高中數(shù)學(xué)課堂融入數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的策略探究

【摘要】在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，部分學(xué)生難以將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題有效結(jié)合，導(dǎo)致數(shù)學(xué)應(yīng)用能力不足.針對(duì)這一問(wèn)題，文章對(duì)數(shù)學(xué)建模的完整流程進(jìn)行細(xì)致的拆解，并結(jié)合湘教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)“6.4數(shù)學(xué)建模案例（二）：曼哈頓距離”這一知識(shí)點(diǎn)，詳細(xì)闡述將數(shù)學(xué)建模活動(dòng)融入高中數(shù)學(xué)課堂的具體策略：一是創(chuàng)設(shè)情境，提出具有現(xiàn)實(shí)意義的建模問(wèn)題；二是引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；三是指導(dǎo)學(xué)生求解模型，并檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行?；四是將模型?yīng)用于實(shí)際，解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，力圖提供一套可操作性強(qiáng)、注重實(shí)效的數(shù)學(xué)建模教學(xué)策略，從而豐富高中數(shù)學(xué)課堂、培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題的能力.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模；高中數(shù)學(xué)；“曼哈頓距離”

引 言

在當(dāng)今快速變化的信息時(shí)代，數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)早已超越單純的知識(shí)傳授，轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維、問(wèn)題解決能力和實(shí)踐應(yīng)用能力.然而，傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教育存在側(cè)重于公式的記憶與應(yīng)用，忽視數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的緊密聯(lián)系的問(wèn)題，導(dǎo)致學(xué)生難以體會(huì)到數(shù)學(xué)的實(shí)際價(jià)值與魅力.這種理論與實(shí)踐之間的鴻溝，不僅限制了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的深層次理解，也降低了學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題的能力，使其在面對(duì)跨學(xué)科挑戰(zhàn)時(shí)顯得力不從心.為了彌補(bǔ)這一教育短板，近年來(lái)，數(shù)學(xué)建模作為一種有效的教學(xué)手段，逐漸受到了教育工作者的重視.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》也指出，通過(guò)高中數(shù)學(xué)的系列課程學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能夠在現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，學(xué)會(huì)通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，以落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).此處的“數(shù)學(xué)建?！?，就是將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的過(guò)程，它要求學(xué)生不僅要掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，還要學(xué)會(huì)運(yùn)用這些知識(shí)去理解和解決實(shí)際問(wèn)題.這一過(guò)程不僅能夠鍛煉學(xué)生的邏輯思維和創(chuàng)新能力，還能提高學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作與溝通能力，為其未來(lái)的學(xué)術(shù)研究和職業(yè)生涯打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

一、數(shù)學(xué)建模流程拆解

數(shù)學(xué)模型是對(duì)一類(lèi)實(shí)際問(wèn)題或?qū)嶋H系統(tǒng)發(fā)生的現(xiàn)象運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)體系表示的一種（近似的）描述.在正式展開(kāi)數(shù)學(xué)建模之前，首先要對(duì)需要解決問(wèn)題的實(shí)際背景和內(nèi)在機(jī)理進(jìn)行深刻的了解，即“通過(guò)適當(dāng)?shù)恼{(diào)查和研究所解決的問(wèn)題是什么？所要達(dá)到的主要目的是什么？”在此基礎(chǔ)上，將數(shù)學(xué)建模流程拆解為假設(shè)、建立、求解、分析與檢驗(yàn)、應(yīng)用等核心環(huán)節(jié)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的深入剖析和精確求解.數(shù)學(xué)建模流程如圖1所示.

模型準(zhǔn)備完畢后，通過(guò)對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的深入挖掘，找出問(wèn)題的核心要素，以篩選出對(duì)問(wèn)題解決起到關(guān)鍵作用的主要因素.針對(duì)問(wèn)題的具體特點(diǎn)，進(jìn)行合理的抽象處理，去除不必要的細(xì)節(jié)，并運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言提出恰當(dāng)?shù)募僭O(shè).隨后，緊密貼合問(wèn)題特征，區(qū)分常量與變量、已知與未知，使用數(shù)學(xué)工具將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，量化各個(gè)變量之間的關(guān)系.

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型之后，再針對(duì)不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)模型，采用相應(yīng)的求解方法.模型求解的目標(biāo)是找到問(wèn)題的最優(yōu)解或滿意解，為實(shí)際問(wèn)題的解決提供理論依據(jù).為了驗(yàn)證所建模型的有效性，結(jié)合實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)模型求解的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)分析.如果發(fā)現(xiàn)模型預(yù)測(cè)與實(shí)際情況存在顯著偏差，而建模和求解步驟又都正確無(wú)誤，那么問(wèn)題往往出在模型的假設(shè)環(huán)節(jié).此時(shí)，就需要回溯到建模的早期階段，對(duì)那些可能不夠準(zhǔn)確或不切實(shí)際的假設(shè)進(jìn)行重新審視和修正.通過(guò)這樣反復(fù)驗(yàn)證、分析和修正，逐步剔除模型中的不合理因素，增強(qiáng)其適用性和可靠性，使數(shù)學(xué)模型不僅能夠在理論上自洽，更能夠在實(shí)踐中有效地指導(dǎo)問(wèn)題的解決，為實(shí)際問(wèn)題的決策提供科學(xué)、精確的支持.

二、高中數(shù)學(xué)課堂融入數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的具體策略———以“曼哈頓距離”模型為例

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出建模問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)課程中，空間幾何部分因其抽象性和復(fù)雜性，常常成為學(xué)生學(xué)習(xí)的“攔路虎”.部分學(xué)生在面對(duì)空間幾何問(wèn)題時(shí)，往往束手無(wú)策，只能死記硬背公式和定理.為了改變這一現(xiàn)狀，教師在教學(xué)過(guò)程中創(chuàng)設(shè)情境顯得尤為重要.而創(chuàng)設(shè)情境的目的在于，讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，自然而然地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，而不是單純地記憶公式和定理.通過(guò)這樣的教學(xué)策略，學(xué)生不僅能夠掌握“曼哈頓距離”這一數(shù)學(xué)概念，更重要的是，學(xué)生能夠意識(shí)到將數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界的意義，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性和意義感.

為了讓學(xué)生更好地理解幾何概念，教師可以從日常生活中尋找素材，創(chuàng)設(shè)一個(gè)生動(dòng)且貼近學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的情境，讓“曼哈頓距離”的概念自然而然地浮現(xiàn).例如，教師可以構(gòu)建一個(gè)城市規(guī)劃的情境：假設(shè)學(xué)生被邀請(qǐng)參與設(shè)計(jì)一座未來(lái)城市的交通網(wǎng)絡(luò)，其中一條街道系統(tǒng)采用了曼哈頓網(wǎng)格布局，即所有街道都是正交的，要么南北向，要么東西向.

考慮到高中生已經(jīng)具備一定的抽象思維能力和操作技能，教師可以靈活利用地圖軟件或地理信息系統(tǒng)（GIS）工具，讓學(xué)生在電子地圖上自主標(biāo)記出起點(diǎn)和終點(diǎn)，并通過(guò)拖動(dòng)、縮放等操作，細(xì)致地研究每一條路徑的走向.“曼哈頓距離”示意圖如圖2所示.

通過(guò)在電子地圖上直觀地觀察不同路徑的走向，學(xué)生能夠更加深刻地理解路徑規(guī)劃背后的數(shù)學(xué)原理.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)，假設(shè)普通人要從一個(gè)街區(qū)A走到另一個(gè)街區(qū)B，那就只能繞著建筑物走.那么，學(xué)生就會(huì)自然而然地思考：“如何計(jì)算從一個(gè)街區(qū)A到另一個(gè)街區(qū)B的步行距離？”這時(shí)，教師就可以適時(shí)引入“曼哈頓距離”這一概念，通過(guò)將抽象的數(shù)學(xué)概念嵌入具體的生活場(chǎng)景中，使學(xué)生更為直觀地理解“曼哈頓距離”的含義，即兩點(diǎn)之間的水平和垂直距離之和.隨后，教師可以進(jìn)一步深化情境，引入城市緊急救援服務(wù)等實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考“在發(fā)生緊急情況時(shí)，救護(hù)車(chē)需要從醫(yī)院出發(fā)前往事故現(xiàn)場(chǎng)，如何選擇最短路線？”這一問(wèn)題.這種情境的設(shè)定，不僅能夠引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)提出建模問(wèn)題，還可培養(yǎng)其解決復(fù)雜問(wèn)題的綜合技能.

（二）分析問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，當(dāng)教師拋出一個(gè)具體的建模問(wèn)題，如計(jì)算兩點(diǎn)間沿網(wǎng)格行進(jìn)的最短距離時(shí)，接下來(lái)就需要細(xì)致地指導(dǎo)學(xué)生如何運(yùn)用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述這個(gè)問(wèn)題.具體而言，學(xué)生需要將現(xiàn)實(shí)生活中復(fù)雜的街區(qū)布局抽象化，將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型.換言之，就是將每個(gè)街區(qū)看作平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)獨(dú)立點(diǎn)，而連接這些街區(qū)的街道則對(duì)應(yīng)于坐標(biāo)軸上的線段.

通過(guò)這樣的轉(zhuǎn)化，原本紛繁復(fù)雜的街區(qū)距離問(wèn)題變得清晰起來(lái).學(xué)生現(xiàn)在面對(duì)的是一個(gè)在坐標(biāo)系中計(jì)算兩點(diǎn)之間距離的問(wèn)題.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生需要深入理解坐標(biāo)系的構(gòu)建原理，明確每個(gè)點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置，以及如何通過(guò)坐標(biāo)軸上的距離來(lái)表示實(shí)際街區(qū)之間的距離.這樣一來(lái)，原本看似難以入手的實(shí)際問(wèn)題，就變成了一個(gè)可以通過(guò)數(shù)學(xué)方法精確求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例如，教師可以為學(xué)生提供一道例題：“某地三個(gè)新建居民區(qū)的位置分別位于三點(diǎn)D（3，20），E（-10，0），F(xiàn)（14，0），計(jì)劃在x軸上方區(qū)域（包括x軸）內(nèi)的某一點(diǎn)M處修建一個(gè)體育館，試確定點(diǎn)M的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的‘曼哈頓距離’最小.”在學(xué)生閱讀完題目后，教師需要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回顧平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)知識(shí)，并鼓勵(lì)學(xué)生繪制本道例題的坐標(biāo)系配圖，將居民區(qū)D，E，F(xiàn)的位置在圖上標(biāo)出，思考體育館M可能的位置.坐標(biāo)系配圖如圖3所示.

接下來(lái)，教師指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.首先，讓學(xué)生明確“曼哈頓距離”的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)之間的“曼哈頓距離”等于這兩點(diǎn)在x軸方向上的距離與y軸方向上的距離之和.然后，教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題中的街區(qū)坐標(biāo)代入“曼哈頓距離”公式.設(shè)體育館的位置為M（x，y），居民區(qū)到體育館的距離為Z，得到式（1），從而建立數(shù)學(xué)模型.

在這個(gè)過(guò)程中，教師要注意以下幾點(diǎn)：（1）強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型的合理性，確保模型能夠準(zhǔn)確地反映實(shí)際問(wèn)題；（2）引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注模型中的變量和參數(shù)，理解它們?cè)趯?shí)際問(wèn)題中的意義；（3）鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，如坐標(biāo)系、距離公式等，進(jìn)行模型構(gòu)建.通過(guò)這樣的教學(xué)策略，學(xué)生不僅能夠掌握“曼哈頓距離”的數(shù)學(xué)模型，還能夠?qū)W會(huì)如何將實(shí)際問(wèn)題抽象化，用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行分析和解決.

（三）求解模型，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ托Ч?/p>

進(jìn)一步，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生利用絕對(duì)值的性質(zhì)來(lái)求解X和Y的最小值.由此，學(xué)生可以推導(dǎo)出在水平方向上，當(dāng)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)x等于D點(diǎn)的橫坐標(biāo)3時(shí)，水平距離X達(dá)到最小值；同理，在垂直方向上，當(dāng)M點(diǎn)的縱坐標(biāo)y等于0時(shí)，垂直距離Y達(dá)到最小值.通過(guò)一步步的引導(dǎo)和計(jì)算，教師可鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)出本題的答案：當(dāng)體育館的位置設(shè)定在點(diǎn)M（3，0）時(shí)，它到三個(gè)居民區(qū)的“曼哈頓距離”是最小的.

在完成模型的求解步驟后，教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型效果的驗(yàn)證.學(xué)生需要將求得的點(diǎn)M（3，0）代入最初建立的“曼哈頓距離”模型中，通過(guò)計(jì)算得出該點(diǎn)到三個(gè)居民區(qū)的最小“曼哈頓距離”為44.為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，學(xué)生可以隨機(jī)選取其他幾個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，如（4，0），（3，1），（8，8）等，然后分別計(jì)算這些點(diǎn)到三個(gè)居民區(qū)的“曼哈頓距離”，并將計(jì)算結(jié)果與點(diǎn)M（3，0）的距離進(jìn)行比較.

在這個(gè)過(guò)程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生記錄下每一步的中間結(jié)果，以及最終得到的“曼哈頓距離”，這樣的記錄有助于在后續(xù)的驗(yàn)證環(huán)節(jié)中復(fù)查計(jì)算過(guò)程，確保沒(méi)有遺漏或錯(cuò)誤.通過(guò)比較這些計(jì)算結(jié)果，如果學(xué)生發(fā)現(xiàn)無(wú)論是M點(diǎn)附近的坐標(biāo)還是較遠(yuǎn)位置的坐標(biāo)，其“曼哈頓距離”都無(wú)一例外地大于44，那么就表明最初求解得到的點(diǎn)M（3，0）確實(shí)是使得“曼哈頓距離”最小的點(diǎn)，從而驗(yàn)證了模型的正確性和求解過(guò)程的準(zhǔn)確性.

（四）結(jié)合實(shí)際，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

模型分析與檢驗(yàn)完成后，教師應(yīng)當(dāng)把握這個(gè)契機(jī)，繼續(xù)拓展學(xué)生思維的深度和廣度，不讓教學(xué)活動(dòng)就此停滯.具體而言，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將模型的視角從課堂延伸至更加廣闊的生活領(lǐng)域，提出與學(xué)生日常生活緊密相關(guān)的新問(wèn)題.

一方面，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生采用之前所構(gòu)建的模型，來(lái)解決新的、類(lèi)似的數(shù)學(xué)問(wèn)題.例如，教師可以提出以下問(wèn)題：“考慮到城市綠化帶的布局，我們有一片綠化區(qū)域需要定期進(jìn)行維護(hù).該區(qū)域有三個(gè)維護(hù)站點(diǎn)P（2，8），Q（6，-4），R（-3，-2），以及一個(gè)資源中心S（0，0），現(xiàn)需要確定一條從資源中心出發(fā)，經(jīng)過(guò)所有維護(hù)站點(diǎn)的最短巡回路徑，以便高效地進(jìn)行資源配送.請(qǐng)利用‘曼哈頓距離’模型來(lái)規(guī)劃這條路徑.”在這個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生不僅需要計(jì)算兩點(diǎn)在同一象限內(nèi)的距離，還要思考不同象限的正負(fù)坐標(biāo)如何影響距離的計(jì)算.通過(guò)這種坐標(biāo)點(diǎn)的變化，讓學(xué)生更為直觀地認(rèn)識(shí)到，“曼哈頓距離”實(shí)際上是由橫向和縱向距離的絕對(duì)值之和構(gòu)成的，從而更深刻地領(lǐng)悟到“曼哈頓距離”的本質(zhì)，以及在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)如何靈活運(yùn)用這一知識(shí)點(diǎn).

另一方面，教師可以進(jìn)一步拓展學(xué)生的思維，鼓勵(lì)學(xué)生考慮現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的多重變量.例如，教師可以引導(dǎo)學(xué)生探討：“若要在城市中規(guī)劃一條新的緊急救援路線，應(yīng)如何考慮道路的寬窄、交通信號(hào)的設(shè)置，以及可能的障礙物等因素，以確保救援車(chē)輛能夠快速且安全地到達(dá)目的地？”這要求學(xué)生在規(guī)劃路徑時(shí)，不僅要考慮最短距離，還要將安全因素納入模型，考慮交通事故多發(fā)區(qū)域、易滑路面或施工區(qū)域等潛在的安全隱患，進(jìn)而進(jìn)行更為復(fù)雜的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和路徑規(guī)劃.這種逐步深入的方式能夠在提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)意識(shí)———在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須采取多角度、多模型的分析方法，這樣才能得出更加全面和合理的解決方案，從而支持學(xué)生在未來(lái)的學(xué)習(xí)中，更加熟練地通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的融入，使得高中數(shù)學(xué)教學(xué)更加貼近實(shí)際，讓學(xué)生在解決具體問(wèn)題的過(guò)程中，自然而然地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)從知識(shí)傳授到能力培養(yǎng)的轉(zhuǎn)變.然而，要全面推廣數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，使之成為高中數(shù)學(xué)教育的常態(tài)，仍要克服諸多挑戰(zhàn).高中數(shù)學(xué)教育應(yīng)繼續(xù)深化數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的融入，不斷完善教學(xué)體系，創(chuàng)新教學(xué)方法.一方面，教師應(yīng)繼續(xù)提升自身對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)教學(xué)研究，積累更多成功案例；另一方面，學(xué)校和教育部門(mén)應(yīng)加大對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源的投入，建立與之相適應(yīng)的評(píng)價(jià)體系，為數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的深入開(kāi)展提供保障.相信通過(guò)持續(xù)的努力與創(chuàng)新，高中數(shù)學(xué)教育將迎來(lái)一個(gè)更加充滿活力與創(chuàng)造力的新篇章，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的廣闊天地里自由翱翔，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描繪世界的無(wú)限可能.

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[5]徐燕2b5f8a96fb960e9c80628b729a73f2848daa01a1edebd749cfc7f90a5463989a.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的實(shí)1c08ebbf454d4423b75f89772d94b0d89a1aed40bf84ffba1cea7935d5c31670踐研究：以“茶水問(wèn)題”為例[J].高考，2024（5）：136-139.

[6]張文濤.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)建模課程構(gòu)建與實(shí)施[J].中國(guó)教育學(xué)刊，2024（2）：1-8.

[7]徐金潤(rùn)，肖陽(yáng)芳，邵貴明，等.深度學(xué)習(xí)理念下高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的設(shè)計(jì)與思考：以“鞋碼與身高”為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2023，42（3）：17-22，26.

[8]盧龍.“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)：測(cè)量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”（第3課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2023（8）：53-60.

[9]李現(xiàn)勇.在數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)：以“生活中的三角函數(shù)”數(shù)學(xué)建模課為例[J].數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用，2022，11（4）：101-106.

[10]牛新榮.初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)研究：例談建構(gòu)主義學(xué)習(xí)環(huán)境下的初中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（18）：92-93.