1、q2與質(zhì)心O

設(shè)在O點(diǎn)存在一點(diǎn)電荷Q，使得：

-q1q24πε0m1（x+x′）2=q1Q4πε0m1x2成立.

由動量守恒定律和上述對x1和x2的討論不難得出：

m1x=m2x′.

于是：Q=-（m2m1+m2）2q2 與x和x′均無關(guān)，故點(diǎn)電荷q1的運(yùn)動與其在固定點(diǎn)電荷Q的電場中運(yùn)動等效.

現(xiàn)考慮q1在點(diǎn)電荷Q作用下的運(yùn)動規(guī)律.我們已知在萬有引力作用下，環(huán)繞天體繞中心天體沿圓軌道或橢圓軌道運(yùn)動，并遵循開普勒第三定律：a3T2=k ，而 k=GM4π2，G為萬有引力常量，M為中心天體質(zhì)量.庫侖力和萬有引力都遵循平方反比定律，因而點(diǎn)電荷q1在固定點(diǎn)電荷Q的電場中也可沿圓周或橢圓運(yùn)動.設(shè)q1繞Q做勻速圓周運(yùn)動：

14πε0Qq1r2=m14π2T2r

得：r3T2=Qq116π3m1ε0.⑧

⑧式雖然是在點(diǎn)電荷勻速圓周運(yùn)動時(shí)得到，通過與天體運(yùn)動類比可以確定，當(dāng)點(diǎn)電荷q1沿橢圓運(yùn)動運(yùn)動時(shí)也有類似結(jié)論，現(xiàn)總結(jié)如下.

點(diǎn)電荷q1在固定點(diǎn)電荷Q的電場中沿橢圓運(yùn)動運(yùn)動時(shí)，Q位于橢圓的一個焦點(diǎn)上，且點(diǎn)電荷q1在不同橢圓軌道上運(yùn)動時(shí)均有：

a3T2=c ，c=Qq116π3m1ε0⑨

在本題中，點(diǎn)電荷q1是在Q的電場中由靜止開始運(yùn)動，軌跡是直線，在此我們需要做進(jìn)一步的極限處理.如圖3所示，隨著橢圓離心率的增大，橢圓越來越“扁”，直至最終演變?yōu)橹本€段，“壓扁”橢圓的長軸即為q1與Q的初始距離x1，q1運(yùn)動至Q所在位置所用時(shí)間為其沿“壓扁”橢圓運(yùn)動周期T1的一半.據(jù)以上分析：

圖3" 橢圓“壓扁”為直線段

（x12）3T12=c=Qq116π3m1ε0.⑩

將x1=m2m1+m2r0，Q=-（m2m1+m2）2q2

代入⑩式得：

T1=πr02πε0mr0-q1q2.

故q1與q2所用時(shí)間：

t=T12=πr022πε0mr0-q1q2，

與動力學(xué)方程求解結(jié)果一致.

5" “類比法”對日常教學(xué)的啟示

類比法是指在現(xiàn)有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過比較兩個對象發(fā)現(xiàn)對象間相似性，從而推理得出對象其他方面相似性的科學(xué)推理方法［2］.我們在運(yùn)用類比法時(shí)，不僅關(guān)注對象間的相似屬性，還關(guān)注對象間的差異；不僅要分析已知信息，還要對未知信息進(jìn)行猜測、推理.挖掘教材、習(xí)題中應(yīng)用類比法的案例，在課堂中建構(gòu)類比法應(yīng)用情境，是落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)，尤其是訓(xùn)練科學(xué)思維能力的重要路徑.

在物理概念、規(guī)律的學(xué)習(xí)過程中，以及物理學(xué)史中，類比法的應(yīng)用不勝枚舉.例如，學(xué)習(xí)靜電場的相關(guān)概念時(shí)，首先將靜電場與“重力場”類比，可以得到勻強(qiáng)電場電場力做功特點(diǎn)，進(jìn)而得到靜電場中電勢能、電勢的概念.再如學(xué)習(xí)描述電學(xué)元件特性的相關(guān)物理量——電阻、電容、電動勢等，可以將概念引入的方法進(jìn)行類比：通過導(dǎo)體的電流、電容器存儲電荷量、電源非靜電力做的功，分別與導(dǎo)體兩端電壓、電容器極板間電壓、電源搬運(yùn)的電荷量成正比，而比例系數(shù)取決于電學(xué)元件自身性質(zhì)，從而提出描述電學(xué)元件自身屬性的物理量.在物理規(guī)律的學(xué)習(xí)中，我們類比萬有引力和庫侖力表達(dá)式，由于萬有引力和庫侖力都遵循平方反比規(guī)律，最后推導(dǎo)得出相似規(guī)律：質(zhì)量均勻分布球殼對其內(nèi)部任一質(zhì)點(diǎn)引力為零；電荷均勻分布球殼內(nèi)部場強(qiáng)處處為零.而在物理學(xué)史中，類比法應(yīng)用最成功的例子莫過于德布羅意對物質(zhì)波粒二象性的闡釋.

在教學(xué)實(shí)施過程中，教師應(yīng)注意啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用類比法，不能止于講授類比對象之間的相似和區(qū)別，要圍繞培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維能力這一目標(biāo)，有計(jì)劃地設(shè)計(jì)教學(xué)活動［3］.例如若以本題作為習(xí)題課例題講解，不妨設(shè)計(jì)下列教學(xué)環(huán)節(jié)：

表1" “類比法”教學(xué)活動設(shè)計(jì)

活動序列活動內(nèi)容

活動1" 讀題審題，問題聚焦

庫侖力遵循平方反比定律，點(diǎn)電荷的運(yùn)動不是此前學(xué)習(xí)的勻速、勻變速等任何一種特殊的直線運(yùn)動.

活動2" 啟發(fā)設(shè)問，層層推進(jìn)

問題鏈：①什么力也遵循平方反比定律？②萬有引力作用下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌跡？

③點(diǎn)電荷在庫侖力下可能的運(yùn)動性質(zhì)？

活動3" 深度類比，遷移創(chuàng)新問題鏈：①本題中，點(diǎn)電荷的運(yùn)動能否等效成一個點(diǎn)電荷向某固定點(diǎn)電荷的運(yùn)動？②點(diǎn)電荷運(yùn)動軌跡為直線，該直線軌跡能否與橢圓軌道建立聯(lián)系？③若將直線看成“壓扁”的橢圓，固定點(diǎn)電荷的位置在哪？活動4" 獨(dú)立探究，動手實(shí)踐

指導(dǎo)學(xué)生完成等效固定點(diǎn)電荷電荷量、橢圓軌道半長軸三次方與周期平方比值等的計(jì)算.

活動5" 自評互評，應(yīng)用反思

學(xué)生匯報(bào)分析運(yùn)算結(jié)果，并將點(diǎn)電荷運(yùn)動規(guī)律與開普勒第三定律比較.

只有通過多次的師生互動、生生互動，讓學(xué)生深度參與到教學(xué)活動中，學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)才能有效落實(shí).

值得一提的是，在運(yùn)用類比法理解新概念、規(guī)律以及求解新問題的過程中，應(yīng)特別注意類比對象之間的差異，這些差異往往導(dǎo)致推理得出的結(jié)論有所差異.僅僅 “比較”，而無“推理”，這樣的類比是不合格的.例如在本題中，我們不能將電荷繞固定點(diǎn)電荷的運(yùn)動規(guī)律與天體運(yùn)動規(guī)律完全等同.開普勒第三定律中，k=4π2GM僅有中心天體決定，而⑨式表明，c與固定、環(huán)繞點(diǎn)電荷電荷量及質(zhì)量均有關(guān).于是我們不能得出“不同環(huán)繞電荷繞固定點(diǎn)電荷沿橢圓軌道運(yùn)動的半長軸三次方與周期平方比值為定值”的結(jié)論，而只能說“同一環(huán)繞電荷在不同橢圓軌道運(yùn)動時(shí)半長軸三次方與周期平方比值為定值”.歸結(jié)起來，這是由于引力與兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量成正比，而庫侖力與點(diǎn)電荷電荷量乘積成正比導(dǎo)致的.

6" 結(jié)束語

綜上，在教學(xué)中挖掘類比法運(yùn)用案例并設(shè)計(jì)符合學(xué)生需求的教學(xué)模式以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的目標(biāo)，符合新課程理念，更是契合了新高考對于關(guān)鍵能力考查的需求.

參考文獻(xiàn)：［1］

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［2］ 邵華. “類比+”教學(xué)方法在中學(xué)物理教學(xué)中的探究和實(shí)踐［D］.青島：青島大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院，2022：13.

［3］ 李林祖. 基于類比推理的高中物理觀念構(gòu)建研究［D］.上海：華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院，2022：9.

［責(zé)任編輯：李" 璟］