初中數(shù)學(xué)逆向思維訓(xùn)練與學(xué)生解題策略多樣性研究

摘 要：教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，能拓展學(xué)生的解題思路，增強學(xué)生的問題解決能力，提升學(xué)生解題策略的多樣性。闡述了逆向思維訓(xùn)練對提升學(xué)生解題策略多樣性的意義，從逆向設(shè)問、加強對定義和概念的逆用、逆向分析解題思路、引入反證法等方面探討了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的策略，以供參考。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；逆向思維；解題策略多樣性

作者簡介：董喜源（1976—），男，甘肅省酒泉市阿克塞哈薩克族自治縣中學(xué)。

逆向思維能力是指從反面或?qū)α⒚娉霭l(fā)，對問題進行深入思考并尋找解決方案的能力，其核心在于突破傳統(tǒng)正向思維的束縛，從不同角度審視問題，發(fā)現(xiàn)新的解題思路和方法［1］。受應(yīng)試教育理念影響，不少學(xué)生思維固化，缺乏靈活性和創(chuàng)新性。逆向思維能力的培養(yǎng)能夠讓學(xué)生從不同的角度審視問題，實現(xiàn)思維的拓展與延伸，提高學(xué)生的解題效率與準確性［2］。因此，初中數(shù)學(xué)教師研究逆向思維訓(xùn)練策略，對促進學(xué)生的綜合能力發(fā)展和提升學(xué)生解題策略的多樣性具有重要意義。

一、逆向思維訓(xùn)練對提升學(xué)生解題策略多樣性的意義

逆向思維訓(xùn)練對提升學(xué)生解題策略多樣性具有以下幾個方面的意義。（1）增強解題靈活性。逆向思維訓(xùn)練能幫助學(xué)生突破傳統(tǒng)正向思維的局限，讓學(xué)生學(xué)會從不同角度對問題進行深入探究，靈活運用知識，進而增強學(xué)生的解題能力，提升他們的思維變通性和創(chuàng)新性。（2）拓展解題思路。在逆向思維訓(xùn)練中，學(xué)生需要運用逆向推理、反證等技巧來解決問題，這有利于學(xué)生突破常規(guī)思維框架的限制，找到新的解題策略［3］，增強學(xué)習(xí)信心和學(xué)習(xí)動力。（3）提高解題效率。逆向思維訓(xùn)練能夠幫助學(xué)生快速找到問題的關(guān)鍵點，進而提高學(xué)生的解題效率。（4）深入理解知識。逆向思維訓(xùn)練能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念和公式，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的策略

（一）逆向設(shè)問，打破思維定式

教師在講解新知識或例題時，可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實際情況，設(shè)置一些具有逆向思維特點的問題，引導(dǎo)學(xué)生進行逆向思考。這些問題要具有一定的挑戰(zhàn)性和啟發(fā)性，以引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題。教師也可以鼓勵學(xué)生自己提出逆向問題并解答。這種方式不僅可以鍛煉學(xué)生的逆向思維能力，還可以培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力。通過逆向設(shè)問，打破學(xué)生的思維定式，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維意識，能讓學(xué)生從不同的角度審視數(shù)學(xué)概念，更深刻地理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵。

以“求解二元一次方程組”一課的教學(xué)為例，本課的主要教學(xué)目標是讓學(xué)生學(xué)會運用代入消元法和加減消元法求解二元一次方程組。在本課教學(xué)中，教師便可以運用逆向設(shè)問的方法。比如，在講解加減消元法時，教師可以直接給出方程組的解，讓學(xué)生結(jié)合方程組的解，嘗試自己設(shè)計可以使用加減消元法求解的二元一次方程組。首先，教師可以向?qū)W生提出“如何設(shè)計方程組中的系數(shù)才能使其符合加減消元法的運用條件？”等問題，并留出充足的時間讓學(xué)生嘗試構(gòu)建方程組，分享構(gòu)建思路。之后，教師可以點評學(xué)生的構(gòu)建結(jié)果，并分析其在構(gòu)建方程組的過程中應(yīng)用逆向思維的情況。這一教學(xué)過程能使學(xué)生逐漸形成逆向思維意識，加深學(xué)生對加減消元法的理解。在逆向設(shè)問后，教師可以鼓勵學(xué)生自己設(shè)計具有逆向思維特點的問題，同時讓學(xué)生相互交換問題并解答。基礎(chǔ)的逆向問題一般是給定方程組的解，讓別人構(gòu)建相應(yīng)的二元一次方程組；更高層次的逆向問題可以要求別人構(gòu)建包含特定系數(shù)或特定項的方程組。這樣的教學(xué)能讓學(xué)生反復(fù)思考解方程組的過程和方法，加深學(xué)生對知識的理解，鍛煉學(xué)生的逆向思維能力。

（二）加強對定義和概念的逆用

在講解數(shù)學(xué)概念時，教師不僅要讓學(xué)生理解其含義，還要通過舉例、對比等方式引導(dǎo)學(xué)生進行逆向探究。同時，教師要在明確逆命題的概念的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生探討相應(yīng)數(shù)學(xué)命題的逆命題是否成立并嘗試說明理由。教師可以提供適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)和支持，幫助學(xué)生克服探討過程中的困難。在探討結(jié)束后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對逆命題的探討過程進行總結(jié)歸納，明確哪些逆命題成立、哪些逆命題不成立，并探究相應(yīng)的原因，這有助于學(xué)生形成系統(tǒng)的知識體系。通過逆向理解和逆命題探討，學(xué)生可以更好地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)和內(nèi)涵。

例如，在“平行線的判定”一課的教學(xué)中，教師要讓學(xué)生學(xué)會根據(jù)給定的條件判定兩條直線是否平行，并學(xué)會逆向運用相應(yīng)的知識。首先，教師要清晰闡述平行線的判定定理，通過圖示、實例和練習(xí)等，讓學(xué)生掌握并應(yīng)用這些定理。隨后，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考這些定理的逆向情況。比如，教師可提問：“如果兩條直線平行，那么相應(yīng)的同位角一定相等嗎？”或者給出逆命題“如果兩條直線平行，則相應(yīng)的同位角相等”讓學(xué)生驗證，以此讓學(xué)生理解平行線性質(zhì)與判定定理之間的內(nèi)在聯(lián)系。接著，教師可展示一些具體的幾何圖形或?qū)嶋H問題，并將學(xué)生分成多個小組，讓每個小組負責(zé)一個逆向問題或逆命題的探究，鼓勵學(xué)生運用所學(xué)知識探討逆命題是否成立。在這個過程中，教師可以提供一些必要的提示和引導(dǎo)，但要讓學(xué)生自主完成探討過程。最后，教師要讓各組派代表分享探究成果或未解決的問題，鼓勵學(xué)生積極表達不同的想法或思路，以此加深學(xué)生對相關(guān)知識的理解。在學(xué)生分享結(jié)束后，教師要總結(jié)逆命題探討的過程和結(jié)果，并對學(xué)生遇到的問題進行有針對性的解答。同時，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思探討過程中的思維方法和技巧，以提高他們的邏輯思維和批判性思維能力。在這樣的教學(xué)中，學(xué)生不僅能掌握相關(guān)知識，還能學(xué)會逆向思考的方法，鍛煉邏輯推理能力。

（三）逆向分析解題思路

在解題過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生采用分析法進行逆向思考，即從題目要求的結(jié)果出發(fā)，逆向推導(dǎo)需要滿足的條件或已知信息［4］。教師要先讓學(xué)生明確題目的最終要求，并讓學(xué)生由此出發(fā)，逆向推導(dǎo)相應(yīng)的前置條件或步驟，然后讓學(xué)生將得出的條件或步驟細化，直到所有條件都能與已知的數(shù)學(xué)知識或題目給出的信息相匹配。在推導(dǎo)過程中，學(xué)生要不斷驗證每一步的合理性，并根據(jù)需要進行調(diào)整。

例如，在“平行四邊形的判定”一課的教學(xué)中，教師可引入典型例題：在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求證四邊形ABCD是平行四邊形。教師可借助這一例題向?qū)W生展示運用分析法解題的過程，讓學(xué)生學(xué)會在解題時使用逆向思維。在此基礎(chǔ)上，教師可設(shè)計一系列由易到難的練習(xí)題，讓學(xué)生在實踐中不斷運用分析法，以此加深學(xué)生對平行四邊形判定條件的理解，提升學(xué)生的逆向思維能力。

為了培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，教師還可以鼓勵學(xué)生在解題過程中進行逆向聯(lián)想，將復(fù)雜的問題分解成若干個相互關(guān)聯(lián)但較為簡單的子問題。具體來說，學(xué)生要先從題目中提取關(guān)鍵信息或未知量，然后嘗試將這些關(guān)鍵信息或未知量與已知的數(shù)學(xué)定理、公式或模型聯(lián)系起來，同時通過逆向聯(lián)想，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題或?qū)⑽粗哭D(zhuǎn)化為已知信息，最后利用已知的數(shù)學(xué)知識和方法解決轉(zhuǎn)化后的問題。例如，有這樣一個問題：在四邊形ABCD中，∠A=∠C，AB∥CD，AB=CD，求證四邊形ABCD是矩形。在講解這一題時，教師便可展示如何運用逆向聯(lián)想的方法解題，以此讓學(xué)生明確運用逆向聯(lián)想方法解題的整個過程。之后，教師可設(shè)計一些相似的題目或難度更高的題目，讓學(xué)生嘗試用逆向聯(lián)想的方法解答，并分享解答思路和解題過程。在學(xué)生充分掌握該解題方法后，教師便可以讓其將此方法應(yīng)用到其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域或?qū)嶋H生活中，如探究其他幾何圖形的性質(zhì)、解決復(fù)雜的代數(shù)問題等，以此培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。

（四）引入反證法，加強實踐應(yīng)用

反證法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，也是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的有效手段。教師可以通過講解反證法的原理和應(yīng)用實例，幫助學(xué)生掌握反證法的使用技巧。教師要幫助學(xué)生明確反證法的概念及應(yīng)用步驟等，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計具體的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生嘗試使用反證法來解答問題。

反證法要求學(xué)生從反面思考問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力和批判性思維能力，能讓他們學(xué)會從多個角度審視問題。反證法能夠幫助學(xué)生解決一些直接證明較為困難的問題，提高他們的解題能力。通過運用反證法，學(xué)生能夠更深入地理解數(shù)學(xué)概念和定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而加深對數(shù)學(xué)知識的理解。反證法的應(yīng)用需要學(xué)生進行嚴密的邏輯推理和論證，不僅能鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力，還能提高學(xué)生論證過程的嚴謹性。

例如，在“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”一課的教學(xué)中，在講授完二次函數(shù)的基本形式、開口方向、對稱軸、頂點等基本知識點后，教師可以選擇一個較難直接證明但適合用反證法處理的性質(zhì)作為教學(xué)切入點，進行與反證法有關(guān)的教學(xué)，如二次函數(shù)的對稱性質(zhì)、二次函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性等。教師要先從理論層面說明反證法的應(yīng)用步驟，讓學(xué)生明確整個反證過程，為學(xué)生有效應(yīng)用反證法奠定基礎(chǔ)。應(yīng)用反證法的具體步驟如下：（1）確定論題，即明確需要證明的結(jié)論；（2）反設(shè)，即假設(shè)原論題結(jié)論的反面成立；（3）歸謬，即基于反設(shè)和已知條件，逐步推出一個錯誤或自相矛盾的結(jié)論；（4）得出結(jié)論，即根據(jù)前面的結(jié)果，得出原論題的結(jié)論正確。在明確應(yīng)用反證法的具體步驟后，教師可結(jié)合具體實例對該方法的應(yīng)用過程進行演示。比如，在證明“二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象關(guān)于其對稱軸x=-b/2a對稱”時，使用反證法解題的過程如下：首先，確定該例題的論題是“二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象關(guān)于其對稱軸對稱”。其次，對論題進行反設(shè)，假設(shè)二次函數(shù)的圖象不關(guān)于其對稱軸對稱。最后，任取圖象上關(guān)于對稱軸對稱的兩點P（m，n）和P1（2×（-b/2a）-m，n）（如果m不等于-b/2a，則這兩點確實是對稱的；如果m等于-b/2a，則可選擇稍偏離的點）。根據(jù)二次函數(shù)的定義，點P（m，n）在圖象上意味著n=am2+bm+c。假設(shè)圖象不關(guān)于對稱軸對稱，則點P1的縱坐標不應(yīng)為n。但根據(jù)對稱性，如果圖象真的關(guān)于對稱軸x=-b/2a對稱，那么P1也應(yīng)在圖象上，且其縱坐標也應(yīng)為n。這里產(chǎn)生了矛盾：一方面假設(shè)圖象不關(guān)于對稱軸對稱，另一方面對稱點P1的縱坐標應(yīng)與P相同。由此可以得出結(jié)論：假設(shè)不成立，二次函數(shù)的圖象關(guān)于其對稱軸對稱。反證結(jié)束后，教師可引導(dǎo)學(xué)生對關(guān)鍵步驟和邏輯關(guān)系進行討論，并鼓勵學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中嘗試使用反證法解決復(fù)雜問題。在這樣的教學(xué)中，學(xué)生不僅能夠加深對二次函數(shù)對稱性質(zhì)的理解，還能掌握反證法這一重要的證明方法，提升數(shù)學(xué)思維能力和邏輯推理能力。

三、總結(jié)

教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中鍛煉學(xué)生的逆向思維，能有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，提升學(xué)生解題策略的多樣性，增強其解決數(shù)學(xué)問題的能力。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可通過逆向設(shè)問、加強對定義和概念的逆用、逆向分析解題思路以及引入反證法等方式，有效培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。在今后的研究中，初中數(shù)學(xué)教師要不斷探索能有效培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維的教學(xué)策略，以提高學(xué)生的邏輯思維能力，拓展學(xué)生的解題思路，增強學(xué)生的知識應(yīng)用能力。

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