問題解決：提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》界定的四個(gè)領(lǐng)域是學(xué)生獲得“四基”、發(fā)展“四能”、形成“正確情感態(tài)度價(jià)值觀”的載體.2024年吉林省第23題是以“板凳中的數(shù)學(xué)”為項(xiàng)目的“綜合與實(shí)踐”方面的考題，解決項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中的問題可以培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生多種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)，有助于實(shí)現(xiàn)“三會(huì)”的課程目標(biāo).

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；綜合與實(shí)踐；問題解決

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022年版）》）把“課程內(nèi)容”分為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四個(gè)領(lǐng)域.數(shù)學(xué)教育教學(xué)的根本目的就是以這四個(gè)領(lǐng)域的課程內(nèi)容為載體，不斷培養(yǎng)、提高和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，最終實(shí)現(xiàn)“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”[1]11的課程總目標(biāo).

“綜合與實(shí)踐”是與前三個(gè)領(lǐng)域并列的一個(gè)領(lǐng)域，究竟怎樣開展“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)呢？通過對(duì)2024年吉林省第23題的分析為例進(jìn)行探討.

1試題呈現(xiàn)

綜合與實(shí)踐

某班同學(xué)分三個(gè)小組進(jìn)行“板凳中的數(shù)學(xué)”的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)研究．第一小組負(fù)責(zé)調(diào)查板凳的歷史及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；第二小組負(fù)責(zé)研究板凳中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)；第三小組負(fù)責(zé)匯報(bào)和交流．下面是第三小組匯報(bào)的部分內(nèi)容，請(qǐng)你閱讀相關(guān)信息，并解答“建立模型”中的問題．

【背景調(diào)查】圖1（1）中的板凳又叫“四腳八叉凳”，是中國(guó)傳統(tǒng)家具，其榫卯結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了古人含蓄內(nèi)斂的審美觀．榫眼的設(shè)計(jì)很有講究，木工一般用鉛筆畫出凳面的對(duì)稱軸，以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度，確定榫眼的位置，如圖1（2）所示．板凳的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．

2解答與簡(jiǎn)評(píng)

2.1簡(jiǎn)解

2.2簡(jiǎn)評(píng)

《課標(biāo)（2022年版）》在“教材編寫建議”中指出“教材素材的選取應(yīng)盡可能的貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，以利于學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的過程，發(fā)展抽象能力、推理能力等”[1]94.這里強(qiáng)調(diào)的學(xué)生現(xiàn)實(shí)，主要包括三個(gè)方面：（1）生活現(xiàn)實(shí)；（2）數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)；（3）其他學(xué)科現(xiàn)實(shí).這個(gè)建議也是指導(dǎo)教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)選擇教學(xué)素材的一個(gè)“原則”.

本考題以“綜合與實(shí)踐”作為“標(biāo)題”，選取了家庭中常見的“板凳”作為背景，立足“生活現(xiàn)實(shí)”，符合《課標(biāo)（2022年版）》提出的“素材選取要貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)、真實(shí)可信”[1]94的要求.

題目分為“背景調(diào)查—收集數(shù)據(jù)—分析數(shù)據(jù)—建立模型”四個(gè)環(huán)節(jié)：第一個(gè)環(huán)節(jié)“調(diào)查背景”中介紹了傳統(tǒng)家具——“四腳八叉凳”.目的是讓學(xué)生“欣賞數(shù)學(xué)美”，進(jìn)一步展示中國(guó)人的“智慧”，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了“美育教育”.文[2]把《課標(biāo)（2022年版）》提出的課程“總目標(biāo)”的第三條形成“正確情感態(tài)度價(jià)值觀”的內(nèi)涵分為四個(gè)方面[2]，從這個(gè)意義上講，考題的第一個(gè)環(huán)節(jié)有助于落實(shí)這一目標(biāo).

第二個(gè)環(huán)節(jié)“收集數(shù)據(jù)”，記錄的是學(xué)生通過實(shí)際測(cè)量得到的五組數(shù)據(jù).這些數(shù)據(jù)是第三個(gè)環(huán)節(jié)“分析數(shù)據(jù)”和解答第四個(gè)環(huán)節(jié)問題的基礎(chǔ).

在實(shí)際教學(xué)時(shí)，可讓學(xué)生自己找個(gè)板凳進(jìn)行測(cè)量，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力，并積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).第二個(gè)環(huán)節(jié)是一個(gè)完整的統(tǒng)計(jì)過程，經(jīng)歷這樣的過程有助于學(xué)生數(shù)據(jù)觀念的形成與發(fā)展.

第三個(gè)環(huán)節(jié)“分析數(shù)據(jù)”是在直角坐標(biāo)系中描出第二個(gè)環(huán)節(jié)得到的五組數(shù)據(jù)（圖1（3））對(duì)應(yīng)的點(diǎn).

第四個(gè)環(huán)節(jié)“建立模型”提出了兩個(gè)問題，解決問題（1）分為三步：首先判斷出圖1（3）中的各點(diǎn)在同一條直線上；然后假設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，并從表格中選取兩組數(shù)據(jù)代入建立方程組；最后解方程組，從而求出函數(shù)表達(dá)式.在解決了問題（1）后，問題（2）也就迎刃而解了.本環(huán)節(jié)是考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的過程，是“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的“落腳點(diǎn)”.

從解答的過程看，本題主要考查學(xué)生利用一次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，用到的知識(shí)點(diǎn)比較簡(jiǎn)單（一次函數(shù)的應(yīng)用）.本題告訴我們，選取“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的素材時(shí)，解決“素材”中的數(shù)學(xué)問題不一定要用到過多的知識(shí)，解決的過程也不一定很難，否則容易挫傷部分學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

3素養(yǎng)表現(xiàn)

《課標(biāo)（2022年版）》提出了初中階段的9大核心素養(yǎng)表現(xiàn)，分別是抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)[1]7.解答本考題至少有助于培養(yǎng)與發(fā)展下面幾個(gè)素養(yǎng)：

（1）抽象能力

《課標(biāo)（2022年版）》指出“抽象能力主要是通過對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象”[1]8.抽象能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)，它是在學(xué)生進(jìn)行抽象活動(dòng)的過程中形成的.數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科，數(shù)學(xué)中要抽象的是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的共同的、本質(zhì)的屬性[2]68.初中階段的抽象能力主要表現(xiàn)在對(duì)概念、關(guān)系與方法的抽象上，具體包括8個(gè)方面[2]68.

本題中學(xué)生抽象的地方有兩個(gè)：一是在解答第（1）個(gè)問題時(shí)，需要學(xué)生首先根據(jù)圖1（3）中各個(gè)“孤立”點(diǎn)的“位置”作出表中各點(diǎn)在同一條直線上的判斷，然后抽象出這條直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b；二是在解答第（2）個(gè)問題時(shí)，根據(jù)凳面寬度為213mm，抽象得到方程213=5x+33.

（2）運(yùn)算能力

（3）模型觀念

（4）應(yīng)用意識(shí)

《課標(biāo)（2022年版）》在界定的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中有兩個(gè)跨學(xué)科的素養(yǎng)，其中之一是應(yīng)用意識(shí).應(yīng)用意識(shí)是在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的過程中逐漸形成并得到發(fā)展的一個(gè)重要素養(yǎng).

本案例主要在于培養(yǎng)學(xué)生用“一次函數(shù)”“一次方程”解決“板凳”中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)問題.學(xué)生通過解決本題，“能夠感悟現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，可以用數(shù)學(xué)的方法予以解決”[1]10，有助于增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

4教學(xué)啟發(fā)

4.1綜合與實(shí)踐領(lǐng)域的學(xué)習(xí)應(yīng)與其它三個(gè)領(lǐng)域的內(nèi)容密切配合

關(guān)于初中學(xué)段的“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域，《課標(biāo)（2022年版）》提出了三條具體的課程內(nèi)容.第一條是：在社會(huì)生活和科學(xué)技術(shù)的真實(shí)情境中，結(jié)合方程與不等式、函數(shù)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)、抽樣與數(shù)據(jù)分析等內(nèi)容，經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)化，探索數(shù)學(xué)關(guān)系、性質(zhì)與規(guī)律的過程，感悟如何從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，逐步形成“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”的核心素養(yǎng)[1]77.

這三條內(nèi)容恰好對(duì)應(yīng)著《課標(biāo)（2022年版）》提出的“三會(huì)”目標(biāo).可見“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域與前三個(gè)領(lǐng)域的課程內(nèi)容有“交集”，也就是說.綜合與實(shí)踐內(nèi)容包含學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、綜合應(yīng)用各學(xué)科知識(shí)（圖2）[2]234.對(duì)這些數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)應(yīng)以實(shí)踐、探究等活動(dòng)方式展開.

《課標(biāo)（2022年版）》下的教材，基本上每?jī)?cè)都設(shè)計(jì)了兩個(gè)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)，每個(gè)活動(dòng)設(shè)3課時(shí).筆者認(rèn)為，這種設(shè)計(jì)很“死板”，不利于老師靈活選用.

教師在實(shí)際教學(xué)時(shí)，要結(jié)合“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的課程內(nèi)容，靈活的設(shè)計(jì)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)，一個(gè)綜合與實(shí)踐活動(dòng)不一定需要3課時(shí).

在設(shè)計(jì)問題時(shí)，不一定要設(shè)計(jì)多么難的“大”問題.一些“小”的問題，同樣可以引導(dǎo)學(xué)生開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)，在活動(dòng)中提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本考題就是典型的一例.

4.2在確定“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)時(shí)正確理解“為主”和“適當(dāng)”的意義

關(guān)于“綜合與實(shí)踐”的課程內(nèi)容，《課標(biāo)（2022年版）》在表述中，提到了“為主”和“適當(dāng)”兩個(gè)要求，我們一定要深刻理解其含義：

（1）“綜合與實(shí)踐”要“以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主”[1]16.這里的“為主”告訴我們，“跨學(xué)科”不是綜合與實(shí)踐活動(dòng)的必備要求，設(shè)計(jì)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)也不一定必須有“數(shù)學(xué)學(xué)科”以外的“學(xué)科”參與.

（2）“適當(dāng)采用主題式學(xué)習(xí)和項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式”[1]16.《課標(biāo)（2022年版）》指出，關(guān)于“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)，在小學(xué)階段以主題式學(xué)習(xí)為主，初中階段可采用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)方式[1]17.項(xiàng)目式學(xué)習(xí)指學(xué)生面對(duì)“真實(shí)”的問題情境，應(yīng)用有關(guān)知識(shí)，使用“合適”的策略、方法，在實(shí)踐探究中解決問題的活動(dòng).“適當(dāng)”“可”的意義告訴我們，“綜合與實(shí)踐”可采用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，也可以不采用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式.

4.3加強(qiáng)問題解決教學(xué)

綜合與實(shí)踐領(lǐng)域的教學(xué)活動(dòng)，以解決實(shí)際問題為重點(diǎn)[1]87，這種實(shí)際問題是現(xiàn)實(shí)世界中具有開放性的問題.學(xué)生圍繞問題通過思考、探索、交流等系列活動(dòng)，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法加以解決.

問題解決教學(xué)至少有三個(gè)方面的功能[3]：一是鞏固和加深理解所學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，熟練掌握數(shù)學(xué)基本技能，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)基本思想，豐富原有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).二是培養(yǎng)學(xué)生良好的個(gè)性品質(zhì)，引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲望、獨(dú)立學(xué)習(xí)的能力，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成質(zhì)疑問難、自我反思和勇于探索的科學(xué)精神.三是發(fā)展功能，即發(fā)展學(xué)生的思維和掌握智力活動(dòng)的有效手段.

這三個(gè)方面都是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不可或缺的組成部分.因此，教師在引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)獲取新知識(shí)的同時(shí)，要適當(dāng)?shù)母鶕?jù)所學(xué)知識(shí)鼓勵(lì)學(xué)生開展問題解決活動(dòng)，這是落實(shí)《課標(biāo)（2022年版）》提出的“總目標(biāo)”的重要舉措.

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介衣曉蕾（1983—），女，山東棲霞人，博士，高級(jí)教師，朝陽區(qū)骨干教師，朝陽區(qū)創(chuàng)新工作室領(lǐng)軍人；主要研究方向?yàn)槌踔袛?shù)學(xué)教學(xué)方法、課程設(shè)計(jì)與學(xué)科建設(shè).

李樹臣（1962—），男，山東沂南人，正高級(jí)教師；全國(guó)義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材（青島版）的核心作者、分冊(cè)主編，中國(guó)人民大學(xué)《復(fù)印報(bào)刊資料·初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》編委;主要研究初中數(shù)學(xué)課程與教學(xué)問題.