新高考視域下“統(tǒng)計(jì)與概率”解題策略研究

摘" 要：“統(tǒng)計(jì)與概率”作為高中數(shù)學(xué)中重要組成，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)進(jìn)行了全方位的考查，已成為當(dāng)前高考的亮點(diǎn)與熱點(diǎn).尤其是在新高考背景下，“統(tǒng)計(jì)與概率”考試題目背景常常與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，進(jìn)一步增加了學(xué)生的解題難度.鑒于此，基于數(shù)學(xué)新高考視域下“統(tǒng)計(jì)與概率”考查方向，全面加強(qiáng)解題教學(xué)，提升學(xué)生的解題能力已成為當(dāng)前研究的重點(diǎn).本文聚焦于此，結(jié)合解題實(shí)踐，對(duì)其展開(kāi)了詳細(xì)的探究.

關(guān)鍵詞：新高考；“統(tǒng)計(jì)與概率”；解題教學(xué)

“統(tǒng)計(jì)與概率”主要是從數(shù)量的角度，圍繞隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律展開(kāi)研究，是高中數(shù)學(xué)的重要組成.同時(shí)，“統(tǒng)計(jì)與概率”中也蘊(yùn)含了大量的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，包括：數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等，歷來(lái)是考查的重點(diǎn).尤其是在新高考視域下，考查的內(nèi)容、形式也隨之發(fā)生改變.縱觀(guān)最新高考下的數(shù)學(xué)試卷，關(guān)于“統(tǒng)計(jì)與概率”的考查內(nèi)容基本上與新課程標(biāo)準(zhǔn)保持一致，更加關(guān)注內(nèi)容的全面性、層次性，突出了核心概念、主干知識(shí)、重要思想的考慮.從考查形式上來(lái)說(shuō)，題目背景更加生活化、情境性，致使題干更加冗長(zhǎng).在這種情況下，部分學(xué)生很難將數(shù)學(xué)問(wèn)題從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)，致使其在解題時(shí)面臨著極大的難度.鑒于此，基于新高考下的要求，全面加強(qiáng)“統(tǒng)計(jì)與概率”解題教學(xué)研究已成為擺在一線(xiàn)教師面前的重任.

1" 新高考下“統(tǒng)計(jì)與概率”試題特點(diǎn)分析

縱觀(guān)新高考?xì)v年各地?cái)?shù)學(xué)試卷，關(guān)于“統(tǒng)計(jì)與概率”知識(shí)的考查，呈現(xiàn)出以下幾個(gè)特點(diǎn).

（1）試題背景更加豐富.新高考下“統(tǒng)計(jì)與概率”這一部分的試題突出了“統(tǒng)計(jì)與概率”和現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系，試題設(shè)置背景更加生活化.例如，以普及垃圾分類(lèi)知識(shí)、長(zhǎng)途客車(chē)運(yùn)行、流行病調(diào)查等作為試題的背景.可以說(shuō)，新高考下“統(tǒng)計(jì)與概率”的考試背景和實(shí)際生活、社會(huì)生產(chǎn)緊密相連，突出了試題的時(shí)代性，以及數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性和實(shí)踐性.

（2）考查內(nèi)容聚焦主干知識(shí).基于各地試卷分析，當(dāng)前數(shù)學(xué)考查的知識(shí)點(diǎn)集中在主干知識(shí)中，主要涉及概率計(jì)算、概率性質(zhì)和相互獨(dú)立事件的概率、條件概率和全概率公式、隨機(jī)變量分布列與數(shù)字特征、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布等.可以說(shuō)，新高考下關(guān)于這一部分知識(shí)考查更加全面、系統(tǒng)、聯(lián)系性更強(qiáng)，真正體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)的特點(diǎn).

（3）更加關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).新高考下，關(guān)于“統(tǒng)計(jì)與概率”考查題目中，更加關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).例如，數(shù)學(xué)閱讀素養(yǎng)，學(xué)生必須認(rèn)真閱讀題目含義，在審題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，了解問(wèn)題的背景，形成新的解題思路和方案.在數(shù)學(xué)題目中融入了一定的數(shù)學(xué)思想，其中以建模思想尤為突出，學(xué)生需要利用一定的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題.

2" 新高考下“統(tǒng)計(jì)與概率”解題教學(xué)研究

2.1" 加強(qiáng)審題教學(xué)，增強(qiáng)題目理解能力

新高考下“統(tǒng)計(jì)與概率”題目也呈現(xiàn)出全新的特點(diǎn)，題目文字?jǐn)⑹霰容^長(zhǎng)，數(shù)據(jù)非常多，對(duì)學(xué)生的閱讀能力、數(shù)據(jù)分析能力都提出了更高的要求.鑒于此，在解題教學(xué)中，應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的題目閱讀能力，強(qiáng)化審題意識(shí)，使其在審題時(shí)能夠精準(zhǔn)把握題目中的關(guān)鍵條件，深層次挖掘題目中的隱含信息等，為學(xué)生更好地解題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

例1" 11分制乒乓球比賽中，每次贏(yíng)得一球之后就會(huì)得1分.當(dāng)比賽某一局達(dá)成10∶10之后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多贏(yíng)得2分的隊(duì)員獲勝，該局比賽獲得勝利.甲乙兩位學(xué)生在乒乓球單打比賽中，假設(shè)同學(xué)甲發(fā)球時(shí)的得分概率為0.5，同學(xué)乙發(fā)球時(shí)甲同學(xué)的得分概率為0.4，各個(gè)球結(jié)果相互獨(dú)立，在某一局雙方10∶10平之后，由甲先發(fā)球，兩位同學(xué)又打了X個(gè)球之后，比賽才結(jié)束.求解以下兩個(gè)問(wèn)題.

（1）P（X=2）.

（2）求事件X=4且同學(xué)甲獲得比賽勝利的概率.

分析：本題目解答存在以下兩個(gè)關(guān)鍵條件：①比賽的規(guī)則是兩位選手比賽到10∶10之后，每球都要交換發(fā)球權(quán)，先多贏(yíng)得2分的一方獲得；②比賽時(shí)同學(xué)甲的得分概率，在甲發(fā)球時(shí)其得分概率為0.5，在同學(xué)乙發(fā)球時(shí)其得分概率為0.4.同時(shí)，從這一條件中還可推出，當(dāng)甲發(fā)球時(shí)，同學(xué)乙的得分概率為0.5，當(dāng)同學(xué)乙發(fā)球時(shí)得分概率為0.6.學(xué)生在審題中只要明確這一點(diǎn)，即可形成明確的解題思路.

（1）由題意可知，X=2包括同學(xué)甲連續(xù)贏(yíng)得兩個(gè)球，或者同學(xué)乙連續(xù)贏(yíng)得兩個(gè)球.因此，P（X=2）=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.

（2）根據(jù)題目已知條件可知，事件X=4且同學(xué)甲獲得比賽勝利，前兩個(gè)球中同學(xué)甲、同學(xué)乙各贏(yíng)得1分，之后兩個(gè)球均為同學(xué)甲得分.因此，所求概率為（0.5×0.6+0.5×0.4）×0.5×0.4=0.1.［1］

2.2" 培養(yǎng)模型意識(shí)，強(qiáng)化解題能力

新高考視域下，“統(tǒng)計(jì)與概率”題目中融入了大量的數(shù)學(xué)模型，如超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)等.鑒于此，在解題教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)立足于這一考查點(diǎn)，強(qiáng)化學(xué)生的模型意識(shí)，使其在分析題目時(shí)能夠從實(shí)際問(wèn)題中將數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象出來(lái)，進(jìn)而運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行解答.

例2" 從某一批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品兩次，每次隨機(jī)抽取1件產(chǎn)品.假設(shè)事件A為取出2件產(chǎn)品中至多有1件產(chǎn)品是二等品的概率為0.96.求解以下兩個(gè)問(wèn)題.

（1）從該產(chǎn)品中任取1件產(chǎn)品是二等品的概率為多少？

（2）如果該產(chǎn)品中共有100件，從中任意抽取2件，用ξ表示取出2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求ξ的分布列.

分析：在解答本題目時(shí)，關(guān)鍵在于正確識(shí)別、區(qū)分超幾何分布、二項(xiàng)分布模型.其中，超幾何分布模型主要是任意抽取n件產(chǎn)品，且是不放回的抽取，一次僅取1件產(chǎn)品，連續(xù)取產(chǎn)品n次.如果在抽取產(chǎn)品時(shí)，出現(xiàn)了“有放回抽取”的現(xiàn)象，則為n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，這屬于二項(xiàng)分布.因此，就本題目來(lái)說(shuō)，在第（1）問(wèn)中即為二項(xiàng)分布.在第（2）問(wèn)中即為超幾何分布.由此即可形成明確的解題思路.

（1）取2件產(chǎn)品中無(wú)二等品的事件表示A0，取2件產(chǎn)品中恰好有1件產(chǎn)品為二等品的事件表示為A1.由于A(yíng)0、A1為互斥事件，且A=A0+A1，因此，P（A）=P（A0+A1）=P（A0）+P（A1）=（1-p）2+C12p（1-p）=1-p2.因?yàn)?-p2=0.96，解方程，得p1=0.2，p2=-0.2（舍去）.

（2）因?yàn)棣慰赡苋≈禐?，1，2，假如這一批產(chǎn)品中共有100件，根據(jù)（1）得知題目中二等產(chǎn)品共有100×0.2=20件.因此，P（ξ=0）=C280C2100=316495，P（ξ=1）=C180C120C2100=160495，P（ξ=2）=C220C2100=19495.

因此，ξ的分布列如下.

ξ012

P31649516049519495

2.3" 轉(zhuǎn)化函數(shù)，優(yōu)化解題

新高考視域下，面對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的相關(guān)題目，常常會(huì)遇到求最值、范圍等問(wèn)題.鑒于此，即可融入函數(shù)意識(shí)，選取變量構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，最終將所求的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為求函數(shù)最值和值域等問(wèn)題，并運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行解答.

例3" 調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致全球氣候變暖、海平面上升的主要原因是汽車(chē)尾氣排放超標(biāo).在可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略下，我國(guó)加大了對(duì)新能源項(xiàng)目的支持，積極推進(jìn)新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展.在對(duì)某新能源企業(yè)汽車(chē)銷(xiāo)售情況的調(diào)查中，得到如下統(tǒng)計(jì)表（見(jiàn)表1）.

（1）在該統(tǒng)計(jì)表中，表明了銷(xiāo)量y和年份代碼x之間存在較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程，并對(duì)該地區(qū)新能源汽車(chē)銷(xiāo)量在哪一年能夠突破50萬(wàn)輛進(jìn)行預(yù)測(cè).

（2）為了對(duì)購(gòu)車(chē)者性別和種類(lèi)情況進(jìn)行調(diào)查了解.該企業(yè)又隨機(jī)抽取200位車(chē)主作為調(diào)查樣本.結(jié)果顯示，男性車(chē)主中購(gòu)置傳統(tǒng)汽車(chē)有ω名，購(gòu)置新能源汽車(chē)的車(chē)主為45名.女性車(chē)主中則有20名購(gòu)置了傳統(tǒng)的汽車(chē).

①如果ω=95，將調(diào)查樣本中購(gòu)置新能源汽車(chē)的性別占比作為概率，以樣本估計(jì)總體，試著用（1）中線(xiàn)性回歸方程，對(duì)該地區(qū)2020年購(gòu)置新能源汽車(chē)女性車(chē)主人數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)（假設(shè)每位車(chē)主只購(gòu)買(mǎi)一輛汽車(chē)）.②假設(shè)男性車(chē)主中選擇購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)的概率為P，如果將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查樣本中所有男性車(chē)主中隨機(jī)抽出5人，恰好有3人選擇了新能源汽車(chē)的概率為f（P），求當(dāng)ω為何值時(shí)，f（P）最大.

分析：本題目難度系數(shù)比較高，不僅以當(dāng)前社會(huì)生產(chǎn)熱點(diǎn)作為背景，同時(shí)又與函數(shù)知識(shí)整合到一起，主要對(duì)“線(xiàn)性回歸方程”展開(kāi)考查.鑒于此，在解決這一問(wèn)題時(shí)，需要明確獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率公式f（P），之后再融入函數(shù)思想，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行確定，最終完成題目的解答.

（1）根據(jù)題意得出x=1+2+3+4+55=3，y=10+12+17+20+265=17，5i=1xiyi=295，5i=1x2i=55.

因此=5ixiyi-5xy5ix2i-5x2=295-5×3×1755-5×3×3=4，=y-x=17-4×3=5.

所以求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為=4x+5，令＞50時(shí)，則x＞11.25，最小的正整數(shù)x=12，則有2014+12=2026，即在2026年時(shí)該地區(qū)新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量將突破50萬(wàn)輛.

（2）①根據(jù)題意得知，該地區(qū)中200名車(chē)主中，女性車(chē)主為200-95-45=60名，則購(gòu)買(mǎi)新能源的女性車(chē)主為60-20=40名.因此，在購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)車(chē)主中，女性所占據(jù)的比例為4040+45=817，該地區(qū)中購(gòu)置新能源汽車(chē)女性車(chē)主概率為817.根據(jù)預(yù)測(cè)得知，該地區(qū)在2020年時(shí)新能源汽車(chē)銷(xiāo)售為4×6+5=29萬(wàn)輛.

因此，在2020年時(shí)購(gòu)置新能源汽車(chē)新車(chē)主中女性人數(shù)約有29×817≈13.6萬(wàn).

②由題意可知，P=4545+ω（0≤ω≤135）.

則有f（P）=C35P3（1-P）2=10P3-20P4+10P5.

對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)得出f′（P）=50P4-80P3+30P2=10P2（P-1）（5P-3）.

當(dāng)0＜P＜35時(shí)，f′（P）＞0；當(dāng)35＜P＜1時(shí)，f′（P）＜0.

則f（P）在0，35上單調(diào)遞增，在35，1上單調(diào)遞減，則fmax（P）=f35=C35353×252=216625，此時(shí)ω=30.

因此，當(dāng)ω=30時(shí)，f（P）存在最大值，且最大值為216625.［2］

3" 新高考下“統(tǒng)計(jì)與概率”解題教學(xué)啟示

鑒于新高考下“統(tǒng)計(jì)與概率”考試題目的類(lèi)型和解題要求，高中數(shù)學(xué)教師唯有努力調(diào)整和完善課堂教學(xué)模式，使得學(xué)生在針對(duì)性的訓(xùn)練和學(xué)習(xí)中，逐漸提升自身的解題能力.首先，注重基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，強(qiáng)化知識(shí)練習(xí).在日?！敖y(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)基本概念、基本性質(zhì)教學(xué)，注重相關(guān)知識(shí)的歸納與總結(jié)，以便于學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐漸形成系統(tǒng)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).而要達(dá)到這一目標(biāo)，在日常教學(xué)中可適當(dāng)借助知識(shí)結(jié)構(gòu)圖、思維導(dǎo)圖等工具，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)效果.其次，規(guī)劃專(zhuān)題，重點(diǎn)突破.鑒于新高考下的考試特點(diǎn)，在日常教學(xué)和復(fù)習(xí)指導(dǎo)中，可采用細(xì)分專(zhuān)題的模式，將“統(tǒng)計(jì)”“概率”等知識(shí)進(jìn)行合理劃分，使其成為不同的板塊.同時(shí)，圍繞每一個(gè)板塊的知識(shí)點(diǎn)、常見(jiàn)題型、易混概念、易錯(cuò)問(wèn)題等進(jìn)行整合，使得學(xué)生在針對(duì)性的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練中，逐漸掌握解題技巧.最后，關(guān)注本質(zhì)，提煉內(nèi)涵.新高考下，雖然“統(tǒng)計(jì)與概率”這一部分題目類(lèi)型多種多樣，但本質(zhì)卻非常一致，甚至出現(xiàn)了題型異質(zhì)同的現(xiàn)象.鑒于此，在日常教學(xué)和復(fù)習(xí)指導(dǎo)中，必須帶領(lǐng)學(xué)生透過(guò)問(wèn)題現(xiàn)象看到其本質(zhì)內(nèi)涵，提煉其內(nèi)涵，領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，真正提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.［4］

參考文獻(xiàn)

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［3］秦樂(lè)，周瑩.高中數(shù)學(xué)教材習(xí)題綜合難度研究——以人教A版“統(tǒng)計(jì)與概率”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2019（13）：20-23.

［4］王浩然.如何增強(qiáng)高中數(shù)學(xué)解題能力——以《統(tǒng)計(jì)與概率》知識(shí)題為例［J］.高考，2018（29）：158.