2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)創(chuàng)新性試題賞析

摘" 要：2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷強(qiáng)化了對(duì)思維過(guò)程和思維能力的考查，突出了對(duì)考生創(chuàng)新能力的考查.本文從知識(shí)的交匯新、問(wèn)題的情境新、試題的設(shè)問(wèn)新、概念的定義新等角度，對(duì)這套試題中一些創(chuàng)新性試題做了分析與探究.

關(guān)鍵詞：九省聯(lián)考；創(chuàng)新性試題；賞析

基金項(xiàng)目：內(nèi)江師范學(xué)院校級(jí)項(xiàng)目“基于專業(yè)認(rèn)證理念的數(shù)學(xué)應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式改革與實(shí)踐”（項(xiàng)目編號(hào)：GJPY2315）；四川省教育科研資助金項(xiàng)目重點(diǎn)課題（項(xiàng)目編號(hào)：SCJG20A049）；四川省高校人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地四川中小學(xué)教師專業(yè)發(fā)展研究中心科研項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：PDTR2023-14）；內(nèi)江師范學(xué)院橫向科研項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：HXL-23088、HXL-22074）.

2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（以下簡(jiǎn)稱“試卷”）強(qiáng)化對(duì)思維過(guò)程和思維能力的考查，特別突出對(duì)考生創(chuàng)新能力的考查，出現(xiàn)了一些立意高遠(yuǎn)、背景深刻、富含數(shù)學(xué)素養(yǎng)的創(chuàng)新性試題.高考對(duì)創(chuàng)新能力的考查要求創(chuàng)設(shè)合理情境，創(chuàng)新設(shè)問(wèn)方式，設(shè)置數(shù)學(xué)新定義.［1］試卷在試題結(jié)構(gòu)、排序、情境、問(wèn)題、分值、解法等多方面都體現(xiàn)了創(chuàng)新，本文從知識(shí)的交匯新、問(wèn)題的情境新、試題的設(shè)問(wèn)新、概念的定義新等角度，對(duì)這套試題中一些創(chuàng)新性試題做了分析與探究.為簡(jiǎn)便，以下用Tr表示該試卷第r題.

1" 知識(shí)的交匯新

知識(shí)的交匯新是指站在學(xué)科高度從多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的交匯處進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)問(wèn)，既期望覆蓋比較多的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，又意在考查數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合性、方法應(yīng)用的靈活性.

T6：已知Q為直線l：x+2y+1=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足QP=（1，-3），記P的軌跡為E，則（" ）.

A. E是一個(gè)半徑為5的圓

B. E是一條與l相交的直線

C. E上的點(diǎn)到l的距離均為5

D. E是兩條平行直線

賞析：該題以向量、軌跡、直線與直線的位置關(guān)系、圓以及點(diǎn)到直線的距離公式等多種基礎(chǔ)知識(shí)綜合交匯而成，題目設(shè)計(jì)非常有創(chuàng)意.

由題意可設(shè)P（x，y），由QP=（1，-3），則Q（x-1，y+3）.再由Q在直線l：x+2y+1=0上，可得x+2y+6=0，即P的軌跡E為直線且與直線l平行，E上的點(diǎn)到l的距離d=|6-1|12+22=5.故選C.

2" 問(wèn)題的情境新

問(wèn)題的情境新是指問(wèn)題的情境具有新穎性、綜合性和探究性等特點(diǎn).問(wèn)題情境分為生活情境和學(xué)習(xí)情境.這類問(wèn)題情境新穎的試題意在考查學(xué)生的閱讀理解能力、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)探究等綜合能力素養(yǎng).

T11：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f12≠0，若f（x+y）+f（x）f（y）=4xy，則（" ）.

A. f-12=0

B. f12=-2

C. 函數(shù)fx-12是偶函數(shù)

D. 函數(shù)fx+12是減函數(shù)

賞析：該題是以抽象函數(shù)方程為背景，函數(shù)形式對(duì)稱優(yōu)美，解題方法靈活多樣，避開了程式化設(shè)計(jì)函數(shù)方程的老套路.函數(shù)方程問(wèn)題的求解一般采用賦值法，靈活巧妙地“賦值”是解題的關(guān)鍵.

令x=0，y=12，則f12+f12f（0）=f12［1+f（0）］=0.又f12≠0，所以f（0）=-1.

對(duì)于A選項(xiàng)，令x=12，y=-12，則f（0）+f-12f12=-1，所以f-12f12=0.

又f12≠0，所以f-12=0.故A正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，取x=-12，y=1，則f12+f-12f（1）=-2.故B正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，fx-12+f（x）f-12=-2x.即fx-12=-2x，所以fx-12是奇函數(shù).故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D選項(xiàng)，fx+12=fx+1-12=-2（x+1）.故是減函數(shù).故選ABD.

T16：盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球.

（1）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率.

（2）記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

賞析：該題是以常模中的摸球游戲?yàn)楸尘?，題干簡(jiǎn)明，情境新穎，本題的情境是有重復(fù)元素的組合問(wèn)題，有意避開了“無(wú)重復(fù)元素排列組合”的套路.

解：（1）“取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則P（A）=C34·C12·C12·C12C38=47.

（2）由題意X所有可能的取值為1，2，3.

則P（X=1）=C26C12+C16C22C38=914，P（X=2）=C24C12+C14C22C38=27，P（X=3）=C22C12C38+C12C22C38=114.

所以隨機(jī)變量X的概率分布如下.

X123

P91427114

故X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=1×914+2×27+3×114=107.

3" 試題的設(shè)問(wèn)新

試題的設(shè)問(wèn)新是指設(shè)問(wèn)方式新穎、簡(jiǎn)潔，并富有探究性.設(shè)計(jì)此類問(wèn)題，可以激發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決的探究欲.

T14：以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù)，設(shè)0lt;alt;blt;clt;1，已知b≥2a或a+b≤1，則max{b-a，c-b，1-c}的最小值為""" .

賞析：該題是一道結(jié)合不等式考查一個(gè)嶄新的非初等函數(shù)的最值問(wèn)題，是一道考查學(xué)生“四能”的優(yōu)秀創(chuàng)新題目.本題以不等式為問(wèn)題背景，考查學(xué)生是否能夠理解題目給定的數(shù)學(xué)概念的深層含義，能否多角度把握解題方法和途徑，如果理解了題目給定的數(shù)學(xué)概念，那么自然而然可以想到利用數(shù)軸對(duì)題目進(jìn)行分析.從而理解三個(gè)數(shù)表示的幾何意義，最后得出取最值時(shí)的三個(gè)數(shù)相等，得出最值，這道題計(jì)算量不大，但需要學(xué)生對(duì)題目本身進(jìn)行深度思考.

解法1：設(shè)T=max{b-a，c-b，1-c}，則有T≥b-a且T≥c-b且T≥1-c.

所以T≥b-a且2T≥1-b，下面根據(jù)兩個(gè)不等式分兩種情況進(jìn)行討論.

①b≥2a時(shí)，也就是b-2a≥0時(shí)，則4T≥2（b-a）+1-b=1+b-2a≥1，解得T≥14，當(dāng)且僅當(dāng)b-2a=0，且b-a=14，即a=14，b=12，c=34時(shí)符合取等條件.

②a+b≤1時(shí)，則5T≥b-a+2（1-b）=2-（a+b）≥1，此時(shí)解得T≥15.當(dāng)且僅當(dāng)b-a=15，1-b=25，即a=25，b=35，c=45時(shí)符合取等條件.

最后綜合①②，所求最小值為15.

解法2：利用“輪換對(duì)稱”思想來(lái)解決，如圖1所示求解圖中b-a，c-b，1-c的線段的最小值.

圖1

為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，設(shè)λ1=b-a，λ2=c-b，λ3=1-c，λ0=a.易知λ1，λ2，λ3是輪換對(duì)稱的，那么可以假設(shè)λ1≥λ2≥λ3，則3λ1≥λ1+λ2+λ3，又因?yàn)棣?+λ2+λ3=1-a，所以3λ1≥1-a，因此3λ1≥1-λ0.

①當(dāng)b≥2a時(shí)，即b-a≥a，也就是λ1≥λ0.又3λ1≥1-λ0，則不等式兩端左右相加整理得到4λ1≥1，則λ1≥14.λ1=14時(shí)，3λ1≥1-λ0取等時(shí)，此時(shí)λ0=λ1=λ2=λ3=14.

②當(dāng)a+b≤1時(shí)，即λ0+λ0+λ1≤1，則2λ0≤1-λ1，即1-λ1≥2λ0.又因?yàn)?λ1≥1-λ0，則6λ1≥2-2λ0，故1-λ1≥2λ0與6λ1≥2-2λ0兩個(gè)不等式，左右兩邊相加消去λ0，得到5λ1≥1，即λ1≥15.λ1=15時(shí)，不等式3λ1≥1-λ0取等時(shí)，此時(shí)λ0=25，λ1=λ2=λ3=15.

綜合①②，所求最小值為15.

4" 概念的定義新

概念的定義新是指題目中給出了一個(gè)學(xué)生之前沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)的新定義（包括新概念、新符號(hào)、新運(yùn)算、新公式等）作為情境，設(shè)計(jì)一系列問(wèn)題，以考查學(xué)生的自學(xué)能力、對(duì)新知識(shí)的理解和遷移能力、對(duì)新問(wèn)題的探究和創(chuàng)新能力等學(xué)科核心素養(yǎng).

T19：離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)p是素?cái)?shù)，集合X={1，2，…，p-1}，若u，v∈X，m∈N，記uv為uv除以p的余數(shù)，um，為um除以p的余數(shù)；設(shè)a∈X，1，a，a2，，…，ap-a，兩兩不同，若an，=b（n∈{0，1，…，p-2}），則稱n是以a為底b的離散對(duì)數(shù)，記為n=log（p）ab.

（1）若p=11，a=2，求ap-1，.

（2）對(duì)m1，m2∈{0，1，…，p-2}，記m1m2為m1+m2除以p-1的余數(shù)（當(dāng)m1+m2能被p-1整除時(shí)，m1m2=0）.證明：log（p）a（bc）=log（p）ablog（p）ac，其中b，c∈X.

（3）已知n=log（p）ab.對(duì)x∈X，k∈{1，2，…，p-2}，令y1=ak，，y2=xbk，.證明：x=y2yn（p-2），1.

賞析：該題是以密碼學(xué)基本理論和初等數(shù)論中的費(fèi)馬小定理為情境，以“離散對(duì)數(shù)”的新定義為載體來(lái)設(shè)問(wèn)，考查學(xué)生指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)創(chuàng)新等核心素養(yǎng).本題涉及的同余的概念是數(shù)學(xué)文化中的“中國(guó)剩余定理”，這是小學(xué)所學(xué)習(xí)過(guò)的余數(shù)概念的相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生感到既熟悉又陌生.

解：（1）p=11，a=2時(shí)，210=1024=93×11+1，所以ap-1=210.=1.

（2）記n=log（p）a（bc），n1=log（p）ab，n2=log（p）ac.

則有m1，m2∈N使得an1=pm1+b，an2=pm2+c，所以an1+n2=p2m1m2+p（m1c+m2b）+bc≡bc（mod p）.

又根據(jù)n的定義，an≡bc（mod p）≡bc（mod p），所以an≡an1+n2（mod p）.

因?yàn)?，a，a2，，…，ap-2，兩兩不同，并且根據(jù)費(fèi)馬小定理，即當(dāng)k，r∈N時(shí)，有ak（p-1）+r≡ar（mod p）.

而n，n1，n2或n=（n1+n2）+p-1，在兩種情況下都有n=n1n2.

因此log（p）a（bc）=log（p）ablog（p）ac.

（3）因?yàn)閚=log（p）ab，所以an≡b（mod p）.另一方面，y2yn（p-2），1≡y2yn（p-2），1≡（xbk，）·（ak，）n（p-2）≡（xbk）akn（p-2）≡（xbk）bk（p-2）≡xbk（p-1）≡x（mod p）.

由于x∈X，所以x=y2yn（p-2），1.

評(píng)注：本題作為壓軸題，創(chuàng)造性地考查了學(xué)生的自組織學(xué)習(xí)能力［2］、信息提煉和整合能力、知識(shí)遷移能力以及創(chuàng)新思維能力等核心素養(yǎng).［3］

參考文獻(xiàn)

［1］教育部考試中心.中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］趙思林，高崢，熊露.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵探究［J］.內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2020，35（6）：12-17.

［3］尤娜，汪洋，趙思林.2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷創(chuàng)新型試題賞析［J］.教育科學(xué)論壇，2022（35）：16-19.