基于多元表征的“數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)策略探究*

【摘 要】數(shù)學(xué)表征是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行表達(dá)的過程。數(shù)學(xué)學(xué)科中的表征形式包括情境表征、圖像表征、語(yǔ)言表征、動(dòng)作表征、符號(hào)表征等。基于多元表征的小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)可以深化學(xué)生對(duì)數(shù)的理解，促進(jìn)他們逐步發(fā)展抽象思維。在具體教學(xué)中，教師可以通過優(yōu)化表征結(jié)構(gòu)、合理安排表征順序、促進(jìn)表征轉(zhuǎn)化等措施，幫助學(xué)生更好地開展學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；多元表征；數(shù)的認(rèn)識(shí)；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)概念

【中圖分類號(hào)】G623.5" 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A" 【文章編號(hào)】1005-6009（2024）37-0051-03

【作者簡(jiǎn)介】1.孔繁玲，青海省海北藏族自治州青石嘴鎮(zhèn)寄宿制小學(xué)（青海海北，810399）教師，二級(jí)教師；2.潘禹辰，南京師范大學(xué)（南京，210097）課程與教學(xué)研究所博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究。

在學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)概念時(shí)，不少學(xué)生會(huì)感到挑戰(zhàn)性較大。教師基于多元表征展開教學(xué)，能在一定程度上有效解決這種問題。下面，本文以“數(shù)的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)為例，來(lái)具體探討基于多元表征的數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略。

一、多元表征的含義

“表征”是指建立起一一對(duì)應(yīng)的認(rèn)知過程，也可以看作認(rèn)知對(duì)象的載體。數(shù)學(xué)表征是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行表達(dá)的過程，它外顯于多樣化的表征形式。早在20世紀(jì)，多元表征的概念就已經(jīng)被提出，即指用不同的方式對(duì)相同的知識(shí)進(jìn)行表征。數(shù)學(xué)學(xué)科中的表征形式具體包括情境表征、圖像表征、語(yǔ)言表征、動(dòng)作表征、符號(hào)表征等。情境表征是對(duì)指定對(duì)象在操作以及日常環(huán)境中事件之間關(guān)系的表征，即創(chuàng)設(shè)一個(gè)情境，喚醒學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)。圖像表征是指借助實(shí)物或運(yùn)用畫圖的方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象及其關(guān)系，以直觀地表達(dá)數(shù)學(xué)問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、推理意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。語(yǔ)言表征是指用口頭語(yǔ)言的形式來(lái)表征，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的呈現(xiàn)過程。動(dòng)作表征是指通過觀察、模仿、動(dòng)畫演示和實(shí)踐表達(dá)展示數(shù)學(xué)概念等，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)問題的感知，幫助他們理解復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。符號(hào)表征是指運(yùn)用數(shù)字、字母、運(yùn)算式等抽象的符號(hào)來(lái)表征，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。以上表征對(duì)學(xué)生思維發(fā)展的側(cè)重點(diǎn)各有不同，教師教學(xué)時(shí)宜采用多元表征來(lái)替代以往單一的表征方式，并在不同表征系統(tǒng)中構(gòu)建廣泛的聯(lián)系，從而促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的多元化。

二、多元表征在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中的價(jià)值

在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，需要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)，整數(shù)的認(rèn)識(shí)涉及基數(shù)（有幾個(gè)）和序數(shù)（第幾個(gè)）的概念，而分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)涉及數(shù)與量的整體和部分的關(guān)系。在最初學(xué)習(xí)0～9時(shí)，學(xué)生對(duì)可數(shù)實(shí)體的認(rèn)識(shí)遵循“感知單元—形象單元—?jiǎng)幼鲉卧Z(yǔ)言單元—抽象單元”的發(fā)展路徑，這恰恰體現(xiàn)了不同的表征形式，基于多元表征的教學(xué)恰好與之相契合。在探索數(shù)的意義時(shí)，情境表征可用于呈現(xiàn)關(guān)于數(shù)字的新知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、分析和解決問題，從而培養(yǎng)他們的邏輯推理能力和問題解決技巧。比如，設(shè)計(jì)富含趣味性的數(shù)學(xué)活動(dòng)或游戲，并輔以實(shí)踐操作，不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，還能讓他們看到數(shù)學(xué)的實(shí)用性和趣味性。在數(shù)的教學(xué)中融入豐富的現(xiàn)實(shí)情境和圖表，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)有更加深入的理解，能使他們?cè)谏顚?shí)踐中深刻體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際效用。

三、基于多元表征的“數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)策略

1.重構(gòu)教學(xué)信息，優(yōu)化表征結(jié)構(gòu)

為了更好地發(fā)揮多元表征在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中的效用，我們需要將教學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含的離散性信息重新編碼，組織成更大單位的信息塊?！敖M塊”是人類進(jìn)行信息加工的重要形式之一。小學(xué)生的短時(shí)記憶時(shí)間持續(xù)較短，大約2.5秒～20秒，且容量有限，只能記憶7±2個(gè)組塊。因此，教師在教學(xué)中要注意將分散的教學(xué)信息進(jìn)行重構(gòu)，并指導(dǎo)學(xué)生對(duì)信息進(jìn)行初步的編碼和儲(chǔ)存，從而促進(jìn)他們更好地習(xí)得知識(shí)、形成能力。

例如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，為了克服工作記憶容量的限制，促進(jìn)學(xué)生對(duì)信息的理解和記憶，教師要注意深入分析教學(xué)內(nèi)容，調(diào)整并優(yōu)化多元表征的結(jié)構(gòu)，從而逐步引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由具象水平過渡到半具體、半抽象水平，進(jìn)而達(dá)到完全抽象水平，最終由抽象回歸具體的完整學(xué)習(xí)過程。此外，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念的不同階段，要將不同的表征以組塊的形式呈現(xiàn)。具體而言，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)一個(gè)物體的幾分之一”時(shí)，首先，可以用實(shí)物來(lái)演示“把一個(gè)物體平均分成2份”，引導(dǎo)學(xué)生初步感知分?jǐn)?shù)，此為具體認(rèn)知。然后，可以通過分物品、折紙等動(dòng)手操作的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作表征，豐富他們對(duì)[12]的認(rèn)識(shí)，使他們初步建立[12][的正確表象]，此為半具體、半抽象的認(rèn)知。接著，可以通過語(yǔ)言表征和符號(hào)表征等引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象并概括所學(xué)知識(shí)。教師可以進(jìn)行適當(dāng)提問，促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有更深層次的理解。比如，“兩個(gè)同樣大的圓可以表示不同的分?jǐn)?shù)嗎？[12]和[14][誰(shuí)更大？]”這一問題要求學(xué)生用畫圖的方式表示分?jǐn)?shù)，并通過圖形的直觀比較抽象概括出分?jǐn)?shù)的含義，豐富對(duì)幾分之一的認(rèn)識(shí)，此為抽象的認(rèn)知。最后，可以通過與多元表征相關(guān)的變式問題，如“你能描述一下你在生活中見到的[12]嗎？”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從抽象回歸具體的過程。

2.注重呈現(xiàn)順序，助推概念教學(xué)

在時(shí)間和空間都有限的課堂教學(xué)中，學(xué)生能處理和掌握的信息也是有限的，無(wú)序的表征呈現(xiàn)方式會(huì)影響學(xué)生對(duì)新概念的理解，并在一定程度上增加他們的認(rèn)知負(fù)荷。因此，事先設(shè)計(jì)好表征的呈現(xiàn)順序是教學(xué)的關(guān)鍵一環(huán)。

例如，教學(xué)“認(rèn)識(shí)11～20”，引入概念時(shí)可以選擇直觀且有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的表征形式，如情境表征、實(shí)物表征、操作表征等。同時(shí)，教師可以借助多媒體短視頻展現(xiàn)計(jì)數(shù)單位“十”產(chǎn)生的過程，從視覺和聽覺兩個(gè)角度吸引學(xué)生的注意力。在建構(gòu)概念時(shí)，可以按照從情境到動(dòng)作、圖像（進(jìn)一步可以使用數(shù)軸）、符號(hào)的順序進(jìn)行，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入理解計(jì)數(shù)單位“十”，并認(rèn)識(shí)11～20各數(shù)。在鞏固概念階段，應(yīng)重點(diǎn)呈現(xiàn)表征轉(zhuǎn)換的問題，例如，讓學(xué)生用小棒表示出11～20各數(shù)，將11、13、20在數(shù)軸上表示出來(lái)，借助符號(hào)與操作、符號(hào)與數(shù)軸之間的轉(zhuǎn)換，促進(jìn)他們深刻理解20以內(nèi)數(shù)的概念。在最后的總結(jié)階段，可以引導(dǎo)學(xué)生繪制“認(rèn)識(shí)11～20”的多元表征結(jié)構(gòu)圖，將新舊知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，形成“整數(shù)的認(rèn)識(shí)”的完整知識(shí)體系。

3.促進(jìn)表征轉(zhuǎn)化，深化概念認(rèn)知

表征轉(zhuǎn)化是指某一認(rèn)知對(duì)象多元表征之間的相互轉(zhuǎn)化，包括系統(tǒng)間表征轉(zhuǎn)化和系統(tǒng)內(nèi)表征轉(zhuǎn)化。系統(tǒng)間表征轉(zhuǎn)化是不同表征類型之間的轉(zhuǎn)化，如將0.7在圖形中表示出來(lái)，它有利于學(xué)習(xí)者理解同一事物的不同屬性和特點(diǎn)之間的關(guān)系，幫助他們形成對(duì)事物更加整體的認(rèn)識(shí)。系統(tǒng)內(nèi)表征轉(zhuǎn)化是指同一表征系統(tǒng)內(nèi)不同形式之間的轉(zhuǎn)化，如小數(shù)的面積表征與數(shù)軸表征之間的轉(zhuǎn)化就是圖像表征系統(tǒng)內(nèi)的轉(zhuǎn)化，它對(duì)學(xué)生提出了更高的要求，往往需要學(xué)生具備自主選擇表征形式解決問題的能力，教師應(yīng)適當(dāng)提供教學(xué)支架。表征之間的轉(zhuǎn)化可以幫助學(xué)生逐步從具體走向抽象、從感性走向理性，使他們更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。這種轉(zhuǎn)化不僅有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)，還有利于培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和問題解決能力。

例如，在“小數(shù)的意義”教學(xué)中，可以同時(shí)使用系統(tǒng)間表征轉(zhuǎn)化和系統(tǒng)內(nèi)表征轉(zhuǎn)化。具體而言，可以使用百格板、正方形、貨幣、線段、圓柱、正方體等情境表征或圖像表征。

總之，基于多元表征的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有助于學(xué)生把握概念的本質(zhì)。在教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生深入理解、多元表征抽象的概念，同時(shí)要引導(dǎo)他們?cè)诨仡櫡此贾谐掷m(xù)提升。

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