初中統(tǒng)計新面孔“箱線圖與百分位數(shù)”的認識與思考

【摘要】《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》新增了“箱線圖與百分位數(shù)”內(nèi)容，“箱線圖”首次出現(xiàn)在課標中，這給教師和學生都帶來了新的挑戰(zhàn).首先從時代發(fā)展需要、數(shù)學課程需要、學生發(fā)展需要三方面論述了箱線圖與百分位數(shù)的教育價值；其次闡明了百分位數(shù)的定義和算法、箱線圖的定義和畫法；隨后通過《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中的例86對箱線圖與百分位數(shù)加以應用說明，發(fā)現(xiàn)按照定義繪制的箱線圖與借助統(tǒng)計軟件繪制的箱線圖存在上邊緣下邊緣取值不一的問題，而相同統(tǒng)計軟件中繪制的箱線圖也存在不同表示形式.

【關鍵詞】統(tǒng)計與概率；箱線圖；百分位數(shù)

數(shù)據(jù)分析是高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一，無論是義務教育階段還是高中階段均對學生數(shù)據(jù)分析能力有了新要求，《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）在第四學段“統(tǒng)計與概率”領域中新增內(nèi)容要求“會計算四分位數(shù)，了解四分位數(shù)與箱線圖的關系，感悟百分位數(shù)的意義”，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《高中課標》）在“概率與統(tǒng)計”主題中要求“結合實例，能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義”.顯然高中階段對百分位數(shù)的要求由初中階段的了解提升至理解、能夠，學生在義務教育階段對“箱線圖與百分位數(shù)”的理解程度必然會直接影響高中階段“百分位數(shù)”的學習.那什么是百分位數(shù)？箱線圖又是什么？為什么要在義務教育階段引入“箱線圖與百分位數(shù)”的學習？如何計算百分位數(shù)、繪制箱線圖？如何利用箱線圖與百分位數(shù)分析數(shù)據(jù)？

1箱線圖與百分位數(shù)的教育價值

1.1時代發(fā)展需要

進入21世紀以來，隨著信息技術的飛速發(fā)展和廣泛應用，世界各國越來越重視統(tǒng)計的學習.從商業(yè)決策到科學研究，都需要對大量數(shù)據(jù)進行分析和處理，大數(shù)據(jù)、云計算、人工智能等領域更是依賴數(shù)據(jù)分析的觀念與技術，人們對統(tǒng)計學習的關注度也逐漸提升.箱線圖和百分位數(shù)作為數(shù)據(jù)分析的基礎工具，在金融分析、醫(yī)學研究、質(zhì)量檢測等方面有著廣泛應用，能夠解決不同領域的實際問題.

1.2數(shù)學課程需要

2001年，“統(tǒng)計與概率”就作為獨立領域設置在課標中，并且第一次在小學和初中階段增加了概率的內(nèi)容[1].《課標（2022年版）》和《高中課標》新增了“百分位數(shù)”的內(nèi)容，《課標（2022年版）》更是在附錄部分以一個實例（例86）讓學生感悟箱線圖的學習價值，這反映了教育部門對于統(tǒng)計學教育的重視，也顯示了這些知識在數(shù)學課程中的必要性[2].箱線圖和百分位數(shù)作為統(tǒng)計與概率領域下的重要知識，它的引入不僅能夠豐富數(shù)學課程內(nèi)容，使數(shù)學內(nèi)容更完善，還能使數(shù)學內(nèi)容更貼近學生生活實際，讓學生體會數(shù)學來源于生活又應用于生活.

1.3學生發(fā)展需要

社會的飛速發(fā)展對我國的人才培養(yǎng)提出了新要求，數(shù)學教育的目標不僅僅局限于傳授數(shù)學知識和技能，更在于通過數(shù)學學科培養(yǎng)學生的綜合素質(zhì)和能力.百分位數(shù)和箱線圖作為統(tǒng)計分析的重要工具，不僅能夠有效地幫助學生把握數(shù)據(jù)特征[3]、掌握數(shù)據(jù)分析的基本技能、提升數(shù)學素養(yǎng)和綜合應用能力，還能為他們將來職業(yè)生涯和社會生活中遇到的各類數(shù)據(jù)問題提供處理工具和方法，從而做出更加合理的決策和分析，這對他們未來在數(shù)據(jù)驅(qū)動的世界中取得成功至關重要.

2箱線圖與百分位數(shù)

2.1百分位數(shù)

在了解箱線圖之前，我們要了解什么是百分位數(shù).人教A版普通高中教科書數(shù)學必修第二冊給出了百分位數(shù)的概念：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100-p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

因此，初中所學中位數(shù)，相當于第50百分位數(shù)；除中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第25百分位數(shù)，第75百分位數(shù).這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分為數(shù)，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)[4].

百分位數(shù)在統(tǒng)計學中有著十分重要的計數(shù)地位，是表達統(tǒng)計量、刻畫數(shù)據(jù)信息的重要形式[5].百分位數(shù)的主要意義在于其能提供有關數(shù)據(jù)分布狀況的重要信息.通過了解一個值處于數(shù)據(jù)集的什么位置，能夠?qū)φ麄€數(shù)據(jù)集的分布有一個直觀的認識，能夠快速識別數(shù)據(jù)的集中趨勢與離散程度，而無需查看整個數(shù)據(jù)集.百分位數(shù)還具有識別異常值的作用.在數(shù)據(jù)分析中，異常值可能對分析結果產(chǎn)生重大影響，特別是在計算平均值、標準差等統(tǒng)計量時，而百分位數(shù)可以幫我們確定哪些值是極端值，應當被排除在進一步的分析之外，使得分析更加準確和穩(wěn)定.

對于百分位數(shù)的計算，我們可以通過下面的步驟計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)：

第1步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步：計算i=n×p%

第3步：若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第（i+1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

2.2箱線圖

箱線圖又稱盒須圖、盒式圖或箱形圖，1977年由美國著名統(tǒng)計學家約翰·圖基發(fā)明，是一種利用上邊緣、上四分位數(shù)、中位數(shù)、下四分位數(shù)和下邊緣來描述一組數(shù)據(jù)分散情況的統(tǒng)計圖，因形狀如箱子而得名，它主要用于反映原始數(shù)據(jù)特征的分布，并對數(shù)據(jù)的異常值進行標注，還能夠快速地展現(xiàn)出多組數(shù)據(jù)的分布情況和它們的相對差異.

要繪制箱線圖，除了計算前文描述的四分位數(shù)外，還需計算上邊緣（最大值）、下邊緣（最小值）和異常值，其中異常值是指大于上邊緣（最大值）或小于下邊緣（最小值）的值.此外，為了計算這三個特征值，需先計算四分位差（簡稱“IQR”），四分位差（IQR）=上四分位數(shù)（Q1）-下四分位數(shù)（Q3），上邊緣（最大值）=Q1+1.5IQR，下邊緣（最小值）=Q3-1.5IQR.

箱線圖的繪制方法是：先計算出一組數(shù)據(jù)的上邊緣、下邊緣和四分位數(shù)；然后連接上四分位數(shù)和下分位數(shù)畫出箱體；再將上邊緣和下邊緣與箱體相連接，中位數(shù)在箱體中間[6]；最后標出異常值，異常值常用空心圓表示.箱線圖圖示，如圖1所示.

3箱線圖與百分位數(shù)的應用

下面以《課標（2022年版）》例86“箱線圖與百分位數(shù)”為例，對箱線圖與百分位數(shù)加以應用.

某銀行有A和B兩個理財經(jīng)營團隊.2018—2020年，這兩個理財團隊分別負責經(jīng)營12項理財產(chǎn)品，收益率（單位：%）如下：

A：4.773.986.444.892.153.85

3.643.213.182.024.114.10

B：3.183.843.993.673.403.60

4.104.214.154.443.873.91

試評價A和B兩個團隊的經(jīng)營水平.

學生可以通過計算平均數(shù)和方差來評價兩個團隊的經(jīng)營水平，但僅僅用平均數(shù)和方差評價似乎不夠全面.為挖掘更多數(shù)據(jù)信息，使評價更加全面合理，考慮采納“四分位數(shù)”來進一步評價兩個團隊的經(jīng)營水平.以下將以四分位數(shù)和箱線圖來評價兩團隊經(jīng)營水平.

解：A和B兩個團隊的收益率按從小到大排列為：

A：2.022.153.183.213.643.85

3.984.104.114.774.896.44

B：3.183.403.603.673.843.87

3.913.994.104.154.214.44

由12×25%=3，12×50%=6，12×75%=9，可知樣本數(shù)據(jù)的第25，50，75百分位數(shù)分別為第3項數(shù)據(jù)和第4項數(shù)據(jù)的平均數(shù)、第6項數(shù)據(jù)和第7項數(shù)據(jù)的平均數(shù)、第9項數(shù)據(jù)和第10項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

計算出箱線圖所需數(shù)據(jù)后，畫一條能包含所有數(shù)據(jù)的數(shù)軸，在數(shù)軸上描出各組數(shù)據(jù)的上邊緣、四分位數(shù)、下邊緣，連接各組數(shù)據(jù)的Q1和Q3畫出箱體，在Q2、上邊緣、下邊緣處分別畫平行于箱體的短平行線，再將上邊緣、下邊緣與箱體用虛線連接，最后標出兩組數(shù)據(jù)的異常值.兩團隊收益率箱線圖如圖2所示.

基于兩團隊的箱線圖，我們可以獲得兩組數(shù)據(jù)更直觀的數(shù)據(jù)分析.通過觀察箱線圖可以直接得出，兩團隊收益率的中位數(shù)幾乎相等，但B團隊的箱體高度比A團隊箱體高度矮，說明B團隊的經(jīng)營水平波動性小，數(shù)據(jù)更集中；相比而言A團隊的經(jīng)營水平波動性更大，數(shù)據(jù)更分散.此外，從箱線圖中還可以看出A團隊的收益率有1個異常值，說明A團隊的收益率兩極分化更明顯.因此，可以更有把握的說，兩個團隊經(jīng)營效益基本一樣，但B團隊的經(jīng)營水平比A團隊的經(jīng)營水平更平穩(wěn).

4繪制箱線圖存在的問題

4.1上邊緣與下邊緣的不同取值

將按照箱線圖定義繪制出來的箱線圖（圖2）與《課標（2022年版）》中的箱線圖（圖3）對比發(fā)現(xiàn)兩者存在較大差異.差異主要體現(xiàn)在上邊緣和下邊緣的取值大小上，《課標（2022年版）》中的箱線圖是在去掉數(shù)據(jù)異常值后，將剩下數(shù)據(jù)中的最大值作為了上邊緣，最小值作為了下邊緣.

通過查閱資料發(fā)現(xiàn)，無論是課標還是教科書，均未給出箱線圖的具體定義，而國內(nèi)不少學者也將上邊緣、下邊緣分別稱為最大值、最小值，因此箱線圖中的上邊緣、下邊緣的取值有兩種情況，一種是按定義計算，另一種是在除去數(shù)據(jù)異常值后，分別取數(shù)據(jù)的最大值、最小值.顯然后一種取值方法更簡便快捷.

4.2統(tǒng)計軟件中箱線圖的不同表示形式

隨著科技的發(fā)展，現(xiàn)代信息技術已經(jīng)走進課堂，百分位數(shù)的計算、箱線圖的繪制都可以借助統(tǒng)計軟件完成，Excel是中學最常見的統(tǒng)計軟件.Excel中箱線圖的上邊緣、下邊緣的取值也是在除去數(shù)據(jù)異常值后，分別取數(shù)據(jù)的最大值、最小值，但進一步比較發(fā)現(xiàn)Excel中的箱線圖也有不同表示形式.

在Excel中有一個函數(shù)專門用于計算一組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)，即QUARTILE函數(shù).該函數(shù)的表達式包含兩個參數(shù)，第1參數(shù)為數(shù)據(jù)區(qū)域，第2參數(shù)為分位點類型，表達式為：=QUARTILE（數(shù)據(jù)區(qū)域，分位點類型）.其中第2參數(shù)分位點類型是指通過特定的參數(shù)值，來表示計算不同分位點的結果值，它具體包含5個參數(shù)值，分別是“0表示最小值，1表示下四分位點，2表示中位數(shù)，3表示上四分位點，4表示最大值”.將數(shù)據(jù)輸入Excel中，點擊空白處，輸入QUARTILE函數(shù)表達式，分位點類型分別輸入1，2，3，即可求出該組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)；隨后選中數(shù)據(jù)，點擊插入圖表，可以直接插入箱線圖.

按照以上步驟，將A，B兩團隊收益率分別輸入Excel，得出的四分位數(shù)與上文一致；選中兩團隊的數(shù)據(jù)，點擊插入箱線圖，其結果如圖4所示.此時箱線圖中的四分位數(shù)與上文計算結果并不相同，并且A團隊的異常值也并未排除.

這是因為Excel中QUARTILE函數(shù)的查詢邏輯與箱線圖內(nèi)置規(guī)則略有不同，箱線圖內(nèi)置規(guī)則有兩種計算方式，一個是包含中值（即中位數(shù)），另一個是排除中值.默認情況下是排除中值，因此圖形中的四分位數(shù)與公式結果不同，一般情況下，我們以函數(shù)公式的結果為準.此外，Excel中箱線圖默認不顯示離群值點（即異常值），一般情況下，我們需選擇顯示離群值點.包含中值、顯示離群值點后的箱線圖如圖5所示.

5結束語

百分位數(shù)為我們提供了一種衡量數(shù)據(jù)集中趨勢和分布狀態(tài)的方法，而箱線圖以簡單直觀的圖形方式表達出數(shù)據(jù)的分布情況，特別是集中趨勢、離散程度和異常值的識別.如果說百分位數(shù)是從“數(shù)”的角度來分析數(shù)據(jù)，箱線圖則是從“形”的角度來反映數(shù)據(jù)的分散情況.從教學的角度來看，百分位數(shù)和箱線圖不僅是傳授給學生的重要統(tǒng)計概念，更是培養(yǎng)他們數(shù)據(jù)分析思維和批判性思考能力的有效工具.在箱線圖與百分位數(shù)的教學過程中，教師要確保學生能夠有效地理解和應用這些統(tǒng)計概念，注重理論與實踐的結合，用實際數(shù)據(jù)來演示百分位數(shù)和箱線圖的計算和繪制過程，科學合理使用統(tǒng)計軟件，確保學生不僅理解這些統(tǒng)計工具的原理，還能夠熟練地應用于實際數(shù)據(jù)分析中.

參考文獻

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[3]高凱亮.新課標背景下“統(tǒng)計與概率”的變化：對“四分位數(shù)與箱線圖”的思考[J].中學數(shù)學雜志，2023（10）：15-18.

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[5]王勝楠，王羅那.滲透“讀—思—達”教學發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)：以“四分位數(shù)與箱線圖”教學為例[J].西藏教育，2022（12）：40-43，48.

[6]賈俊平，何曉群，金勇.統(tǒng)計學：第四版[M].北京：中國人民大學出版社，2009.

作者簡介鄧樂琪（2000—），女，湖南邵陽人，碩士研究生;主要從事數(shù)學教育教學研究.

孔德宏（1972—），男，云南曲靖人，副教授，碩士研究生導師;主要從事數(shù)學教育教學研究.