可視化理論視域下小學(xué)生數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的路徑探索

摘要：數(shù)學(xué)思維是三大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，通過(guò)“畫(huà)、說(shuō)、做”三種教學(xué)方法，教師可以將學(xué)生的思維展現(xiàn)在我們面前。思維可視化視域下，不僅要尋求思考氛圍的構(gòu)建，還要提升學(xué)生的整體思維品質(zhì)。面對(duì)學(xué)生常規(guī)思維和理性思維的交織，一方面要尋求對(duì)常規(guī)思維的改進(jìn)，重視理性思維，另一方面要引導(dǎo)學(xué)生形成正確高效的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法，提升數(shù)學(xué)思維，從而真正提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：思維可視化；小學(xué)數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思維是主體認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的一種方式，也是一種特殊的思維活動(dòng)。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）中，小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展不僅是數(shù)學(xué)教學(xué)的總目標(biāo)之一，而且也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一[1]。

然而思維是沒(méi)法被直接觀察到的，數(shù)學(xué)思維的顯現(xiàn)可以通過(guò)教師的“巧”技———思維可視化來(lái)幫助教師觀察學(xué)生的思維狀態(tài)，從而引導(dǎo)和幫助學(xué)生發(fā)展自身的數(shù)學(xué)思維，激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)性，為學(xué)生的未來(lái)發(fā)展做好準(zhǔn)備。

一、可視化視域下小學(xué)生數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的內(nèi)涵

思維可視化是指以圖示或圖示組合的方式，把原本不可見(jiàn)的思維結(jié)構(gòu)、思考路徑及方法呈現(xiàn)出來(lái)，使其清晰可見(jiàn)的過(guò)程。思維可視化具有讓知識(shí)更容易被理解和記憶，以及發(fā)展學(xué)生的思維能力和學(xué)習(xí)能力的價(jià)值?？梢?jiàn)，思維可視化是一種教學(xué)方法，指向發(fā)展學(xué)生的思維能力和學(xué)習(xí)能力[2]。

根據(jù)建構(gòu)主義教學(xué)理論，學(xué)生不是空著腦袋走進(jìn)教室的，他們?cè)谌粘Ｉ钪幸呀?jīng)或多或少地有了一定的數(shù)學(xué)知識(shí)和思考。在思維可視化視域下，不僅僅要考慮學(xué)生如何展現(xiàn)思維和在數(shù)學(xué)思維上的進(jìn)步，而且還要改正其一些固有的似是而非的觀念和思維，從而實(shí)現(xiàn)思維質(zhì)量的真正提升[3]。

二、可視化視域下小學(xué)生數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的教育愿景

思維可視化的教學(xué)方法是數(shù)學(xué)思維改進(jìn)的有效方法，數(shù)學(xué)思維的改與進(jìn)是思維可視化的目標(biāo)。

（一）數(shù)學(xué)思維改與進(jìn)的展望，思維品質(zhì)的提升

數(shù)學(xué)思維有其不足之處，對(duì)客觀事物都運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行認(rèn)識(shí)，會(huì)導(dǎo)致死板和機(jī)械化的理解，因?yàn)閿?shù)學(xué)思維強(qiáng)調(diào)推理的形式化，比如在欣賞藝術(shù)作品和文學(xué)創(chuàng)作時(shí)，就不適用數(shù)學(xué)思維，而更多地需要個(gè)體運(yùn)用感性去感受和想象。因此，數(shù)學(xué)思維的改進(jìn)最終不是為了數(shù)學(xué)思維本身的發(fā)展，更不是學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的豐富，而是通過(guò)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，使得學(xué)生更會(huì)思考。

（二）思維可視日常化，形成良好的思考氛圍

教師如果只是將思維可視化視作自己教學(xué)倉(cāng)庫(kù)中的一個(gè)工具，在課堂需要填補(bǔ)空缺時(shí)拿出來(lái)對(duì)教學(xué)修修補(bǔ)補(bǔ)，那么這些工具永遠(yuǎn)是教師私人的物品，它們對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是陌生的，思維可視化的策略要成為教師和學(xué)生共同擁有和運(yùn)用的利器，就要讓思維可視日?；?。在日常教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)和表征自己的思維，將課堂多交由學(xué)生表達(dá)，逐漸形成良好的思考氛圍。

三、可視化視域下小學(xué)生數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的策略

思維可視化的教學(xué)方法如果僅僅作為教師日常教學(xué)零散的教學(xué)技巧之一，那么其對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)，以及學(xué)生發(fā)展就無(wú)法顯現(xiàn)出它的價(jià)值和作用，它在思維的整體發(fā)展上有其重要的作用?；谶@樣的目的，構(gòu)建出可視化視域下數(shù)學(xué)思維進(jìn)階策略系統(tǒng)（見(jiàn)圖1）。

（一）可視化視域下展現(xiàn)思維的三種利器

數(shù)學(xué)課堂中的思維發(fā)展要以思維的展現(xiàn)作為前提。數(shù)學(xué)思維的展現(xiàn)如果僅僅憑借教師或?qū)W生在日常教學(xué)中的靈光一現(xiàn)是不足以為學(xué)生提供思維發(fā)展的支架和方向的，數(shù)學(xué)思維的展現(xiàn)需要能貼合實(shí)際、有章可循的策略支持。思維可視化就是一種教師可以運(yùn)用到實(shí)際教學(xué)中展現(xiàn)學(xué)生思維狀態(tài)的教學(xué)方法[4]。

1.畫(huà)數(shù)學(xué)，思維的系統(tǒng)展現(xiàn)

畫(huà)數(shù)學(xué)是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系和概念關(guān)系以形象適當(dāng)?shù)膱D表形式表示出來(lái)的教學(xué)方法。畫(huà)的過(guò)程中，學(xué)生需要先思考各個(gè)概念之間的關(guān)系，建立它們的內(nèi)在聯(lián)系，然后發(fā)揮想象力，用一定的形式將其中的關(guān)系表現(xiàn)出來(lái)。

例如，在教學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“多邊形面積整理與練習(xí)”一課時(shí)，學(xué)生通過(guò)討論各個(gè)圖形的面積公式和推導(dǎo)過(guò)程，明確各個(gè)圖形之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。在此之前，教師不妨給學(xué)生布置一份課前作業(yè)，請(qǐng)學(xué)生試著用表格或畫(huà)圖的形式整理圖形面積計(jì)算的知識(shí)，通過(guò)這兩種形式的“畫(huà)”將學(xué)生的思維展現(xiàn)在教師和同學(xué)面前。兩位學(xué)生的作品雖然都選擇了表格的形式，但其中所展現(xiàn)的思維是不一樣的。左邊的作品雖然將圖形及其面積公式完整地整理了出來(lái)，但是其中缺少右邊作品中對(duì)概念間關(guān)系的體現(xiàn)。右邊作品用畫(huà)箭頭的方式表現(xiàn)出了各個(gè)圖形之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，并配上了生動(dòng)直觀的圖畫(huà)（見(jiàn)圖2）。一項(xiàng)作業(yè)展現(xiàn)了學(xué)生的不同數(shù)學(xué)思維水平。

2.說(shuō)數(shù)學(xué)，思維的語(yǔ)言表達(dá)

說(shuō)數(shù)學(xué)是指學(xué)生通過(guò)語(yǔ)言表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程和思路、提出和解答疑問(wèn)、分享學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和提出學(xué)習(xí)建議等行為，其形式包括師生間互動(dòng)和生生間互動(dòng)。

以教學(xué)一年級(jí)上冊(cè)《有趣的拼搭》的“滾一滾”為例。教師與學(xué)生在經(jīng)歷了猜想和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)階段后，緊接著要得出結(jié)論。通過(guò)實(shí)驗(yàn)學(xué)生能夠很輕松地得出球滾得最快的結(jié)論，甚至部分學(xué)生能夠根據(jù)常規(guī)思維想到這一結(jié)論。如果這一探究過(guò)程到此結(jié)束，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的發(fā)展是無(wú)益的，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維并未得到激發(fā)。此時(shí)，不妨反問(wèn)學(xué)生一個(gè)“為什么”———“為什么球滾得最快呢”。學(xué)生此時(shí)進(jìn)行的思考不再是直覺(jué)驅(qū)動(dòng)的常規(guī)思維，而是對(duì)各種立體圖形的形狀特點(diǎn)和其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)關(guān)系的思索。有的學(xué)生將球和長(zhǎng)方體、正方體對(duì)比，認(rèn)為它很圓沒(méi)有角，有的學(xué)生直截了當(dāng)?shù)乇硎厩蚴菑澋?，也有的學(xué)生描述了球是怎么滾得快的，而其他形狀的球有的很難滑下去。這些學(xué)生的想法雖然很天真簡(jiǎn)單，但是都體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的認(rèn)真思考，教師此時(shí)就可以對(duì)學(xué)生的觀點(diǎn)做出肯定。這一過(guò)程不僅是學(xué)生對(duì)思維的表達(dá)，同時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，避免用常規(guī)思維思考數(shù)學(xué)。

3.做數(shù)學(xué)，思維的動(dòng)手表達(dá)

做數(shù)學(xué)是指學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作更好地理解數(shù)學(xué)概念，拓展思維廣度，鍛煉解決問(wèn)題的能力。

在一年級(jí)下冊(cè)《十幾減8、7》這一課中，學(xué)生如何通過(guò)操作小棒表征出不同的算法是本節(jié)課的核心。教師可以引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[一擺、說(shuō)一說(shuō)，在動(dòng)手操作中揭示學(xué)生的思維。比如，對(duì)于“用小棒擺一擺，和同桌說(shuō)說(shuō)你是怎樣想的”這一學(xué)習(xí)任務(wù)，有的學(xué)生將15根小棒擺在一起，沒(méi)有將它們分成10根和5根（見(jiàn)圖3左）；有的學(xué)生在移動(dòng)小棒時(shí)，隨意移去小棒；有的學(xué)生能夠按照“破十減”和“平十減”的方法操作，但不會(huì)表達(dá)運(yùn)算過(guò)程。第一類學(xué)生的操作顯示出他們的思維仍然處于常規(guī)思維中，并沒(méi)有將“數(shù)的組成”體現(xiàn)在小棒的擺放中；第二類學(xué)生也體現(xiàn)了學(xué)生思維的非專業(yè)性，以常規(guī)的角度看待運(yùn)算過(guò)程，并沒(méi)有將之前學(xué)習(xí)的幾種算法融入思維之中；第三類學(xué)生能夠以數(shù)學(xué)思維進(jìn)行思考，并將所思轉(zhuǎn)化為操作，這是一個(gè)思維上的進(jìn)步，但是不能轉(zhuǎn)化為言語(yǔ)的描述，這種沉默體現(xiàn)了學(xué)生在表達(dá)想法方面的欠缺，需要教師進(jìn)一步的培養(yǎng)。

（二）可視化視域下兩種思維的改與學(xué)

數(shù)學(xué)思維是由常規(guī)思維和理性思維共同組成的，一方面常規(guī)思維是學(xué)生在日常生活中形成的觀念，它通常表現(xiàn)為對(duì)事物的感受、猜測(cè)和偏見(jiàn)，是非數(shù)學(xué)化的、具體的；另一方面，理性思維是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要運(yùn)用的思維方式，他表現(xiàn)在對(duì)客體的了解、理解和運(yùn)用，以及對(duì)自我的反思，具有形式化、抽象化的特點(diǎn)。

1.暴露常規(guī)思維，教學(xué)有的放矢

在教學(xué)中，常規(guī)思維是學(xué)生學(xué)習(xí)的先行者，學(xué)生在日常生活中形成的思維方式會(huì)使數(shù)學(xué)教學(xué)有所依靠，同時(shí)也會(huì)產(chǎn)生理性思維和常規(guī)思維的矛盾，常規(guī)思維具體化的特點(diǎn)通過(guò)思維可視化的策略，教師可以使學(xué)生的常規(guī)思維暴露在課堂中，從而能夠給教學(xué)以發(fā)力點(diǎn)。

以蘇教版二年級(jí)上冊(cè)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“認(rèn)識(shí)線段”為例，學(xué)生需要按照一定順序找出所有的線段。學(xué)生通常會(huì)先將四周的線段連接起來(lái)，這時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩種情況：一種是學(xué)生通過(guò)仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)中間仍可以連接出兩條線段，另外一種情況是學(xué)生沒(méi)能發(fā)現(xiàn)中間的兩條線段。通過(guò)學(xué)生的“畫(huà)”，我們可以思考學(xué)生有此錯(cuò)誤就是因?yàn)槌Ｒ?guī)思維對(duì)學(xué)生的干擾，學(xué)生在日常生活和之前的學(xué)習(xí)中所見(jiàn)到的圖形都是“完整”和“封閉”的圖形，并且他們對(duì)于點(diǎn)、線和面關(guān)系的認(rèn)識(shí)還十分模糊，因此當(dāng)他們?nèi)ァ鞍错樞颉边B接線段時(shí)，他們是以封閉的圖形作為模型進(jìn)行認(rèn)知的（見(jiàn)圖4）。如此，學(xué)生的常規(guī)思維就暴露在我們的面前，教師面對(duì)學(xué)生的常規(guī)思維需要進(jìn)行引導(dǎo)和優(yōu)化，這也為思維的發(fā)展提供了契機(jī)。

2.定向引導(dǎo)加強(qiáng)，改進(jìn)常規(guī)思維

對(duì)于常規(guī)思維的改進(jìn)，一方面要消除常規(guī)思維對(duì)理性思維的掣肘，另一方面，也要強(qiáng)化常規(guī)思維中感覺(jué)的準(zhǔn)確性[5]。

學(xué)生在運(yùn)用常規(guī)思維解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一種輕松的感覺(jué)，從而放松自己的思維，傾向于不再深入思考。這會(huì)為轉(zhuǎn)入理性思維制造困難。因此當(dāng)學(xué)生的常規(guī)思維暴露時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)介入，以問(wèn)題為媒介，重新激發(fā)學(xué)生對(duì)于問(wèn)題的深度思考，轉(zhuǎn)入理性思維。比如，在二年級(jí)下冊(cè)練習(xí)九中，學(xué)生需要思考如何按順序找到圖中的角（見(jiàn)圖5），在組織學(xué)生獨(dú)立思考后，學(xué)生會(huì)用“從大到小”或“從小到大”等詞匯表述自己的方法。這樣的思維確實(shí)能夠成功地解決問(wèn)題，但是學(xué)生依然使用的是對(duì)角的通常認(rèn)知進(jìn)行思考，沒(méi)有能夠?qū)⒔浅橄蟪伞耙粋€(gè)頂點(diǎn)和兩條邊組成的圖形”。此時(shí)，教師可以向?qū)W生提問(wèn)：“你能夠按照邊的順序找一找角嗎？請(qǐng)你們想一想?！苯又?，教師按照從下往上的順序先找到第一條邊，然后提問(wèn)：“這是從下往上的第一條邊，要想組成一個(gè)角，你能找到另一條邊嗎？”學(xué)生找到后，追問(wèn)道：“這條邊不變，你能找到第二個(gè)角嗎？”“這一條邊能夠組成的角已經(jīng)找完了，接下來(lái)我們應(yīng)該怎么辦呢？”通過(guò)教師的提問(wèn)和追問(wèn)，學(xué)生對(duì)于問(wèn)題的思考不再囿于常規(guī)思維，而是轉(zhuǎn)向了理性思維，即對(duì)不同方法、不同視角的思考、理解和運(yùn)用。

感覺(jué)是常規(guī)思維的重要組成部分，對(duì)于數(shù)和量的感覺(jué)源于學(xué)生在日常生活中的觀察和行動(dòng)，是直接經(jīng)驗(yàn)的積累。但是學(xué)生在生活中的經(jīng)驗(yàn)積累有著特例性、具體性的特點(diǎn)，缺少量化的思想。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)立足于學(xué)生日常生活中的經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生將客觀屬性量化，加強(qiáng)學(xué)生感覺(jué)的精確性。例如，在五年級(jí)下冊(cè)圓這一單元中，第一課時(shí)是教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”，在課堂中可以設(shè)計(jì)這樣的環(huán)節(jié)：將不同生活中的圓形物品的照片做模糊處理，并且告知學(xué)生它的直徑，讓學(xué)生猜測(cè)這是生活中的什么物品。學(xué)生通過(guò)在腦海中的搜尋和想象，得出一個(gè)又一個(gè)相近的答案，學(xué)生在這樣的過(guò)程中加強(qiáng)了感覺(jué)的精確性。

3.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維的發(fā)展不僅依靠于改善常規(guī)思維，也要學(xué)習(xí)如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力，而其中蘊(yùn)含著多樣的思想方法，如：分類、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、歸納等。數(shù)學(xué)思維的發(fā)展需要通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)現(xiàn)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法就是數(shù)學(xué)活動(dòng)之一。

在五年級(jí)下冊(cè)解決問(wèn)題策略單元中，在教學(xué)例題2計(jì)算時(shí)，需要借助數(shù)形結(jié)合的方法，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系操作過(guò)程，想到用更簡(jiǎn)單的方法進(jìn)行計(jì)算。但是在深入數(shù)形結(jié)合之前，學(xué)生對(duì)于本題的計(jì)算能夠憑借自己原有的運(yùn)算能力進(jìn)行通分計(jì)算，對(duì)于更簡(jiǎn)單的計(jì)算方法和數(shù)形結(jié)合的思想方法沒(méi)有直接的動(dòng)力。因此，教師可以將原有的算式拓展，然后請(qǐng)學(xué)生思考：“如此的算式是否也適合使用通分的方法計(jì)算？”引導(dǎo)學(xué)生思考更簡(jiǎn)單的方法，此時(shí)“數(shù)形結(jié)合”才顯現(xiàn)出其必要性。在學(xué)生畫(huà)圖形時(shí)，可以給學(xué)生提供幾種圖形進(jìn)行嘗試，比如圓、長(zhǎng)方形、線段和正方形，通過(guò)學(xué)生的操作和比較，學(xué)生能夠選擇出更適合的圖形，優(yōu)化學(xué)生的思想方法，最后在學(xué)生完整地經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合的過(guò)程后，指明這樣利用圖形將數(shù)量關(guān)系直觀表達(dá)出來(lái)的思想叫做以形助數(shù)，是數(shù)形結(jié)合的一種。接著，利用想想做做第2題，指明“以數(shù)釋形”的思想方法，建立起數(shù)形結(jié)合的完整思想，豐富學(xué)生的思維“武器庫(kù)”。

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課題項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“指向核心素養(yǎng)的義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)探究教學(xué)設(shè)計(jì)研究”（D/2021/01/156）

編輯/趙卓然