真實(shí)情境：數(shù)學(xué)默會(huì)知識(shí)顯性化的重要路徑

摘要：默會(huì)知識(shí)的本質(zhì)是一種判斷力、領(lǐng)悟力和理解力，默會(huì)知識(shí)的學(xué)習(xí)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的應(yīng)然追求?？v觀當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，默會(huì)知識(shí)的教學(xué)仍存在“三重三輕”的問(wèn)題。默會(huì)知識(shí)的情境性告訴我們，默會(huì)知識(shí)的習(xí)得往往都貫穿于情境之中。真實(shí)情境能幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)默會(huì)知識(shí)，讓默會(huì)知識(shí)發(fā)聲，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；真實(shí)情境；默會(huì)知識(shí)；顯性知識(shí)

在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，遇到了這樣一道習(xí)題：一張長(zhǎng)是18.84厘米，寬是12.56厘米左右的長(zhǎng)方形紙卷成一個(gè)空心圓柱，體積最大是多少？

不難發(fā)現(xiàn)有兩種卷法，一種是以長(zhǎng)作為底面周長(zhǎng)，另一種是寬作為底面周長(zhǎng)（見(jiàn)圖1）。通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，以長(zhǎng)作為底面周長(zhǎng)，得到的圓柱體積會(huì)更大。出乎意料的是，很多學(xué)生只計(jì)算了一種情況，就是以長(zhǎng)作為底面周長(zhǎng)計(jì)算。

當(dāng)筆者進(jìn)一步追問(wèn)學(xué)生是否考慮到以寬作為底面周長(zhǎng)時(shí)，很多學(xué)生否定了我的猜想，只是主觀經(jīng)驗(yàn)上認(rèn)為長(zhǎng)作為底面周長(zhǎng)得到的圓柱體積會(huì)大一些。也有學(xué)生認(rèn)為不管怎樣卷，體積都一樣大，所以只需計(jì)算一種情況。作為教師知道，把長(zhǎng)作為底面周長(zhǎng)的時(shí)候體積會(huì)更大，這背后有著精準(zhǔn)的推導(dǎo)證明。

學(xué)生的這種主觀經(jīng)驗(yàn)引起了筆者深思，這種憑主觀經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題是個(gè)例嗎？

經(jīng)過(guò)調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)很多教師遇到過(guò)同樣的現(xiàn)象。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，憑主觀經(jīng)驗(yàn)做出了選擇和判斷，缺少對(duì)真實(shí)情境的深度思考，有時(shí)候做出的判斷和選擇是正確的，而有時(shí)候，這種主觀經(jīng)驗(yàn)又起了“副作用”。

一、詮釋：學(xué)科核心素養(yǎng)下默會(huì)知識(shí)的意蘊(yùn)

（一）默會(huì)知識(shí)的起源

這一現(xiàn)象其實(shí)早就引起了許多學(xué)者的關(guān)注。20世紀(jì)60年代，英國(guó)思想家波蘭尼就提出了“默會(huì)知識(shí)”（tacit. knowledge）理論（也稱“緘默知識(shí)”）。默會(huì)知識(shí)指人類知識(shí)中無(wú)法言語(yǔ)表達(dá)或是表達(dá)不清楚的知識(shí)。波蘭尼強(qiáng)調(diào)，“我們所知道的遠(yuǎn)大于我們所能表達(dá)的?！迸c之對(duì)應(yīng)的是“顯性知識(shí)”，顯性知識(shí)是指通常意義上可以用概念、命題、公式、圖形等加以表述的知識(shí)。

（二）默會(huì)知識(shí)的特征

默會(huì)知識(shí)有很多鮮明的特征：第一是情境性，默會(huì)知識(shí)因?yàn)闊o(wú)法靠一般語(yǔ)言傳遞，所以讓學(xué)生在情境中去體會(huì)和領(lǐng)悟就顯得特別重要了，特別是感“悟”學(xué)習(xí)的過(guò)程。正是因?yàn)槟瑫?huì)知識(shí)的情境性，才有真實(shí)情境中，把默會(huì)知識(shí)轉(zhuǎn)化為顯性知識(shí)的可能。

第二是個(gè)體性，不同人的成長(zhǎng)環(huán)境不一樣，就算是同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生，教師一樣，上課內(nèi)容一樣，但是家庭環(huán)境不一樣，社會(huì)環(huán)境有區(qū)別，先天上的差異等原因，這種差異在默會(huì)知識(shí)的表現(xiàn)上會(huì)更加明顯。

第三是層次性，默會(huì)知識(shí)按照能夠意識(shí)表達(dá)的層次被分為三個(gè)層次，一是能夠被意識(shí)到，并且能被表達(dá)的知識(shí)；二是能夠被意識(shí)到，但是表達(dá)不清楚的知識(shí)；三是無(wú)意識(shí)的知識(shí)[1]。默會(huì)知識(shí)的層次性，為默會(huì)知識(shí)轉(zhuǎn)化為顯性知識(shí)提供了可能。

二、溯源：數(shù)學(xué)教學(xué)中默會(huì)知識(shí)的梳理

隨著研究的深入，筆者發(fā)現(xiàn)當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂中，雖然有一些教師已經(jīng)關(guān)注到了默會(huì)知識(shí)，但是關(guān)于默會(huì)知識(shí)的教學(xué)仍存在很多不足。

（一）重經(jīng)歷，輕領(lǐng)悟提升

在文章開頭的練習(xí)中，很多教師都會(huì)引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算比較兩種情況。站在教師的角度上來(lái)看，學(xué)生在經(jīng)歷了分類、運(yùn)算、比較和得出結(jié)論的過(guò)程，會(huì)對(duì)以上知識(shí)點(diǎn)印象深刻從而掌握知識(shí)，并且進(jìn)一步理解只要是長(zhǎng)方形紙卷成空心圓柱，一定是以長(zhǎng)作為底邊所得到的圓柱體積比較大。

這樣的教學(xué)注重了學(xué)生的計(jì)算經(jīng)歷，但是缺少了學(xué)生的領(lǐng)悟過(guò)程，學(xué)生并不是自己主動(dòng)去計(jì)算比較的，是因?yàn)榻處煹囊龑?dǎo)提出，才有了進(jìn)一步的思考。而當(dāng)學(xué)生自己遇到新的問(wèn)題時(shí)，又會(huì)不知所措。教學(xué)過(guò)程中，教師沒(méi)有停下來(lái)，讓學(xué)生去想一想，這樣兩種不同的卷法，光憑想象可以比較出體積的大小嗎？如果看不出來(lái)，又該怎么辦？最后回歸到推理運(yùn)算。從默會(huì)知識(shí)的角度來(lái)說(shuō)，教師只注重了推導(dǎo)過(guò)程這一顯性知識(shí)，而忽視了這道題目背后的默會(huì)知識(shí)。這就導(dǎo)致很多學(xué)生對(duì)于默會(huì)知識(shí)的掌握程度不同，這也是為什么有的題目教師講解之后，有的學(xué)生掌握了一類題，而有的學(xué)生只掌握了一道題的原因。

（二）重判斷，輕邏輯推理

在上述教學(xué)過(guò)程中，教師在最后會(huì)強(qiáng)調(diào)“只要是長(zhǎng)方形紙卷成空心圓柱，一定是以長(zhǎng)方形長(zhǎng)為底邊周長(zhǎng)卷成的圓柱體積比較大”這一結(jié)論。

教師在實(shí)際教學(xué)中，遇到學(xué)生反復(fù)講解還不會(huì)時(shí)，就會(huì)讓學(xué)生“記結(jié)論”。這樣的做法看似是給學(xué)生積累了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本經(jīng)驗(yàn)，實(shí)際上忽視了重要的數(shù)學(xué)思維。對(duì)于較為復(fù)雜的知識(shí)點(diǎn)，如果只是停留在識(shí)記上，會(huì)導(dǎo)致很多時(shí)候?qū)W生做出錯(cuò)誤的判斷，得出錯(cuò)誤結(jié)論?！安钪晾?，謬以千里”，數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，只要對(duì)題意稍作改動(dòng)，可能意思就發(fā)生了根本性改變。比如“圓的直徑是半徑的兩倍”這個(gè)結(jié)論的成立，必須是在同一個(gè)圓或是相同大小的兩個(gè)圓這個(gè)前提下。

在教學(xué)以上顯性知識(shí)的同時(shí)，忽視了背后的默會(huì)知識(shí)，即對(duì)推理能力缺少進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，忽視了培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)質(zhì)的思維品質(zhì)。

（三）重回顧，輕反思提煉

著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說(shuō)過(guò)：“只要兒童沒(méi)有對(duì)自己的活動(dòng)進(jìn)行反思，他就達(dá)不到高一級(jí)的層次?！边@里的“高一級(jí)的層次”不僅包含思維上高一級(jí)的層次，從默會(huì)知識(shí)的角度來(lái)看，反思可以幫助學(xué)生把默會(huì)知識(shí)顯性化，在顯性化的過(guò)程中，提高學(xué)生的思維水品，達(dá)到思維的進(jìn)階。但是現(xiàn)實(shí)情況是課堂的反思經(jīng)常流于形式，使得默會(huì)知識(shí)顯性化這一過(guò)程被忽視。

在一開始的教學(xué)中，很多教師在教學(xué)完整個(gè)知識(shí)點(diǎn)之后，是不會(huì)對(duì)于這道題目進(jìn)行反思提煉的，學(xué)生只會(huì)知道這道題目的結(jié)論，而不知道解決這類探究性題目需要哪些程序性知識(shí)。比如我們一般需要經(jīng)歷猜想———驗(yàn)證———?dú)w納———總結(jié)等過(guò)程，并且在得出正確結(jié)論之前，這樣的探究過(guò)程可能是會(huì)反復(fù)經(jīng)歷的。教師的忽視導(dǎo)致這種默會(huì)知識(shí)的習(xí)得往往都是學(xué)生自發(fā)的，而基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生不會(huì)這樣去反思提煉，這就導(dǎo)致優(yōu)秀的學(xué)生習(xí)得的默會(huì)知識(shí)遠(yuǎn)多于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，優(yōu)秀的會(huì)更優(yōu)秀，這也是班級(jí)學(xué)生出現(xiàn)“兩極分化”的重要原因。

三、建構(gòu)：教學(xué)的真實(shí)情境下，默會(huì)知識(shí)的外顯

真實(shí)情境是指源于現(xiàn)實(shí)世界、貼近學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的生活場(chǎng)景，具有復(fù)雜性和開放性[2]。真實(shí)情境有豐富的信息，基于學(xué)生的生活經(jīng)歷，以培養(yǎng)學(xué)生“四能”，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的領(lǐng)悟力，理解力和判斷力。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂》把教學(xué)情境分成現(xiàn)實(shí)情境，數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境[3]?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）中提出，真實(shí)情境創(chuàng)設(shè)可以從社會(huì)生活、科學(xué)和學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)等方面入手[4]?？v觀課程標(biāo)準(zhǔn)可以發(fā)現(xiàn)，課標(biāo)對(duì)于情境的分類是相同的，高中數(shù)學(xué)課標(biāo)中默認(rèn)了情境的真實(shí)性。

PISA按照情境與學(xué)生距離的遠(yuǎn)近將情境分為個(gè)人情境、教育/職業(yè)情境、社會(huì)情境與科學(xué)情境?；蛘吒鶕?jù)生活的不同領(lǐng)域?qū)η榫尺M(jìn)行劃分，挖掘出家庭、學(xué)校、社區(qū)、交通、商業(yè)等多個(gè)領(lǐng)域的情境（見(jiàn)表1）。

觀察上表能夠發(fā)現(xiàn)，PISA的現(xiàn)實(shí)情境和課標(biāo)中的定義不同。這個(gè)“現(xiàn)實(shí)情境”和我們所說(shuō)的“真實(shí)情境”更為接近。雖然名稱上有所不同，但是根據(jù)PISA的分類，的確為我們的課堂教學(xué)提供了很多可以參考選擇的“真實(shí)情境”。

（一）在真實(shí)情境中感悟默會(huì)知識(shí)顯性化的需要

在《和與積的奇偶性》中，很多教師開門見(jiàn)山，用幾個(gè)加法算式直接去探究和的奇偶性。但這樣的導(dǎo)入略顯生硬，引不起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，最重要的是由于學(xué)生學(xué)得不主動(dòng)，導(dǎo)致很多學(xué)生忽略了和與積的奇偶性背后的默會(huì)知識(shí)。一方面，學(xué)生和教師只注意了本節(jié)課的顯性知識(shí)，即和與積的奇偶性，忽視了探究過(guò)程中學(xué)生主動(dòng)獲得知識(shí)的過(guò)程，即“猜想———驗(yàn)證———?dú)w納———概括———總結(jié)”這一系列解決探究性問(wèn)題的一般過(guò)程。這才是本節(jié)課的重點(diǎn)。另一方面，以上的顯性知識(shí)真的是被所有學(xué)生掌握了嗎？有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師不難發(fā)現(xiàn)，有不少學(xué)生對(duì)于以上顯性知識(shí)掌握得不牢固，一到運(yùn)用就會(huì)出錯(cuò)，這說(shuō)明有不少學(xué)生的學(xué)習(xí)停留在淺表層，也就是在簡(jiǎn)單重復(fù)。所以本節(jié)課的情境引入主要解決以上兩個(gè)問(wèn)題。

情境：小文和小雅去圖書館借書，發(fā)現(xiàn)一本圖書的某一頁(yè)破損嚴(yán)重，他們想要把這一頁(yè)修復(fù)好。兩人在修復(fù)過(guò)程中遇到了爭(zhēng)執(zhí)，小文說(shuō)：“我記得這一頁(yè)正反頁(yè)碼之和是34?！毙⊙耪f(shuō)：“我記得這一頁(yè)正反頁(yè)碼之和是33?！蹦阌X(jué)得誰(shuí)記錯(cuò)了呢？為什么？

以上情境的引入，讓學(xué)生產(chǎn)生了探究一本書正反頁(yè)碼之和的內(nèi)驅(qū)力，在探究說(shuō)理的過(guò)程中，我們能發(fā)現(xiàn)一本書某一頁(yè)正反頁(yè)碼之和都是奇數(shù)，這就引出了今天所要學(xué)習(xí)的和的奇偶性的知識(shí)。探究說(shuō)理的過(guò)程，其實(shí)就是默會(huì)知識(shí)顯性化的過(guò)程。在這樣的探究過(guò)程中，學(xué)生是積極思考，自主探索，最后是合作交流的。在整節(jié)課中，學(xué)生不僅知道了“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”這樣的一個(gè)顯性知識(shí)，更重要的是經(jīng)歷了探究過(guò)程，掌握解決這一類問(wèn)題的一般方法，體會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，有利于學(xué)生思維走向深處，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地。

（二）在真實(shí)情境中學(xué)習(xí)默會(huì)知識(shí)

1.在現(xiàn)實(shí)情境中培養(yǎng)領(lǐng)悟力

在當(dāng)下的教學(xué)中，學(xué)生分析和解決的問(wèn)題往往是單一的、條件完備和結(jié)構(gòu)封閉的問(wèn)題。和現(xiàn)實(shí)生活中所遇到的真實(shí)的、復(fù)雜的情境是絕不一樣的，顯而易見(jiàn)的是，真實(shí)情境中的問(wèn)題會(huì)更難解決。

在《認(rèn)識(shí)平均數(shù)》這一課中，蘇教版數(shù)學(xué)書中創(chuàng)設(shè)的是男、女生套圈的情境，由于人數(shù)的不同，我們要比較男女生哪一組套得準(zhǔn)時(shí)，只能選用平均數(shù)，這樣的引出的確更加合理。這在幫助學(xué)生學(xué)習(xí)平均數(shù)的計(jì)算方法和意義時(shí)，顯得游刃有余。

但是如果更進(jìn)一步去思考，這樣的學(xué)習(xí)真的落實(shí)了學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)嗎？

教師不妨從默會(huì)知識(shí)的角度去思考，本節(jié)課的顯性知識(shí)就是平均數(shù)的意義和方法，默會(huì)知識(shí)是為什么可以用平均數(shù)來(lái)表示這組數(shù)據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。為了更好地落實(shí)默會(huì)知識(shí)的學(xué)習(xí)，教師可以創(chuàng)設(shè)更貼近學(xué)生生活的情境。

情境：校門口一到早上上學(xué)和傍晚放學(xué)就堵車堵得厲害，為解決校門口堵車問(wèn)題，你打算怎么辦？

在這個(gè)情境中，數(shù)據(jù)都沒(méi)有告訴學(xué)生，這樣一個(gè)開放的、劣構(gòu)的問(wèn)題，往往需要學(xué)生付出更多的思考。要解決以上問(wèn)題，我們必須把這個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分解成多個(gè)單一的問(wèn)題。

一是要知道上下學(xué)時(shí)學(xué)校周圍的車流量，而一天的車流量顯然不能代表所有的時(shí)間，所以學(xué)生又必須多去統(tǒng)計(jì)幾次上下學(xué)的時(shí)間內(nèi)的車流量。二是這里涉及到統(tǒng)計(jì)的方法，比如前面學(xué)習(xí)的畫正字等，還要用到統(tǒng)計(jì)表，學(xué)生要選用合適方法。三是引出平均數(shù)的概念，也就理解了平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的整體情況。最后更為重要的是，我們還要給出相應(yīng)的解決這個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的策略，比如，我們可以采用分段上下學(xué)的辦法，以緩解某一時(shí)間段內(nèi)車流量過(guò)大的現(xiàn)象，實(shí)行一段時(shí)間之后，可以再統(tǒng)計(jì)一段時(shí)間的車流量，看看上下學(xué)的堵車現(xiàn)象有沒(méi)有緩解。

在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生不僅學(xué)到了平均數(shù)的算法和意義這一顯性知識(shí)，更重要的是，學(xué)生在潛移默化中理解了為什么要求平均數(shù)，并且領(lǐng)悟到平均數(shù)是為我們解決問(wèn)題所服務(wù)的，在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)展了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，讓核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于整節(jié)課。

2.在數(shù)學(xué)情境中培養(yǎng)理解力

在平時(shí)的教學(xué)中，很多教師只注重顯性知識(shí)的學(xué)習(xí)，而忽視了學(xué)生的理解，對(duì)于背后的默會(huì)知識(shí)采用“隨緣”的態(tài)度。針對(duì)以上現(xiàn)狀，我們?cè)O(shè)置了以下的數(shù)學(xué)情境，幫助學(xué)生提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力，并且在解決問(wèn)題的過(guò)程中，讓學(xué)科知識(shí)融會(huì)貫通，理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般方法，知識(shí)的獲得不僅是要求全，更要求聯(lián)。

情境：這里有一個(gè)底面直徑是4厘米，高是3厘米的圓柱形樹樁，你能提出數(shù)學(xué)方面的什么問(wèn)題？

預(yù)設(shè)1：這個(gè)圓柱形樹樁的體積是多少？

預(yù)設(shè)2：如果把圓柱形木樁削成最大的圓錐，圓錐的體積是多少？

預(yù)設(shè)3：如果把圓柱形木樁削成最大的圓錐，削去的體積是多少？

預(yù)設(shè)4：如果把圓柱全刷上油漆，刷油漆的面積是多少？

預(yù)設(shè)5：如果把圓柱刷上油漆，貼著地面的底面可以不刷，刷油漆的面積是多少？

預(yù)設(shè)6：如果把這個(gè)圓柱形木樁滾動(dòng)一周，滾過(guò)的面積是多大？

以上的情境中，教師給了學(xué)生一些數(shù)據(jù)，但是卻沒(méi)有給出問(wèn)題，在學(xué)生根據(jù)條件提出問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在上面情境中，顯性知識(shí)是圓柱和圓錐的表面積和體積公式。默會(huì)知識(shí)是加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)于知識(shí)之間聯(lián)系的理解，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，讓學(xué)生理解了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般方法，這著重培養(yǎng)的是學(xué)生的數(shù)學(xué)理解力。這種更深層次的目標(biāo)，才是這道題目的潛在意義。

學(xué)生在提出問(wèn)題和分析解決問(wèn)題的時(shí)候，必須從數(shù)學(xué)的眼光出發(fā)，并且因?yàn)槭菍W(xué)生自身提出的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，學(xué)生學(xué)得會(huì)更加主動(dòng)，推導(dǎo)得出“等底等高的圓柱的體積是圓錐的3倍，差是圓錐的兩倍，和是圓錐的4倍”。在解決問(wèn)題4、5和6時(shí)，學(xué)生需要對(duì)于圓柱的表面積和側(cè)面積有一定的認(rèn)識(shí)，在辨析中判斷問(wèn)題要求的是什么，發(fā)展和培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力，更進(jìn)一步地培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的理解力，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，讓學(xué)生對(duì)于圓柱和圓錐的體積和面積有了更深入的理解。

3.在科學(xué)情境中培養(yǎng)判斷力

《哥尼斯堡七橋問(wèn)題》是一個(gè)很有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，一般人看到這個(gè)問(wèn)題的一般想法是先嘗試，然后在嘗試中總結(jié)方法，尋找規(guī)律，以期找到背后隱藏的數(shù)學(xué)原理和知識(shí)。

但是，數(shù)學(xué)家歐拉在經(jīng)過(guò)多次嘗試失敗之后，判斷是沒(méi)有辦法不重復(fù)不遺漏地一次性走完七座橋且回到起點(diǎn)。在這個(gè)問(wèn)題中，這樣的判斷力是比后面的證明更加可貴的。

在出示情境之后，學(xué)生從主觀經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，一定會(huì)很迫切地想要解決這個(gè)問(wèn)題?？梢宰寣W(xué)生大膽嘗試。在多次嘗試無(wú)果之后，引導(dǎo)學(xué)生思考：“這個(gè)問(wèn)題真的可以解決嗎？”再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：“為什么解決不了？”從而引出奇點(diǎn)和偶點(diǎn)的知識(shí)，回歸到我們最基本的一筆畫問(wèn)題中來(lái)。這樣的過(guò)程，實(shí)際上是打破了學(xué)生的思維定勢(shì)，即拋出的問(wèn)題都是有解的這樣一個(gè)主觀經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在這節(jié)課中最大的收獲并不是怎樣去判斷奇點(diǎn)和偶點(diǎn)，也不是怎樣去判斷一個(gè)圖形能不能一筆畫完，反而是對(duì)于問(wèn)題的一種判斷力。

完全憑感覺(jué)做出判斷是很不負(fù)責(zé)任的一種學(xué)習(xí)方式，所以在學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師必須培養(yǎng)學(xué)生的判斷力，這種判斷力是從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)，正確引導(dǎo)學(xué)生的判斷力，不斷積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)而得到的，這種判斷力更多的像一種思維直覺(jué)，只有在真實(shí)情境中落實(shí)了學(xué)生的顯性知識(shí)，才有可能讓學(xué)生獲得這樣的一種判斷力。

（三）默會(huì)知識(shí)的默而識(shí)之

在教學(xué)實(shí)踐中，每名學(xué)生學(xué)習(xí)程度各不相同。在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，我們不可能要求每一個(gè)學(xué)生都要達(dá)到教師所要求的水平，要允許差異存在。對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，有些知識(shí)就是默會(huì)知識(shí)，很難轉(zhuǎn)化為顯性知識(shí)。不可能要求一年級(jí)學(xué)生很準(zhǔn)確地說(shuō)出長(zhǎng)方形和正方形的定義，而是讓學(xué)生盡可能去描述他們的感受，在表達(dá)中不斷深化對(duì)長(zhǎng)方形和正方形概念的理解。對(duì)于高年級(jí)的學(xué)生，也不可能要求學(xué)生準(zhǔn)確說(shuō)出圓的精確定義，但是在畫圓，說(shuō)理的過(guò)程中，實(shí)際上一直在不斷深化對(duì)圓的認(rèn)識(shí)。到了初中，學(xué)生真正接觸到圓的嚴(yán)格定義時(shí)，會(huì)有恍然大悟的感覺(jué)，體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的嚴(yán)謹(jǐn)性，邏輯性。

教師不能為教學(xué)而教學(xué)，很多時(shí)候是在為今后的教學(xué)而教。這就要求教師的站位要高，眼光要更長(zhǎng)遠(yuǎn)。默會(huì)知識(shí)在小學(xué)的學(xué)習(xí)，是為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)埋下了一顆種子，教師必須承認(rèn)許多情況下默會(huì)知識(shí)的“默而識(shí)之”。

四、默會(huì)知識(shí)的展望

默會(huì)知識(shí)仍有很多方面值得探討，比如說(shuō)默會(huì)知識(shí)的負(fù)面作用，教師必須明白默會(huì)知識(shí)和顯性知識(shí)之間的一個(gè)重大區(qū)別是，顯性知識(shí)在具體條件下是絕對(duì)成立的。默會(huì)知識(shí)說(shuō)到底是一種判斷力、領(lǐng)悟力、理解力，這是非常主觀的，而個(gè)體判斷出錯(cuò)是很正常的現(xiàn)象，所以教師必須警惕默會(huì)知識(shí)的副作用，這在文章開頭也是有提到過(guò)。

要注意教學(xué)內(nèi)容的虛化，默會(huì)知識(shí)如此重要，那是不是顯性知識(shí)就沒(méi)有那么重要了呢？顯性知識(shí)的教學(xué)是通向默會(huì)知識(shí)教學(xué)的重要路徑，只有學(xué)生有了顯性知識(shí)，才有基礎(chǔ)和能力掌握更高要求的默會(huì)知識(shí)。所以筆者所推崇的數(shù)學(xué)課堂，是顯性知識(shí)和默會(huì)知識(shí)兩者所并重的。本文沒(méi)有著重說(shuō)兩者共同學(xué)習(xí)是因?yàn)楝F(xiàn)在的課堂顯性知識(shí)的教學(xué)過(guò)重，從而忽視默會(huì)知識(shí)了。

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉雪飛.緘默知識(shí)理論觀照下知識(shí)與學(xué)習(xí)的重構(gòu)[J].教育導(dǎo)刊，2006（11）.

[2] 楊向東.指向核心素養(yǎng)的考試命題[J].全球教育展望，2018（10）.

[3] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020：75.

[4] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：4.

編輯/趙卓然