數(shù)學教學思維導向下“橢圓的標準方程”教學設(shè)計研究

摘" 要：本文結(jié)合數(shù)學學科特點和高中數(shù)學教學實際，將數(shù)學教學思維導向理念融入高中數(shù)學教學中，并以“橢圓的標準方程”一課為例，探討思維導向下的高中數(shù)學教學設(shè)計，以實現(xiàn)對學生數(shù)學思維過程的導向、數(shù)學探究活動的啟發(fā)，引領(lǐng)學生重走數(shù)學發(fā)現(xiàn)之路.

關(guān)鍵詞：思維導向；橢圓的標準方程；教學設(shè)計

基金項目：2023年貴州省高等學校教學內(nèi)容和課程體系改革項目——課程思政視域下《數(shù)學史與數(shù)學文化》教學內(nèi)容與教學方法改革研究.

教師是學生數(shù)學學習的組織者、引導者與合作者，數(shù)學學習過程中，教師對學生的數(shù)學思維發(fā)展起著啟發(fā)、引領(lǐng)和導向的作用.結(jié)合數(shù)學學科特點和高中數(shù)學教學實際，教師應(yīng)在數(shù)學教學中重視對學生的思維導向，促使學生深刻感悟數(shù)學家探索與發(fā)現(xiàn)問題的歷程，學會用數(shù)學思維去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，引領(lǐng)學生重走數(shù)學發(fā)現(xiàn)之路.

1" 數(shù)學教學思維導向概述

數(shù)學教學思維導向的基本內(nèi)涵是數(shù)學教師在數(shù)學教學中，以數(shù)學知識為載體，通過對學生的數(shù)學思維活動的啟發(fā)和引導，發(fā)展學生的數(shù)學思維能力和一般思維能力，養(yǎng)成科學思維的習慣，形成初步的數(shù)學研究能力和科學研究能力.思維導向意義下的數(shù)學教學，具有情境設(shè)計的指向性、教學過程的探究性、教學語言的啟發(fā)性和教學內(nèi)容的思想性等基本特征.

數(shù)學教學思維導向要求教師對學生進行啟發(fā)，主要是從思維方式、思想方法等方面進行引領(lǐng)和導向.其基本方式是通過教師對數(shù)學教學內(nèi)容進行教學法加工和方法論重建，利用數(shù)學教學的啟發(fā)性提示語對學生的數(shù)學思維活動進行啟發(fā)和引導.

在數(shù)學教學思維導向過程中，數(shù)學教師應(yīng)堅持問題驅(qū)動、分層提示、方法滲透、回顧反思等思維導向原則，并通過展現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)展歷程、揭示數(shù)學概念本質(zhì)、暴露數(shù)學活動的思維過程、構(gòu)建數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)框圖等思維導向策略，實現(xiàn)對學生數(shù)學思維過程和數(shù)學探究活動的啟發(fā)和引導，引領(lǐng)學生重走數(shù)學的發(fā)現(xiàn)之路，經(jīng)歷數(shù)學家在提出數(shù)學問題、發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論中的數(shù)學思維和科學思維的“關(guān)鍵性步子”.［1］

思維導向的理念滲入了高中數(shù)學教學的各個環(huán)節(jié)，為抓準數(shù)學課堂教學的關(guān)鍵節(jié)點，促進師生深入了解數(shù)學問題的本質(zhì)，實現(xiàn)數(shù)學思維的發(fā)展提供了理論指引.高中數(shù)學教學離不開思維導向理念的引領(lǐng)，否則數(shù)學的課堂將變得毫無生機，無法有效提升數(shù)學思維的廣度、深度與靈活度.數(shù)學教學思維導向理念實質(zhì)地滲入到高中數(shù)學教學中，潛移默化地指引學生在探究、發(fā)現(xiàn)、試錯、糾偏等數(shù)學思維過程中逐步走向更廣闊、更深遠的數(shù)學世界.

2" 數(shù)學教學思維導向理論對“橢圓的標準方程”的教學啟示

基于以上對數(shù)學教學思維導向理念的介紹，結(jié)合人教A版《普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第一冊》中“橢圓的標準方程”一課的實際情況，分析數(shù)學教學思維導向?qū)@節(jié)課的啟示.

2.1" 教學重難點的確定

數(shù)學教學思維導向注重對學生數(shù)學思維的啟發(fā)和引領(lǐng)，指向未來的數(shù)學學習.“橢圓的標準方程”一課，是在已有學習的基礎(chǔ)上，進一步學習曲線方程的建立、推導和化解的過程，為后續(xù)拋物線、雙曲線的學習打下基礎(chǔ).從這個意義出發(fā)，可以確定出本節(jié)課的其中一個教學重點是通過“橢圓的標準方程”的學習，掌握求曲線方程的一般步驟，即建系、設(shè)點、列出限制條件（根據(jù)定義列出曲線上任意一點需要滿足的條件）、代入特殊點的坐標、化解得到標準方程，所以有的老師把這五個步驟形象地簡稱為“建、設(shè)、限（現(xiàn)）、代、化”.

此外，“橢圓的標準方程”一課中“橢圓定義”是首次出現(xiàn)，“橢圓定義”的生成也是本節(jié)課的一個教學重點.至于本節(jié)課的教學難點，則是橢圓標準方程的推導.

2.2" 數(shù)學思想方法的挖掘

數(shù)學教學思維導向注重從思維方式、思想方法等方面對學生的數(shù)學思維進行引領(lǐng)和導向，因此，分析和挖掘一節(jié)課中蘊含的數(shù)學思想與方法就顯得至關(guān)重要了.

就“橢圓的標準方程”一課，首先可以從畫圓的方法（將一根沒有彈性的細線對折，用一支粉筆套在上面畫圓）出發(fā)，類比這個方法，提問學生“如果細線的兩端不重合，而是分開，畫出來的圖形可能是什么”，由此可以引出橢圓的定義.這里應(yīng)用的就是類比思想.同時這樣的引入也符合思維導向理論中的“通過類比、關(guān)聯(lián)舊知、引出新知”理念.通過這個問題，可以引導學生發(fā)現(xiàn)舊知與新知的聯(lián)系，該問題的提出是具有方法論意義的.

在給橢圓下定義（到兩定點的距離之和等于定長）之后，為推導出橢圓的標準方程，首先要將橢圓的這個定義從文字語言翻譯成符號語言，即|MF1|+|MF2|=2a（2agt;|F1F2|），這里蘊含著抽象命題具體化、文字語言符號化等思想和方法.

在橢圓方程的推導過程中，從（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a出發(fā)，通過移項—平方—化簡—再平方—整理，得到（a2-c2）x2+a2y2=a2·（a2-c2），再兩邊同時除以a2（a2-c2）得到x2a2+y2a2-c2=1.

圖1

接下來，令b2=a2-c2，得到x2a2+y2b2=1.這里的令b2=a2-c2，不是隨意為之，一方面是因為這里的b有實際意義，它是以a為斜邊、c為直角邊的直角三角形的另一直角邊（如圖1）.

另一方面，這樣操作以后，橢圓方程變得更加簡潔、對稱，符合數(shù)學的簡潔美、對稱美的原則.更進一步說，橢圓方程最終化成標準方程（x2a2+y2b2=1）的形式，實際上也為下一步學習參數(shù)方程做好了準備，下一步只需要令xa=cos θ，yb=sin θ即可，這又進一步說明橢圓的標準方程與同角的正弦、余弦的平方和為1，甚至與勾股定理等知識的聯(lián)系.這種深挖知識間的聯(lián)系，聯(lián)系舊知，導向新知，指向?qū)W生未來發(fā)展的理念，是數(shù)學教學思維導向所倡導的重要理念之一.

3" 數(shù)學教學思維導向下“橢圓的標準方程”教學路徑設(shè)計

教學路徑，又稱為教學路線圖，是指將一節(jié)課的主要環(huán)節(jié)、基本過程、主要內(nèi)容以及師生的主要活動等，用一張圖的形式畫出來.教學路徑的勾勒，有利于教師根據(jù)一節(jié)課的主要環(huán)節(jié)，快速地設(shè)計出一節(jié)課的大致路線，剩下的只需要耐心和進一步細化、完善每一個教學環(huán)節(jié)即可.

基于數(shù)學教學思維導向的理論，在第二部分對“橢圓的標準方程”一課做了較為詳細的分析.根據(jù)本節(jié)課的主體內(nèi)容，結(jié)合以上論述，畫出“橢圓的標準方程”一課的教學路線圖（如圖2）.

章頭教學，追根溯源，究其形狀，幾何畫板動態(tài)演示

類比：（探究活動）從畫圓→畫橢圓，類比圓的定義歸納橢圓的定義

抽象表達，概念剖析

建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，明確橢圓的幾何條件|MF1|+|MF2|=2a

列表達式，化簡美化，平方→整理→再平方→整理→同除a2（a2-c2）→令b2=a2-c2

得橢圓標準方程x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）

類比推理，完善方程

知識應(yīng)用，解決問題

課堂小結(jié)，作業(yè)布置

圖2

4" 基于數(shù)學教學思維導向的橢圓標準方程推導的其他方法探究

根據(jù)以上聯(lián)系舊知、導向新知等數(shù)學教學思維導向理念，還可以得出橢圓標準方程的其他推導方法.

4.1" 利用等差數(shù)列的知識化簡方程

在明確橢圓的幾何條件，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼岛?，得到如下表達式（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a.此時，如果把（x-c）2+y2、a、（x+c）2+y2看作一個等差數(shù)列，并設(shè)其公差為d，則可得到（x-c）2+y2=a-d，

（x+c）2+y2=a+d，將兩式分別平方后作差，可得到4cx=4ad，即d=cxa，將其代入其中任意一個式子進一步化簡可得到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），后續(xù)推導步驟與上述討論一致.這里得到d=cxa后，即得到a-cxa（a-ex）、a+cxa·（a+ex），這就是所謂的焦半徑公式.

4.2" 利用二次曲線的一般方程進行推導

根據(jù)前面所學，圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，這個方程實際上來源于二次曲線的一般方程（Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0）.在推導出橢圓的標準方程x2a2+y2b2=1以后，通過向?qū)W生介紹二次曲線的一般方程，并讓學生對比觀察后發(fā)現(xiàn)，可在二次曲線的一般方程中，令C、D、E等于0，而A、B、F不等于0.因此，只需求出Ax2+By2+F=0中的A、B、F，即得到橢圓的方程.因為橢圓與坐標軸的交點為（0，a2-c2）、（0，-a2-c2）、（a，0）、（-a，0），將其代入Ax2+By2+F=0，有" B（a2-c2）+F=0，

Aa2+F=0，即A=-Fa2，

B=-Fa2-c2，

有-Fa2x2+

-Fa2-c2y2+F=0.又F≠0，即x2a2+y2a2-c2=1，再令b2=a2-c2，同樣可得到焦點在x軸上的橢圓的標準方程x2a2+y2b2=1.［2］這種推導方法，是讓學生通過比較二次曲線的一般方程和橢圓的標準方程后，重新用新的方法推導橢圓的標準方程.從數(shù)學思想方法的角度看，這是待定系數(shù)法的成功運用.這樣的教學，指向未來的數(shù)學學習，有利于學生掌握知識之間的聯(lián)系，促進學生知識的系統(tǒng)化和思維的靈活化.

教育是慢的藝術(shù)，學生數(shù)學思維的發(fā)展，需要教師的啟發(fā)和引導.學習者往往是摸著石頭過河，不斷試誤，逐步成功.數(shù)學教學思維導向的理念，要求數(shù)學教師對學生從思維方式、思想方法等方面進行引領(lǐng)和導向.以上關(guān)于“橢圓的標準方程”一課的相關(guān)問題的討論，以及理論思考后的教學實踐，再一次證明了數(shù)學教學思維導向的理論在教學實踐中具有較好的指導意義.

參考文獻

［1］楊孝斌.數(shù)學教學思維導向的研究［M］.成都：四川大學出版社，2010.

［2］盧連偉.“橢圓的標準方程”教學設(shè)計［J］.高中數(shù)學教與學，2021（8）：29－31.