細分析，尋規(guī)律，明方向

摘" 要：結(jié)合近年新高考對“概率統(tǒng)計”模塊的考查分析，抓住概率與統(tǒng)計自身的知識特點，從命題分析入手，探尋真題啟示，有效復(fù)習(xí)備考，歸納總結(jié)規(guī)律，展示命題趨勢，合理備考建議，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：概率；統(tǒng)計；應(yīng)用

隨著社會的發(fā)展，大數(shù)據(jù)時代已經(jīng)到來，“概率統(tǒng)計”的應(yīng)用愈加廣泛，在當(dāng)下高中數(shù)學(xué)課程中，“概率統(tǒng)計”內(nèi)容貫穿必修與選修課程.以“素養(yǎng)”立意的新高考強調(diào)依托數(shù)學(xué)情境，全面考查學(xué)生的理解能力、邏輯推理和探究能力等.所以，基于情境化設(shè)計的“概率統(tǒng)計”問題，考查方式靈活多變，已經(jīng)成為近年新高考數(shù)學(xué)試題的熱點問題，也是今后若干年中高考命題的一個基本趨勢.

1" 高考命題分析

近三年來高考中“概率統(tǒng)計”模塊的考點分析以及命題特點，這里以新高考試卷考查的知識點進行分析（見表1）.

2" 高考真題啟示

結(jié)合上述近三年來高考中“概率統(tǒng)計”模塊的考點分析，其間的高考命題主要體現(xiàn)以下特點.

（1）全面考查學(xué)生的識圖與表達能力.例如，2022年新高考Ⅱ卷第19題，以頻率分布直方圖給出相應(yīng)的某種疾病患者的年齡數(shù)據(jù)信息，進而估計平均年齡，確定給定的概率以及求解患病的概率等.

（2）合理考查學(xué)生對概率計算模型的深度理解.例如，2023年新高考Ⅱ卷第12題，借助信號傳輸?shù)莫毩⑿裕M而計算不同傳輸方案所對應(yīng)的概率.

（3）側(cè)重考查學(xué)生對概念的深度理解及公式的推導(dǎo)過程.例如，2021年新高考 Ⅰ 卷第8題，通過不同事件所對應(yīng)的概率，判斷不同事件之間是否相互獨立.

（4）著力關(guān)注融合概率背景的綜合題.例如，2023年新高考Ⅰ卷第21題，借助投籃比賽中的概率計算，巧妙融合數(shù)列的相關(guān)知識與應(yīng)用等，實現(xiàn)知識的綜合.

3" 復(fù)習(xí)備考建議

3.1" 立足基礎(chǔ)，強化記憶與理解

3.1.1" 理解公式推導(dǎo)過程，提高數(shù)學(xué)運算水平

“概率統(tǒng)計”模塊知識中，統(tǒng)計中的公式符號多，比較抽象，建議在掌握推導(dǎo)過程的基礎(chǔ)上，熟練記住各類公式.例如，方差公式的各種形式，線性回歸方程中的系數(shù)，獨立性檢驗公式等.

3.1.2" 重視核心概念理解，提高辨析概念能力

“概率統(tǒng)計”模塊知識中，概率中的概念比較多，要通過一些經(jīng)典案例來辨析概念，進而鞏固概念，精致概念，悟透概念的本質(zhì).特別是超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系等.

例1" ［2024年湖南省岳陽市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（二）］（多選題）某學(xué)校為宣傳我國第三艘航空母艦“中國人民解放軍海軍福建艦”下水試航，增強學(xué)生的國防意識，組織了一次“逐夢深藍，山河榮耀”國防知識競賽，對100名學(xué)生的參賽成績進行統(tǒng)計，可得到如圖1所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］，為進一步了解學(xué)生的答題情況，通過分層隨機抽樣，從成績在區(qū)間［70，90）內(nèi)的學(xué)生中抽取6人，再從這6人中先后抽取2人的成績作分析，下列結(jié)論正確的是（" ）.

圖1

A. 頻率分布直方圖中的x=0.030

B. 估計100名學(xué)生成績的中位數(shù)是85

C. 估計100名學(xué)生成績的80%分位數(shù)是95

D. 從6人中先后抽取2人作分析時，若先抽取的學(xué)生成績位于［70，80），則后抽取的學(xué)生成績在［80，90）的概率是415

解析：對于選項A，根據(jù)學(xué)生的成績都在50分到100分之間的頻率和為1，可得10×（0.005+0.01+0.015+x+0.040）=1，解得x=0.030，故選項A正確.

對于選項B，由（0.005+0.010+0.015）×10=0.3＜0.5，（0.005+0.010+0.015+x）×10=0.6＞0.5，故中位數(shù)位于［80，90）之間，中位數(shù)為80+0.5-0.30.3×（90-80）=2603，故選項B錯誤.

對于選項C，80%分位數(shù)約為90+0.8-0.60.4×10=95分，故選項C正確.

對于選項D，在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間［70，80）和［80，90）的學(xué)生人數(shù)之比為10×0.01510×0.030=12，故［70，80）中抽取了2人，［80，90）中抽取了4人，先抽取的學(xué)生成績位于［70，80），則第二次抽取時，是在5個人中抽取，而此時學(xué)生成績在［80，90）的個數(shù)有4個，故概率為45，故選項D不正確.故選擇答案AC.

點評：以統(tǒng)計中的頻率分布直方圖為問題場景，借助識圖與應(yīng)用，以及統(tǒng)計中的中位數(shù)、分位數(shù)等概念與公式的計算，還有概率求解等來綜合應(yīng)用，實現(xiàn)問題的求解與應(yīng)用.

3.2" 重視閱讀，提升能力與素養(yǎng)

“概率統(tǒng)計”模塊知識中，相應(yīng)的試題大多數(shù)情境復(fù)雜，試題文字篇幅較長，信息含量較大，符號圖表密集，運算過程復(fù)雜，參考數(shù)據(jù)冗長，涉及公式較多.這些都需要我們通過閱讀來提取，進而有效提升閱讀理解能力以及相應(yīng)的核心素養(yǎng).

例2" 2023年1月26日，世界乒乓球職業(yè)大聯(lián)盟（WTT）支線賽多哈站結(jié)束，中國隊包攬了五個單項冠軍，乒乓球單打規(guī)則是首先由發(fā)球員發(fā)球2次，再由接發(fā)球員發(fā)球2次，兩者交替，勝者得1分.在一局比賽中，先得11分的一方為勝方（勝方至少比對方多2分），10平后，先多得2分的一方為勝方.甲、乙兩位同學(xué)進行乒乓球單打比賽，甲在一次發(fā)球中，得1分的概率為35，乙在一次發(fā)球中，得1分的概率為12.如果在一局比賽中，由乙隊員先發(fā)球.

（1）甲、乙的比分暫時為8∶8，求最終甲以11∶9贏得比賽的概率.

（2）求發(fā)球3次后，甲的累計得分的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解析：（1）甲以11∶9贏得比賽，共計20次發(fā)球，在后4次發(fā)球中，需甲在最后一次獲勝，最終甲以11∶9贏得比賽的概率為P=C12×122×352+122×25×35=625.

（2）設(shè)甲累計得分為隨機變量X，X的可能取值為0，1，2，3.

則P（X=0）=122×25=110，P（X=1）=C12×122×25+122×35=720，P（X=2）=C12×122×35+122×25=25，P（X=3）=122×35=320.

所以隨機變量X的分布列如下.

X0123

P11072025320

所以E（X）=0×110+1×720+2×25+3×320=85.

點評：合理閱讀理解，抓住題設(shè)中體育比賽的規(guī)則，結(jié)合獨立重復(fù)試驗來分析與求解對應(yīng)的概率問題，進而深入確定對應(yīng)的隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等.

3.3" 捕捉熱點，突破重點與難點

“概率統(tǒng)計”模塊知識中，新高考有一些比較突出的熱點問題，主要涉及概率中的最值問題，概率中的遞推關(guān)系問題（概率與數(shù)列），概率與其他知識（概率與統(tǒng)計、概率與函數(shù)導(dǎo)數(shù)、概率與不等式等）的交匯問題，都是高考命題中一個熱點.

例3" （2024屆湖北省金太陽高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）有一位老師叫他的學(xué)生到麥田里，摘一顆全麥田里最大的麥穗，期間只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，他的學(xué)生兩手空空走出麥田，因為他不知前面是否有更好的，所以沒有摘，走到前面時，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到.假設(shè)該學(xué)生在麥田中一共會遇到n顆麥穗（假設(shè)n顆麥穗的大小均不相同），最大的那顆麥穗出現(xiàn)在各個位置上的概率相等.為了使他能在這些麥穗中摘到那顆最大的麥橞，現(xiàn)有如下策略：不摘前k（1≤klt;n）顆麥穗，自第k+1顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的麥穗都大的，就摘這顆麥穗，否則就摘最后一顆.設(shè)k=tn，該學(xué)生摘到那顆最大的麥穗的概率為P.取knn-1j=k1j=knlnnk

（1）若n=4，k=2，求P.

（2）若n取無窮大，從理論的角度，求P的最大值及P取最大值時t的值.

解析：（1）當(dāng)n=4，k=2時，這4顆麥穗的位置從第1顆到第4顆排序，有A44=24種情況.

要摘到那顆最大的麥穗，有以下兩種情況.

①最大的麥穗是第3顆，其他的麥穗隨意在哪個位置，有A33=6種情況.

②最大的麥穗是最后1顆，第二大的麥穗是第1顆或第2顆，其他的麥穗隨意在哪個位置，有2A22=4種情況.

故所求概率為P=6+424=512.

（2）記事件A表示最大的麥穗被摘到，事件Bj表示最大的麥穗在麥穗中排在第j顆.

因最大的那顆麥穗出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，故P（Bj）=1n，以給定所在位置的序號作為條件.

由全概率公式知P（A）=nj=1P（A|Bj）P（Bj）=1nnj=1P（A|Bj）.

當(dāng)1≤j≤k時，最大的麥穗在前k顆麥穗之中，不會被摘到，此時P（A|Bj）=0.

當(dāng)k+1≤j≤n時，最大的麥穗被摘到，當(dāng)且僅當(dāng)前j-1顆麥穗中的最大的一顆在前k顆麥穗中時，此時P（A|Bj）=kj-1.

所以P（A）=1nnj=1P（A|Bj）=1nnj=k+1kj-1=knn-1j=k1j=knlnnk.

令函數(shù)g（x）=xnlnnx（xgt;0），則g′（x）=1n·lnnx-1n，令g′（x）=0，解得x=ne.

則當(dāng)x∈0，ne時，g′（x）gt;0；當(dāng)x∈ne，n時，g′（x）lt;0.

所以函數(shù)g（x）在0，ne上單調(diào)遞增，在ne，n上單調(diào)遞減.

故g（x）max=gne=1e，所以當(dāng)k=ne時，P（A）=knlnnk取得最大值，最大值為1e，此時t=1e，即P的最大值為1e，此時t的值為1e.

點評：該熱點問題以實際應(yīng)用場景來創(chuàng)設(shè)，巧妙融入古典概型、概率計算、條件概率、全概率公式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等，是新高考命題中一大熱點問題，有效考查概率統(tǒng)計中的基礎(chǔ)知識，以及解決問題的基本思想與技巧，實現(xiàn)不同知識模塊之間的交匯與融合.