中國與加拿大初中數(shù)學(xué)教材“圓”內(nèi)容比較研究

【摘要】“圓”作為初中階段圖形與幾何領(lǐng)域的必學(xué)內(nèi)容，一直是教師教學(xué)的重點和難點.選取中國和加拿大教材中“圓”幾何學(xué)單元作為研究對象，分別從內(nèi)容結(jié)構(gòu)、呈現(xiàn)方式、題目設(shè)置和信息技術(shù)四個維度對其進行比較.基于研究結(jié)果，為我國教材建設(shè)提供可行性建議.

【關(guān)鍵詞】比較研究；初中數(shù)學(xué)；教材研究；圓

1問題提出

縱觀百年課改歷史，傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容以精簡為主，我國上一輪課改也對平面幾何課程動了大手術(shù)，必學(xué)的內(nèi)容越來越少；作為義務(wù)教育階段必學(xué)的“圓”，一些看上去稍有難度的內(nèi)容甚至干脆刪除[1].然而，從國際視角來看，很多國家都非常重視學(xué)生對于“圓”內(nèi)容的學(xué)習(xí)，如日本、韓國和美國對于內(nèi)容所呈現(xiàn)的定理對應(yīng)的幾何思維水平要求比中國更高[2-3].通過對比不同國家的數(shù)學(xué)教材，可以讓我們學(xué)習(xí)其他國家教材的優(yōu)點，從而完善我們的教材，讓其變得更好被接受和理解.

加拿大對教育事業(yè)的發(fā)展高度重視，基礎(chǔ)教育改革呈現(xiàn)出獨特的風(fēng)格.由于各省之間教育體系的差別，加拿大沒有全國統(tǒng)一的教材，相比而言，Math Makes Sense 這版教材的使用范圍相對較廣，能夠滿足不同學(xué)生的需求[4].本文選取的是Math Makes Sense的G9第8單元“圓幾何學(xué)”（以下簡記為加拿大教材）和我國人民教育出版社教科書數(shù)學(xué)九年級上冊第二十四章“圓”（以下簡記為人教版教材）進行比較研究，以期對我國的“圓”內(nèi)容改革有所啟示.

2內(nèi)容結(jié)構(gòu)比較

將兩國教材中“圓”內(nèi)容的章節(jié)目錄進行比較，結(jié)果如表1所示.

從表1中可以看出：

第1，從章節(jié)安排來看，兩國教材在內(nèi)容設(shè)置的順序上有所不同.人教版的順序是從圓的概念入手，探究圓的性質(zhì)、圓中有關(guān)的角、點與圓、直線與圓、圓與正多邊形之間的位置和數(shù)量關(guān)系，側(cè)重于“圓”知識學(xué)習(xí)的完整性和系統(tǒng)性，重視圖形的性質(zhì)、圖形的變化和圖形的證明的有機結(jié)合.加拿大教材的順序是探究圓的切線、弦和角的性質(zhì)，側(cè)重于圖形性質(zhì)的探索過程，重視直觀感知、操作實驗和邏輯推理的有機結(jié)合.

第2，從教學(xué)內(nèi)容安排來看，加拿大教材中“圓”的內(nèi)容更加詳細.據(jù)統(tǒng)計，“圓”內(nèi)容的對應(yīng)篇幅數(shù)，人教版47頁，加拿大教材40頁；知識點數(shù)，人教版37個，加拿大教材32個.兩國教材篇幅相差不大，相比加拿大教材，人教版雖在內(nèi)容上新增了圓與多邊形的關(guān)系（扇形和弧長知識點加拿大在G8第八單元已經(jīng)介紹過），但加拿大教材在垂徑定理的推論、弦切角、圓周角與圓外角的關(guān)系等知識點上均深入介紹過.相比之下，我國教材雖然涉及知識點更多，但沒有加拿大教材呈現(xiàn)的詳細和深入.

3呈現(xiàn)方式比較

3.1總體結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)方式比較

人教版“圓”內(nèi)容總體結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)方式是：章前言→各節(jié)知識內(nèi)容→本節(jié)習(xí)題→閱讀思考→數(shù)學(xué)活動→本章小結(jié)→本章復(fù)習(xí)題.其中每小節(jié)的知識呈現(xiàn)按照“探究→知識講解→例題教學(xué)→練習(xí)”的方式展開.新知識的呈現(xiàn)多以設(shè)問的形式導(dǎo)出，并且在每一個知識呈現(xiàn)后會有嚴謹?shù)倪壿嬐评?，使推理論證成為學(xué)生觀察、實驗、探究得出結(jié)論后的自然延續(xù)，展現(xiàn)思維過程.符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》提出的“讓學(xué)生經(jīng)歷歸納、概括事物本質(zhì)的過程，獲得數(shù)學(xué)概念等研究對象”[5]的相關(guān)要求.

加拿大教材的知識呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)有所不同.其整體的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)方式是：本章目標→關(guān)鍵詞→各節(jié)知識內(nèi)容→幾何軟件操作驗證→章節(jié)期中測試→學(xué)習(xí)指南→章末復(fù)習(xí).每小節(jié)呈現(xiàn)方式較為固定，通常為：每節(jié)目標呈現(xiàn)→操作探究→反思和小組分享→知識呈現(xiàn)→例題教學(xué)→討論思考→本節(jié)練習(xí)→本節(jié)回顧.在例題教學(xué)中配有詳細的解答過程和所運用的知識點，考慮到了所有學(xué)生的學(xué)習(xí)需要；在每道練習(xí)題之后會有設(shè)問“你用到了哪些圓的性質(zhì)解決問題？”相當于對之前問題的回顧與反思.

相比較而言，人教版在知識講解上遵循先思考探究再推理證明的過程，重視研究方法的引導(dǎo)，使學(xué)生在熟悉“規(guī)范證明”的基礎(chǔ)上，推理論證能力有所提高和發(fā)展.加拿大教材則淡化了定理證明的內(nèi)容，在歷經(jīng)動手操作和測量后，開門見山式地給出概念、性質(zhì)或定理.

從“圓”知識總體呈現(xiàn)方式來看，人教版主要按照“圓中弦的性質(zhì)→角的性質(zhì)→切線的性質(zhì)”的順序編排；加拿大教材則是以“切線的性質(zhì)→弦的性質(zhì)→角的性質(zhì)”展開，可以發(fā)現(xiàn)兩種教材在圓相關(guān)性質(zhì)的呈現(xiàn)方式是相反的.

3.2相同內(nèi)容呈現(xiàn)方式比較

（1）垂徑定理

兩國教材在垂徑定理的導(dǎo)入有相似之處，均鼓勵學(xué)生通過折疊圓形紙片發(fā)現(xiàn)圓的對稱性，結(jié)合圓的對稱性發(fā)現(xiàn)垂徑定理及其推論.但在知識呈現(xiàn)的形式上兩國教材有明顯區(qū)別.人教版通過嚴謹?shù)膸缀巫C明得到了垂徑定理的內(nèi)容“垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧”進一步得到垂徑定理的推論.但通過進一步的探索會發(fā)現(xiàn)，垂直于弦的線段不一定非得是直徑，只需要一條經(jīng)過圓心的線段垂直于弦即可得到垂徑定理的相關(guān)結(jié)論.這一點在教材上沒有明確地說明，但在例題教學(xué)中呈現(xiàn)了一般情況，需要教師進一步做解釋和說明.相比之下，加拿大教材的呈現(xiàn)方式更加直觀.如圖1，其在講解垂徑定理條件時運用的文字是“過圓心垂直于弦的線段”并且以圖例，文字說明和數(shù)學(xué)語言的推理過程解釋垂徑定理及其推論.

在垂徑定理的例題教學(xué)部分，兩國教材均從不同的角度引導(dǎo)學(xué)生理解和運用垂徑定理.人教版以計算趙州橋的半徑為例讓學(xué)生在實際背景中結(jié)合垂徑定理和勾股定理解決求值問題.加拿大教材則是提供了三個例子，分別是在三角形中求角度、結(jié)合勾股定理求長度和運用弦的性質(zhì)求出水面最深處的實際問題.兩國教材在例題教學(xué)部分均展示了詳細的解答過程，幫助學(xué)生理解垂徑定理的運用.

（2）切線的性質(zhì)

在呈現(xiàn)切線的性質(zhì)時兩國教材有著異曲同工之妙.均規(guī)避了對于學(xué)生而言較為困難嚴謹?shù)膸缀巫C明過程，加拿大教材通過讓學(xué)生自己測量切線和過切點的半徑形成的角度得到結(jié)論“圓的切線垂直于過切點的半徑”.人教版則運用切線的判定定理引導(dǎo)學(xué)生思考切線與過切點的半徑的位置關(guān)系，直接給出了切線的性質(zhì)定理，不要求學(xué)生掌握反證法的證明方法.與人教版不同之處在于，加拿大教材在介紹完切線的性質(zhì)后，羅列了三個對應(yīng)例題.讓筆者眼前一亮的是題目呈現(xiàn)了兩條切線并要求學(xué)生尋找圓心的位置，既考查了切線性質(zhì)的運用，同時訓(xùn)練了學(xué)生尺規(guī)作圖的能力，如圖2.

（3）圓周角定理

加拿大教材在圓周角定理的證明上比較簡單，通過讓學(xué)生測量同弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系后得到同弧所對圓周角和圓心角的關(guān)系.并且教材所展示圖例也很單一，僅考慮了圓心在圓周角內(nèi)部的這一種情況.人教版非常重視圓周角定理的證明，教材運用了完全歸納法來證明圓周角定理.以圓上任意一點為頂點的圓周角雖然有無數(shù)多個，但它們與圓心的位置關(guān)系歸納起來只有三種情況：圓心在角的一邊上；圓心在角的內(nèi)部；圓心在角的外部.因此，圓周角定理的證明有三種情況，如圖3.這樣的安排有利于讓學(xué)生理解分類證明的必要性，進一步培養(yǎng)其推理論證的能力.

4題目設(shè)置比較

4.1題目數(shù)量比較

人教版“圓”部分的題目分四種類型：例題、練習(xí)、每小節(jié)對應(yīng)的習(xí)題和章末的復(fù)習(xí)題.其中習(xí)題和章末復(fù)習(xí)題分為三個層次：復(fù)習(xí)鞏固、綜合運用和拓廣探索.加拿大教材“圓”部分的題目共有四種類型：例題、練習(xí)、章節(jié)期中復(fù)習(xí)題和章末復(fù)習(xí)題.此外，在加拿大教材的練習(xí)中會引入新的知識點，例如切線長定理、圓內(nèi)接四邊形對角互補、弦切角等內(nèi)容均在練習(xí)部分加以說明，而未在正文展示.這就解釋了為什么在目錄中加拿大教材僅有三節(jié)內(nèi)容，但在篇幅和知識點數(shù)量上卻與人教版相差不大的情況.因此，加拿大教材的練習(xí)不僅僅是鞏固知識，還承載著拓展新知識點的功能.兩國“圓”部分題目數(shù)量比較見表2，括號中的百分比表示該部分題在總題目數(shù)量中所占的比例.

從表2可以看出，兩國教材在例題部分占比旗鼓相當，說明兩者對于示范教學(xué)的重視程度相近.加拿大教材在練習(xí)題部分的比重明顯多于人教版，說明其更加重視對知識點的及時訓(xùn)練和鞏固.但在復(fù)習(xí)題部分，加拿大教材卻是望塵莫及，反映出人教版更強調(diào)課后的鞏固復(fù)習(xí)，這也許和中國實行雙基教育有著悠久的歷史有關(guān).與人教版有所不同的是，加拿大教材還包含了章節(jié)期中復(fù)習(xí)題，這說明其重視對學(xué)生階段學(xué)習(xí)的檢測.

4.2題目難度比較

在習(xí)題難度比較方面，借鑒吳立寶等對習(xí)題難度的刻畫方式[6]對比兩國教材“圓”章節(jié)習(xí)題的難度.習(xí)題難度N從要求水平（YQ）、知識點個數(shù)（ZS）、習(xí)題背景（BJ）三個方面進行刻畫，權(quán)重分別取0.38，0.36和0.26.

1.要求水平

根據(jù)圓內(nèi)容部分特點，將習(xí)題要求水平分為模仿、理解、運用、探究，分別賦值1，2，3，4.兩個版本教科書圓習(xí)題要求水平情況如表3.

2.知識點個數(shù)

知識點個數(shù)分為含1個知識點、含2個知識點、含3個知識點、含4個知識點以及以上四級，分別賦值1，2，3，4.兩國教材“圓”習(xí)題包含知識點個數(shù)情況見表4.

3.習(xí)題背景

習(xí)題背景主要分為無背景、個人生活背景、公共常識背景、科學(xué)背景四級，分別賦值1，2，3，4.兩國教材“圓”習(xí)題背景情況如表5.

4.習(xí)題難度

將兩個版本“圓”習(xí)題在要求水平、知識點個數(shù)和習(xí)題背景三個維度的結(jié)果進行匯總，情況見表6.

5信息技術(shù)使用的比較

加拿大教材十分關(guān)注信息技術(shù)的運用.在“圓”章節(jié)中有4頁篇幅的內(nèi)容在詳細說明如何用幾何軟件驗證所學(xué)知識.在學(xué)習(xí)完切線性質(zhì)和垂徑定理后，教材安排了章節(jié)的第一次信息技術(shù)的詳細學(xué)習(xí).內(nèi)容設(shè)置類似軟件的使用說明書，教學(xué)生分7步驗證切線的性質(zhì)；再分6步驗證垂徑定理，學(xué)生可以獨立地按照步驟自己進行軟件操作.第二次信息技術(shù)的細致學(xué)習(xí)被安排在學(xué)習(xí)完圓周角定理之后，構(gòu)造的圓周角情況十分周全，教學(xué)生拖動動點位置不僅可以在劣弧上，同時也在優(yōu)弧上運動，嚴謹?shù)仳炞C了圓周角定理.

加拿大教材在“圓”章節(jié)中共有12處運用了信息技術(shù)，其中包括用動態(tài)幾何軟件驗證定理，用圖形計算器計算例題中的線段長度.在專欄“我如何學(xué)好數(shù)學(xué)”中，詳細說明了運用幾何軟件和計算器研究數(shù)學(xué)的優(yōu)勢，便于直觀理解.

相比之下，人教版在“圓”章節(jié)僅有兩處提及了信息技術(shù)的運用.一處是在圓周角定理的證明時，提示學(xué)生可以用計算機軟件度量圓周角和圓心角，鼓勵有條件的同學(xué)嘗試.另一處是在研究直線和圓的位置關(guān)系時，說明可以利用信息技術(shù)工具研究直線和圓的位置關(guān)系.但兩處都只是簡單的敘述，沒有具體的操作步驟.相比我國教材，加拿大教材在很多地方均使用了信息技術(shù).我國教材中的信息技術(shù)形同虛設(shè)，教師在教學(xué)中也不夠重視[7].

6對我國教材建設(shè)的啟示

6.1適當調(diào)整教材結(jié)構(gòu)，豐富欄目設(shè)計

學(xué)習(xí)“圓”章節(jié)不僅要研究圓中的基本要素，還要探索與圓有關(guān)的性質(zhì)，故而其本身內(nèi)容十分豐富，并且學(xué)習(xí)“圓”的內(nèi)容時經(jīng)常要用到前面學(xué)過的幾何知識.因此“圓”章節(jié)綜合性很強，是老師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的重點和難點.人教版的呈現(xiàn)方式是以問題思考為引子，歷經(jīng)操作探究和幾何證明后習(xí)得定理和性質(zhì)，再運用知識完成例題和習(xí)題，然而卻缺乏了引導(dǎo)學(xué)生自我反思和內(nèi)化知識的過程.相比之下，加拿大教材在每小節(jié)之后增設(shè)了反思的欄目，引導(dǎo)學(xué)生畫思維導(dǎo)圖，或以文字梳理的方式回顧本節(jié)內(nèi)容和知識.反思欄目會讓學(xué)生舉生活中的實例來說明定理和性質(zhì)，或者舉一些社會話題讓學(xué)生感知圓有關(guān)的性質(zhì)在生活中的運用.如在8.1切線的性質(zhì)末尾，加拿大教材聯(lián)系奧運五環(huán)的位置關(guān)系增強學(xué)生對性質(zhì)的理解.

為了加強圓知識間的聯(lián)系與綜合，兩國教材均設(shè)置了章末小結(jié).我國教材的章末小結(jié)以知識結(jié)構(gòu)圖和六個問題總結(jié)本章內(nèi)容；而加拿大教材則將本章涉及的所有定理和性質(zhì)以“圖示+文字”的方式回顧本章內(nèi)容.兩種方式都可以有效地將本章內(nèi)容聯(lián)系起來，形成知識網(wǎng).此外加拿大教材還增設(shè)了學(xué)習(xí)指南的欄目，介紹了學(xué)習(xí)圓相關(guān)知識的三種策略：可以通過動手操作、信息技術(shù)和嚴謹?shù)膸缀巫C明學(xué)習(xí)相關(guān)的性質(zhì)和定理.這也正是研究平面幾何圖形的一般規(guī)律即歷經(jīng)直觀感知、操作實驗和邏輯推理最終探索得到知識.我國教材的編寫可以借鑒這種方式，增設(shè)一些新的欄目，幫助讀者掌握研究的一般規(guī)律，從圓這個特殊的幾何圖形到所有的圖形，達到“窺一斑而知全豹”的效果.

6.2突出圓的核心概念，把握性質(zhì)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)

圓的核心概念，包括圓的定義，以及弧、弦、圓周角和圓心角的定義.這些核心概念是進一步研究圓與其他圖形位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的主要依據(jù).人教版教材就是按照這樣的順序進行編寫的，旨在學(xué)生認知螺旋式上升.但圓的定義在第一個小節(jié)“曇花一現(xiàn)”后便沒有再出現(xiàn)在讀者的視野中.“到一點距離為定長的點的集合”已經(jīng)使用了集合的概念來說明圓的定義，涉及高中的集合思想，可以稍作展開加以講解.或者如加拿大教材的處理方式，將其與函數(shù)圖象結(jié)合，橫軸為時間，縱軸記為到一點的距離，在圖象上展示出來便是一條平行于x軸的直線.將其與函數(shù)圖象結(jié)合理解圓的定義也是很特別的方式.

另外，我國教材在介紹圓的切線判定和性質(zhì)時，練習(xí)著重針對訓(xùn)練學(xué)生判定圓的切線和利用切線的性質(zhì)求值的能力，欠缺了與之前所學(xué)的圓其他性質(zhì)的聯(lián)系.相比之下，加拿大教材在圓周角定理中安排了有關(guān)探究“弦切角”的練習(xí)，就很好地兼顧了切線性質(zhì)和圓周角定理的運用.因此，我國教材在設(shè)置章節(jié)后期內(nèi)容時應(yīng)該考慮到圓的整體性質(zhì)的銜接，嘗試將之前所學(xué)的圓心角、圓周角和弦的性質(zhì)與切線的性質(zhì)結(jié)合，把握圓的性質(zhì)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).

6.3優(yōu)化習(xí)題要求水平，注重習(xí)題的背景多樣化

人教版的例題和習(xí)題緊扣本章內(nèi)容，強調(diào)對知識點的反復(fù)練習(xí)和強化.其中模仿和運用層級的習(xí)題最多，缺乏探究層級的練習(xí)，不利于培養(yǎng)學(xué)生獨立思考探究的能力.因為學(xué)生對定理和性質(zhì)的理解僅僅停留在模擬教材的例題以及在模仿的基礎(chǔ)上辨別知識點的運用，當學(xué)生在解決新情境下圓與其他知識的綜合問題時，缺乏分析問題的能力，缺乏將未知轉(zhuǎn)化為已知的思考.加拿大教材則側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生在新的情境中分析和解決問題的能力，習(xí)題設(shè)置豐富多彩，強調(diào)圓各種性質(zhì)的運用.其將圓與函數(shù)、圓與四邊形、圓與三角形相似結(jié)合創(chuàng)設(shè)不同的情境，引導(dǎo)學(xué)生用不止一種方法解決問題，開拓學(xué)生思維.因此，我國教材可以將圓置于圖形與幾何這個更大的單元中加以思考，不僅能將圓內(nèi)部的知識打通形成網(wǎng)絡(luò)，也可以在習(xí)題部分融入其他幾何圖形和性質(zhì)的運用，強調(diào)變式訓(xùn)練，促進學(xué)生從不同角度理解知識，增強知識運用的靈活性，并構(gòu)建起結(jié)構(gòu)更合理的的知識網(wǎng)絡(luò).

在習(xí)題背景方面，我國教材中習(xí)題略顯背景單一，“圓”章節(jié)習(xí)題中半數(shù)以上的題目均為無背景的純數(shù)學(xué)計算，蘊含背景的習(xí)題也多為個人生活和公共常識.其中個人生活背景題目占比為10.42%，題目涉及學(xué)生體育課跑圈問題、校園綠化帶美化問題等，主要圍繞學(xué)生校園生活展開，背景略顯單一.建議適當增加我國教材習(xí)題背景的多樣化，進一步加強圓與現(xiàn)實生活、數(shù)學(xué)知識和其他學(xué)科之間的聯(lián)系.加拿大教材中科學(xué)背景習(xí)題占比為11.25%，涉及歷史學(xué)、航天科學(xué)、社會研究等方面豐富的背景，使得教材更加貼近生活實際，增強學(xué)生運用圓的知識解決現(xiàn)實生活及其他學(xué)科問題的意識和能力.

6.4加強現(xiàn)代信息技術(shù)的合理使用，在動態(tài)變化中發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)

現(xiàn)代信息技術(shù)特別是計算機、計算器等對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了不同程度的沖擊，許多國家已將其納入到數(shù)學(xué)教科書中，成為一種認知工具.根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的需求，選用合適的信息技術(shù)工具，充分利用它的運算作圖、展示過程、探究規(guī)律等功能，可以使學(xué)生能夠更好地認識數(shù)學(xué)的本質(zhì)、探究數(shù)學(xué)問題.加拿大教材詳細介紹了動態(tài)幾何軟件和繪圖計算器的運用，讓圖形動起來，引導(dǎo)學(xué)生在動態(tài)變化過程中發(fā)現(xiàn)圓的相關(guān)性質(zhì)，運用信息技術(shù)可以很方便地測量弦的長度和圓中的角度，有利于發(fā)現(xiàn)其中變與不變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.同時在習(xí)題計算中，使用圖形計算器取代了繁瑣的計算，降低了解題時的重復(fù)性和機械性，大大提高了教學(xué)的效率.人教版僅有兩處以“小貼士”的方式提醒學(xué)生可以運用信息技術(shù)測量圓中角度和探究圓與直線的位置關(guān)系，但缺乏明確的指導(dǎo)，沒有可操作性.基于此，我國教材可以針對軟件和圖形計算器的使用加以介紹，并輔之具體的示范過程，方便學(xué)生在動態(tài)變化中發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì).

參考文獻

[1]章建躍.“圓”的課程教材設(shè)計與教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報，2020，59（07）：1-7，34.

［2］蔡慶有，黃燕蘋，金美月，等.中日韓小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的對比研究[J].課程·教材·教法，2014，34（07）：114-120.

［3］秦梅，虞秀云.中美初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容呈現(xiàn)的比較：以“圓的弧與弦的有關(guān)性質(zhì)”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016，（08）：27-31.

［4］何雙.中加小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“圖形與幾何”的比較研究[D].武漢：華中師范大學(xué)，2021：37.

［5］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學(xué)出版社.2022.

［6］吳立寶，王建波，曹一鳴.初中數(shù)學(xué)教科書習(xí)題國際比較研究[J].課程·教材·教法，2014，34（02）：112-117.

[7]吳駿，胡鵬艷，朱維宗，等.中國與新加坡高中數(shù)學(xué)教材復(fù)數(shù)內(nèi)容比較研究[J].數(shù)學(xué)通報，2016，55（01）：12-16.

作者簡介沈愛桐（1997—），女，云南昆明人，碩士研究生;研究方向為數(shù)學(xué)教育研究.

楊亞平（1987—），女，云南大理人，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師;研究方向為STEM教育和數(shù)學(xué)教育研究.