優(yōu)化任務(wù)群設(shè)計：實現(xiàn)高中數(shù)學高效教學的途徑

摘 要：采用任務(wù)和問題結(jié)合的任務(wù)群教學更能體現(xiàn)學生的主體地位，對比高中數(shù)學兩節(jié)課的實踐案例發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學課堂中開展任務(wù)群教學時，設(shè)計的任務(wù)應(yīng)具有針對性與梯度性，設(shè)計的問題數(shù)量不宜過多，要關(guān)注學生思維銜接是否自然。

關(guān)鍵詞：任務(wù)群；高效課堂；自然；高中數(shù)學

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）32-0128-05

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，在教學活動中，應(yīng)結(jié)合教學任務(wù)及其蘊含的數(shù)學學科核心素養(yǎng)設(shè)計合適的情境和問題，引導(dǎo)學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使用恰當?shù)臄?shù)學語言描述問題，用數(shù)學思想和方法解決問題；在問題解決的有效互動中，理解數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展［1］。數(shù)學是一門系統(tǒng)性、綜合性和抽象性都很強的學科，也是很多學生不感興趣甚至恐懼的學科，目前數(shù)學課堂普遍采用任務(wù)驅(qū)動和問題教學的形式調(diào)動學生的積極性，給予學生一定的思考空間，因為明確的學習任務(wù)可以幫助學生更好地理解學習內(nèi)容，合理的任務(wù)分類符合學生的認知特點，能讓學生更好地構(gòu)建整體知識體系與嚴謹?shù)臄?shù)學思維。但是當前的高中數(shù)學課堂中的任務(wù)和問題依然存在著機械重復(fù)和帶給學生壓迫感等現(xiàn)象，體現(xiàn)在學生按教師預(yù)設(shè)好的流程按部就班地學習，任務(wù)機械重復(fù)，問題缺乏思辨性，課堂過渡不流暢，思維生成不自然。因此，教師有必要不斷優(yōu)化任務(wù)群設(shè)計，力求實現(xiàn)以學生為本，讓學生在課堂上更好地把握數(shù)學本質(zhì)，提升思維能力和學科素養(yǎng)，真正為學生的可持續(xù)發(fā)展創(chuàng)造條件，從而打造出更加高效的高中數(shù)學課堂。

一、高效課堂教學形式介紹

高效課堂包括“高效果”“高效率”和“高效益”?！案咝Ч敝傅氖峭ㄟ^課堂學習，學生掌握知識的同時提高獲取知識的能力，較好地完成預(yù)定的教學目標。“高效率”指的是在有限的時間內(nèi)生成更多的思想碰撞和交流互動，從而實現(xiàn)提高課堂效率的目標?！案咝б妗敝傅氖歉娴貙崿F(xiàn)情感價值與育人價值。

如何讓高效課堂的教學形式更符合數(shù)學學科學習特點呢？首先要明確數(shù)學是什么。數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學語言和有效工具。伽利略認為，自然這本書是用數(shù)學語言寫成的，對大自然及社會關(guān)系的感受是我們生存于這個世界上的最初經(jīng)驗，它比一切思想、觀點都更直接地被我們感知到。設(shè)法使知識游弋在現(xiàn)實生活的河流中，取材于自然［2］。思維碰撞于自然，知識生成于自然，建構(gòu)體驗于自然，互動展示于自然，便能更好地收獲數(shù)學思想與創(chuàng)新思維。因此，高中數(shù)學高效課堂教學形式首先要遵循思維循序漸進的原則，讓任務(wù)和問題在自然中展開，以學生為本，讓學生在課堂上能獲得發(fā)展，進而實現(xiàn)持續(xù)性學習；然后輔以有針對性和遞進性的任務(wù)和問題；最后搭建平臺實現(xiàn)交流、互動、評價。按這一思路，高中數(shù)學高效課堂的任務(wù)和問題設(shè)計可按如下頁圖1所示框架進行。

二、基于任務(wù)群的高中數(shù)學教學實例對比

“平面與平面垂直”是人教版普通高中數(shù)學教材必修第二冊第八章8.6.3的內(nèi)容，它是立體幾何中點、線、面的位置關(guān)系的最后一節(jié)內(nèi)容。在此之前，學生已經(jīng)學習了直線與直線、直線與平面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理，也學習了平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，能夠運用相關(guān)定理對直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，平面與平面平行的判定和性質(zhì)進行思考與論證。學習“平面與平面垂直”這一節(jié)內(nèi)容時，可以讓學生鞏固探索幾何圖形及其性質(zhì)的主要方法：直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算、實踐創(chuàng)新等，又可以啟發(fā)學生不斷深入挖掘用數(shù)學知識解決實際問題的方法，因而可以選擇這一內(nèi)容的教學實例進行對比研究，探索優(yōu)化任務(wù)群設(shè)計的途徑。

根據(jù)學生的學習特點和學習基礎(chǔ)，這節(jié)內(nèi)容擬用兩個課時進行教學，此次對比研究主要聚焦第一課時。學生素質(zhì)較高、基本功好，具有較強的數(shù)學知識學習能力和探究能力。教學時從復(fù)習引入，引導(dǎo)學生構(gòu)建研究空間位置關(guān)系的方法體系；自然引出若要研究平面與平面垂直需要先定義二面角；自然生成度量二面角大小需要借助空間問題平面化的思想方法找尋平面角，在平面角的定義辨析中不斷完善學生的思維。當學生能夠運用定義的辦法判定平面與平面垂直后，教師利用生活實例激發(fā)學生的認知沖突，引出猜想，并指導(dǎo)學生完成判定定理的證明。至此，學生學會用兩種不同方法判定平面與平面垂直，在比較中學會選擇更優(yōu)的方法，進而實現(xiàn)創(chuàng)新地運用數(shù)學方法解決實際問題。

（一）案例一：圍繞“教師創(chuàng)建數(shù)學實驗”設(shè)計任務(wù)群

問題1：本節(jié)課，我們還會學到哪些點、線、面位置關(guān)系？

問題2：我們首先應(yīng)給出平面與平面垂直的定義，那么，該如何定義呢？回顧直線與平面垂直的定義。

問題3：初中所學的幾何平面中，直線與直線垂直的定義是什么？

問題4：在生活中，你能找到哪些二面角圖形？

問題5：我們常說“把門開大一些”，是指哪個角大一些？

任務(wù)一：折紙實驗。分別對折矩形、菱形和等腰直角三角形紙，并在紙中作出能度量二面角大小的角，給這個角的頂點和兩邊標上字母。

問題6：你所作的直線與棱是什么位置關(guān)系，所成角多大？

問題7：在二面角的棱上任取一點，從該點出發(fā)，分別在兩個半平面內(nèi)任作一條射線，可得一個平面角，這樣的平面角能用來刻畫二面角的大小嗎？為什么？

問題8：由此得到二面角平面角定義是什么？

問題9：如圖2，∠AOB的大小與點O在棱l上的位置有關(guān)嗎？為什么？

問題10：（學以致用）如圖3，在正方體里面找二面角的平面角。

二面角A-BC-A1的平面角是________，大小為________。

二面角 " " 的平面角是________" " ，大小為 90° 。

問題11：生活中，建筑工人如何判斷墻面與地面垂直？

問題12：如果系有鉛錘的細線緊貼墻面，就認為墻面垂直于地面。相當于墻面經(jīng)過了地面的垂線。于是我們得到了如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直，這就是平面與平面垂直判定定理。怎樣用符號語言書寫出來呢？

問題13：如何證明兩個平面互相垂直判定定理？

任務(wù)二：完成例1與變式。

例1（人教版普通高中數(shù)學教材必修第二冊第158頁例8）如圖4，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任意一點，求證：平面PAC⊥平面PBC。

問題14：例1的圖形中共有多少對相互垂直的平面？分別是哪些？請寫出來。

問題15：兩個相互垂直的平面，一個面上的所有線都和另一個平面垂直嗎？

任務(wù)三：完成例2。

例2 折紙實驗中等腰△假設(shè)為△PAC，沿底邊的高PD對折成直二面角C-PD-A，過C作CB∥AD，使CB=AD，連AB，PB，構(gòu)成四棱錐P-ABCD，點E在棱PB上。求證：平面AEC⊥平面PDB。

在案例一中，教師千方百計地精心設(shè)計問題與任務(wù)，導(dǎo)致學生在看似完美的“梯子”的引導(dǎo)下，思維一直被教師帶著走，學生機械地回答問題，削弱了他們的思維能力。教學環(huán)節(jié)過渡不流暢，知識生成不自然，問題的數(shù)量很多，導(dǎo)致課堂不夠從容。故在磨課中，結(jié)合聽課教師的意見，重新梳理本節(jié)課，優(yōu)化任務(wù)和問題設(shè)計后得到案例二。

（二）案例二：圍繞“思維連貫自然”設(shè)計任務(wù)群

問題1：生活中你能找到哪些二面角圖形？

問題2：我們常說“把門開大一些”，是指哪個角大一些？

任務(wù)一：請同學們在圖7中作出能度量二面角大小的角，并給這個角的頂點和兩邊標上字母。

問題3：當圖7演變成三角形后，三角形的邊組成的平面角能用來刻畫二面角的大小嗎？為什么？

問題4：過棱上一點O，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線形成的角度是唯一確定的嗎？為什么？

問題5：由此得到二面角的平面角定義后，如圖8，∠AOB的大小與點O在棱l上的位置有關(guān)嗎？為什么？

問題6：學以致用，如圖9，在正方體里面找二面角的平面角：

二面角A-BC-A1的平面角是________，大小為________；

二面角 " " 的平面角是________，大小為________；

二面角 " " 的平面角是________，大小為________。

二面角的平面角是90°的我們稱為平面與平面垂直，但是只用這樣的辦法來判斷垂直有一定的局限性。請大家仔細回憶一下，生活中建筑工人如何判斷所砌的墻面與地面是否垂直。

問題7：如果系有鉛錘的細線緊貼墻面，就認為墻面垂直于地面。根據(jù)這一說法，大家有什么猜想？

任務(wù)二：請大家證明猜想。

學生活動：完成平面與平面垂直的判定定理證明。

任務(wù)三：完成習題。

例1（人教版普通高中數(shù)學教材必修第二冊第158頁例7）在正方體ABCD-A′B′C′D′中，求證：平面A′BD⊥ACC′A′平面。

例2（人教版普通高中數(shù)學教材必修第二冊第158頁例7改編）還存在由正方體頂點構(gòu)成的平面與平面ACC′A′相互垂直嗎？分別是哪些？

例2變式（人教版普通高中數(shù)學教材必修第二冊第158頁例7改編1）當點A′在平面A′B′C′D′內(nèi)運動時，平面A′BD與ACC′A′平面是否互相垂直？

例3（人教版普通高中數(shù)學教材必修第二冊第158頁例7改編2）小組討論，當點O是底面ABCD內(nèi)的動點，滿足平面A′AO⊥平面BOA′的點O是否唯一存在？

（三）案例對比與啟示

1.任務(wù)更有針對性，分類更合理

調(diào)整后的案例二中，任務(wù)分類更清晰。三個任務(wù)分別是作圖、證明、實踐應(yīng)用，分別發(fā)揮知識生成作用、建構(gòu)體驗作用和互動展示作用。任務(wù)層次鮮明，體現(xiàn)了直線與直線垂直是研究垂直關(guān)系的基礎(chǔ)。在案例二中，發(fā)揮建構(gòu)體驗作用的任務(wù)二是證明判定定理，充分體現(xiàn)了定理教學的三部曲：命題的發(fā)現(xiàn)—命題的證明—命題的應(yīng)用，三個環(huán)節(jié)缺一不可，給予學生充分發(fā)現(xiàn)的機會，旨在教會學生思考、再創(chuàng)造。所以案例二對比案例一增加了平面與平面垂直判定定理的猜想和證明，讓學生體會到像數(shù)學家一樣去思考問題。案例二中發(fā)揮互動展示作用的任務(wù)三題目緊扣教材，題目改編靈感均源于教材，再次體現(xiàn)深挖教材的意義。最后自然過渡到思考題，繼續(xù)研究三角錐體中其他側(cè)面構(gòu)成的二面角的大小，為下節(jié)課埋下伏筆。將折紙任務(wù)換成作圖任務(wù)，任務(wù)的針對性更強，幫助學生更好地突破本節(jié)課的難點——作二面角的平面角。案例二所花時間比案例一少了5分鐘，使得師生有一定的時間去總結(jié)反思。

2.思維活動循序漸進

要想在立體幾何教學中從直觀想象突破到發(fā)展數(shù)學抽象這一數(shù)學學科核心素養(yǎng)，根據(jù)任務(wù)設(shè)計針對性極強、循序漸進和有思辨性的問題鏈是途徑之一。案例一中的問題12、13是先歸納定理再給予嚴密證明的演繹推理，不符合定理發(fā)現(xiàn)的科學性。高中數(shù)學課堂的思維生成可以讓學生感受像數(shù)學家一樣思考問題，自然合理的定理學習策略應(yīng)是先猜想再證明。由此優(yōu)化得到案例二：案例二中的問題1與問題2起到知識引入和知識理解的作用，問題3至問題6起到了探究和建構(gòu)知識關(guān)聯(lián)的作用，問題7的提出是在思維碰撞中自然產(chǎn)生的，順勢引出任務(wù)二——證明猜想。任務(wù)二、任務(wù)三指向?qū)嵺`應(yīng)用，起到讓學生學以致用的目的。學生思維自然生成學習概念的合理性、必要性和適用性，有利于他們構(gòu)建邏輯嚴密、結(jié)構(gòu)完整的數(shù)學知識體系。由此可見，優(yōu)化問題和任務(wù)設(shè)計使得過渡自然、思維銜接順暢更易揭示數(shù)學本質(zhì)。

三、優(yōu)化任務(wù)群設(shè)計的策略

任務(wù)群引領(lǐng)下的課堂以探究為核心、以任務(wù)為驅(qū)動、以問題為導(dǎo)向，使得課堂上學生能主動探究和自主學習，從單維思維轉(zhuǎn)向多維關(guān)聯(lián)思維，滿足了使高中生數(shù)學思維更嚴謹?shù)男枨?，幫助學生更好地理解知識和掌握技能，提升他們思維水平的同時還可以培養(yǎng)他們獨立思考、合作交流、解決問題的能力，是一種實現(xiàn)高效課堂的教學方式。通過上述案例對比可以把優(yōu)化任務(wù)群設(shè)計歸納為遵循整體連貫性策略、針對遞進性策略、自然合理性策略。

（一）任務(wù)分類層次要清晰——整體連貫性策略

案例一的三個任務(wù)分別是折紙實驗和完成兩道例題，分類顯得太刻意不夠自然，學生完成任務(wù)的過程容易流于形式，不利于學生更好體會數(shù)學本質(zhì)、構(gòu)建整體知識體系。第二和第三個任務(wù)都是完成例題，任務(wù)的層次性不強，并且第三個任務(wù)雖然緊扣第一個任務(wù)折紙實驗去解決立體幾何的動點問題，但是解答這題需要同時用到平面與平面垂直的定義和判定定理，難度較大。調(diào)整后的任務(wù)分類層次清晰，整體連貫性更強，作圖、證明猜想和實踐這三個任務(wù)分別能承擔知識生成、建構(gòu)體驗和互動展示的作用。學生從零星任務(wù)走向分層任務(wù)，從碎片化知識走向整體連貫，對課堂所學知識的理解才能更透徹，構(gòu)建的數(shù)學知識體系才能更牢固。

（二）問題數(shù)量設(shè)置要合理——針對遞進性策略

問題鏈是基于數(shù)學的整體性，以一般觀念為統(tǒng)領(lǐng)，以研究一個數(shù)學對象的基本路徑——“概念（本質(zhì)）—性質(zhì)（關(guān)系、規(guī)律）—結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）—應(yīng)用”為線索，創(chuàng)設(shè)符合數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展規(guī)律和學生思維規(guī)律及認知特點的一連串問題。在教學活動中，教師應(yīng)結(jié)合教學任務(wù)及其蘊含的數(shù)學學科核心素養(yǎng)設(shè)計合適的情境和問題，引導(dǎo)學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使用恰當?shù)臄?shù)學語言描述問題，用數(shù)學思想和方法解決問題。在問題解決的有效互動中，理解數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展［3］。案例一共有15個問題，數(shù)量較多，導(dǎo)致課堂時間緊迫。問題1至問題5發(fā)揮回顧知識的作用，其實不用展示在課件上。問題8：二面角平面角定義是什么？容易讓學生不思考就機械地回答或者直接翻書念答案，這樣的問題思辨性不夠強，難以培養(yǎng)學生的思維能力和創(chuàng)新意識。

（三）思維銜接過渡要自然——自然合理性策略

教師在設(shè)計任務(wù)群引領(lǐng)下的高中數(shù)學課堂教學時，應(yīng)思考怎樣組織教學才能符合學生的認知規(guī)律和知識的自然遞進關(guān)聯(lián)。在案例一中，學生折紙并作出二面角的平面角后，教師沒有任何銜接直接提出問題7：在二面角的棱上任取一點，從該點出發(fā)，分別在兩個半平面內(nèi)任作一條射線，可得一個平面角，這樣的平面角能用來刻畫二面角的大小嗎？學生的思維被教師設(shè)計的問題帶著走，而不是在思考和疑問中生成。問題的提出應(yīng)讓學生體會思維碰撞于自然，所以優(yōu)化后的案例二問題2至問題5，學生直觀想象會取矩形的邊組成的平面角為二面角的平面角，教師設(shè)計問題3，將矩形演變成三角形后，思考能否仍用邊組成的平面角作為二面角的平面角，是問題2很自然的過渡，更貼近學生思維的最近發(fā)展區(qū)。問題4是在問題3的基礎(chǔ)上更進一步揭示二面角定義的本質(zhì)。問題3引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)不能隨意在兩個半平面選擇直線，是因為所成的角不確定。問題4進一步引導(dǎo)學生思考，發(fā)現(xiàn)在兩個半平面分別引棱的垂線得到的平面角是唯一確定的，并會借助所學定理——平面內(nèi)過直線外一點作直線的垂線是唯一確定的，確定想法是正確的。問題5引導(dǎo)學生繼續(xù)深入挖掘，這樣的平面角有無數(shù)個，利用等角定理就可以證明相等。問題鏈激發(fā)思維碰撞，直指二面角的平面角定義的本質(zhì)，學生掌握數(shù)學知識的同時也發(fā)展了創(chuàng)新意識。這種注重知識的來龍去脈、思維自然生成的教學，是概念教學的自然升華。

高中數(shù)學高效課堂中的任務(wù)群可按整體連貫性—遞進創(chuàng)新性—自然合理性策略進行優(yōu)化，這將使得任務(wù)貼近教學目標、分類清晰，通過認知沖突產(chǎn)生問題，將問題設(shè)置在直觀感知和數(shù)學本質(zhì)的結(jié)合處，增強問題的針對性、自然性、思辨性，從而更快地吸引學生的眼球，更易聚焦素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，更好達到通過概念生成掌握數(shù)學本質(zhì)的教學效果。

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］任方成.追求自然自由的數(shù)學教學［J］.數(shù)學通報，2004（11）：32-34.

［3］章建躍.《普通高中教科書·數(shù)學（人教A版）》“單元—課時教學設(shè)計”體例與要求［J］.中學數(shù)學教學參考，2019（22）：14-16.

注：本文系柳州市教育科學“十四五”規(guī)劃2024年度A類課題“‘三新’背景下高中數(shù)學資優(yōu)生多級培養(yǎng)模式構(gòu)建的研究”（2024A-04）的研究成果。

（責編 劉小瑗）