基于除法運算法則的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方式研究

摘" 要：除法運算法則的教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)的一大難點.現(xiàn)有小學(xué)數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)的是基于畫圖說明與文字說明歸納得出除法運算法則的合情推理教學(xué)方式.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》提出了通過邏輯說理，推理得出除法運算法則的演繹推理教學(xué)方式.

本文以此作為研究問題，通過教學(xué)實驗研究合情推理與演繹推理兩種不同教學(xué)方式下學(xué)生學(xué)習(xí)除法運算法則的成效，進而探討學(xué)生更易接受的除法運算法則教學(xué)方式.

關(guān)鍵詞：除法運算法則；合情推理；演繹推理；實驗研究

本文以除法運算法則為主題，探究合情推理與演繹推理兩種不同教學(xué)方式下，何種教學(xué)方式學(xué)生更易接受，以期在教學(xué)過程中可以用最佳教學(xué)方式幫助學(xué)生理解除法運算法則，以提高學(xué)生對除法運算法則算法的應(yīng)用程度，深化學(xué)生對除法運算法則算理的理解，進而提升學(xué)生的運算能力.

1" 以合情推理教學(xué)方式為主，以演繹推理教學(xué)方式為輔

合情推理教學(xué)方式是指利用畫圖說明、文字說明歸納得出除法運算法則的教學(xué)方式.演繹推理教學(xué)方式是指在畫圖說明、文字說明基礎(chǔ)之上利用邏輯說理推理得出除法運算法則的教學(xué)方式.實驗研究表明，學(xué)生易于接受以畫圖說明與文字說明的方式歸納得出除法運算法則的合情推理教學(xué)方式，不易接受在此基礎(chǔ)上

利用邏輯說理推理得出除法運算法則的演繹推理教學(xué)方式.六年級的學(xué)生處于具體運算階段，他們的思維以具體形象思維為主，認知仍然要借助直觀感知，邏輯思維能力相對較弱.因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)以合情推理教學(xué)方式為主.除此之外，實驗研究顯示，有少部分學(xué)習(xí)能力較強的學(xué)生可以接受演繹推理教學(xué)方式.［1］

因此，在教學(xué)過程中，教師可以嘗試以演繹推理作為輔助的教學(xué)方式.這種以合情推理為主、演繹推理為輔的教學(xué)方式，不僅可以讓學(xué)習(xí)吃力的學(xué)生跟得上，讓學(xué)習(xí)中等的學(xué)生學(xué)得好，還可以讓學(xué)有余力的學(xué)生得到更高層次的發(fā)展.

第一，以合情推理教學(xué)方式為主.在除法運算法則教學(xué)過程中，

教師應(yīng)

遵循“觀察—猜想—驗證—結(jié)論”這一教學(xué)流程.首先，觀察階段.教師根據(jù)數(shù)學(xué)情境及問題，引導(dǎo)學(xué)生利用畫圖說明與文字說明的方式得出除法算式，如“1÷2=1×12”“2÷3=2×13”.其次，猜想階段.

教師根據(jù)除法算式，引導(dǎo)學(xué)生仔細觀察這兩個算式的計算過程并思考有什么發(fā)現(xiàn)

.再次，驗證階段.教師呈現(xiàn)類似例題，引導(dǎo)學(xué)生先根據(jù)猜想得出結(jié)果，再通過畫圖說明

與文字說明的方式

驗證結(jié)果是否正確.最后，結(jié)論階段.教師引導(dǎo)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程，總結(jié)歸納得到除法運算法則，即被除數(shù)除以除數(shù)（0除外），等于被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù).

第二，以演繹推理教學(xué)方式為輔.在除法運算法則教學(xué)過程中，教師可以以“推一推”的演繹推理教學(xué)方式輔助教學(xué).例如，在“2÷3=23”教學(xué)時，教師在學(xué)生通過畫圖說明與文字說明的方式理解列式計算結(jié)果后，告知學(xué)生還有一種“推一推”的方式可以理解算理.教師在呈現(xiàn)推理過程時，向?qū)W生說明每一步所依據(jù)的定義、公理、定理等數(shù)學(xué)基本事實，具體過程如下：①設(shè)2÷3=x；②根據(jù)除法是乘法的逆運算，得x×3=2；③根據(jù)等式的基本性質(zhì)，得x×3×13=2×13；④根據(jù)分數(shù)乘法相關(guān)知識，得x=2×13，即2÷3=2×13=23；⑤用字母表示除法運算法則，得a÷b=a×1b=ab.

2" 以畫圖說明為主，文字說明為輔，邏輯說理為拓展

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾（H. Freudenthal）認為，只有用邏輯關(guān)系建立結(jié)構(gòu)，它才成為數(shù)學(xué)，這個過程就是數(shù)學(xué)化.然而，這種數(shù)學(xué)化在實際教學(xué)中應(yīng)該從何時開始，進行到何種程度，是

教師所關(guān)注的問題.學(xué)生抽象思維尚且薄弱，知識儲備不夠豐富，能力水平參差不齊，是否適合“數(shù)學(xué)化”教學(xué)，是本研究關(guān)注的重點.實驗研究表明，學(xué)生在列式計算、畫圖說明、文字說明上均表現(xiàn)較好，在邏輯說理上表現(xiàn)較差，甚至在邏輯說理每一步的理解上也存在很大的問題.因此，六年級學(xué)生的現(xiàn)有水平不足以支撐學(xué)生理解邏輯說理方式.［2］另外，實驗結(jié)果還顯示，學(xué)生認為除法運算法則理解方式由易到難排序為畫圖說明、文字說明、邏輯說理，其中學(xué)生更傾向于利用畫圖說明與文字說明的方式解釋列式計算結(jié)果，僅有少部分學(xué)習(xí)能力較強的學(xué)生可以接受邏輯說理理解方式.當(dāng)然，這種基于邏輯說理的演繹推理教學(xué)方式也是在初中階段才正式開始，小學(xué)即使接觸也很少.通過研究可以證明借助畫圖說明與文字說明的方式理解列式計算結(jié)果是學(xué)生現(xiàn)階段的理解需求.因此，對于除法運算法則這一主題，教師不可提出過高的理解要求，要根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)有水平和理解需求制定符合學(xué)生實際的教學(xué)目標，一部分學(xué)生能夠結(jié)合具體例題或模型運用畫圖說明、文字說明的方式理解除法運算法則；另一部分學(xué)生能夠運用其他理解方式理解除法運算法則.基于此，在除法運算法則教學(xué)過程中，教師可以運用以畫圖說明為主，文字說明為輔，邏輯說理作為拓展的教學(xué)方式.

第一，以畫圖說明為主.史寧中教授提出，數(shù)學(xué)的結(jié)論是“看”出來的，不是“證”出來的.這依賴的就是數(shù)學(xué)直觀.實驗結(jié)果同樣表明學(xué)生認為畫圖說明這種直觀方式最容易理解.因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)以畫圖說明為主，根據(jù)學(xué)生的興趣特點，積極采用直觀表征的方式，如實物、圖象或者示意圖，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題以簡潔明了的形式呈現(xiàn)，使其更易于理解，幫助學(xué)生在探究新知時獲得更豐富的直觀感受，從而達到更好的學(xué)習(xí)效果.同時，在實驗實施過程中，還發(fā)現(xiàn)學(xué)生在畫圖說明方面容易出現(xiàn)平均分錯誤、單位“1”錯誤，教師在教學(xué)時可將這些典型錯誤以樣例的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生自主分析其中出現(xiàn)錯誤的類型及原因，進而降低錯誤率.此外，教師也可以讓學(xué)生準備錯題收集本，對典型的錯誤樣例加以記錄，通過整理與反思，加深理解與記憶.

第二，以文字說明為輔.語言是思維的載體，學(xué)生在反復(fù)“講道理”的過程中，就能逐漸理解算理.實驗結(jié)果顯示，學(xué)生文字說明掌握情況較好，但描述不全面.六年級的學(xué)生正處于具體運算階段到形式運算階段的過渡時期，不能考慮全面是這一階段學(xué)生的共性.［3］因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該以文字說明為輔，給學(xué)生提供更多的文字表達機會，并給予學(xué)生反饋與指導(dǎo)，糾正學(xué)生在描述中的不足之處，鍛煉學(xué)生的抽象思維能力.例如，在講解試題“把5塊餅平均分給3個小朋友，每人分得多少塊”時，首先，教師讓學(xué)生自行描述解題思路；其次，教師給予學(xué)生反饋與指導(dǎo)，向?qū)W生強調(diào)完整的描述應(yīng)該是“把1塊餅看作單位‘1’，平均分成3份，每人分得13塊，5塊餅就是5個13塊，即53塊”，指導(dǎo)重點是單位“1”、平均分、結(jié)果如何得出；最后，教師讓學(xué)生再次完整描述答題思路.

第三，以邏輯說理作為拓展.實驗研究表明，只有少部分學(xué)生可以完全理解邏輯說理過程，大部分學(xué)生在“除法是乘法的逆運算”“等式的基本性質(zhì)”“等量的等量相等”這幾步的理解上都存在較大的問題，故邏輯說理并非為全體學(xué)生所接受.因此，邏輯說理理解方式作為拓展教學(xué)內(nèi)容展開最佳.在引導(dǎo)學(xué)生進行演繹推理的過程中，教師要幫助學(xué)生養(yǎng)成“言而有據(jù)，行必有依”的習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生思考每一步的緣由，幫助學(xué)生在寫出每一步的同時，明確每一步所依據(jù)的定義、性質(zhì)、原理，真正理解為什么推理，“知其然而知其所以然”.當(dāng)然，在教學(xué)中以邏輯說理作為拓展內(nèi)容展開，并不是過分強求學(xué)生能夠掌握邏輯說理這一推理過程，更多的是以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維與推理意識為出發(fā)點，促進學(xué)生更好地發(fā)展.

3" 借助“整數(shù)除法與分數(shù)的關(guān)系”體現(xiàn)除法運算法則的一致性

根據(jù)已有研究，筆者發(fā)現(xiàn)除法運算具有一致的運算法則，即被除數(shù)除以除數(shù)（0除外），等于被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù).本文基于運算的一致性設(shè)計了一節(jié)“除法運算法則”教學(xué)，通過實驗研究結(jié)果，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在整數(shù)除法與分數(shù)除法這兩類題目上均有較好的表現(xiàn)，這說明學(xué)生可以接受一致的除法運算法則，側(cè)面證明了在小學(xué)數(shù)學(xué)中實施運算一致性的教學(xué)是可行的.因此，在分數(shù)除法正式教學(xué)之前教師可以設(shè)置一節(jié)整數(shù)除法課程教授除法運算法則，

幫助學(xué)生厘清整數(shù)除法與分數(shù)的關(guān)系，實現(xiàn)運算一致性的教學(xué).作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師不僅要扎實教學(xué)，更應(yīng)該積極研學(xué)，在“用教材教”的過程中思考、創(chuàng)新.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》首次提出“一致性”的概念，這是教師努力的新方向.“整數(shù)除法與分數(shù)的關(guān)系”這部分內(nèi)容可作為一個契機，教師通過幫助學(xué)生厘清“除法作為運算”與“分數(shù)作為數(shù)”之間存在的轉(zhuǎn)化關(guān)系，從整數(shù)除法過渡到分數(shù)除法再過渡到小數(shù)除法，讓學(xué)生明白整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)除法運算存在一致的運算法則，實現(xiàn)除法運算的一致性教學(xué).教材中“分數(shù)與除法的關(guān)系”僅僅呈現(xiàn)了被除數(shù)相當(dāng)于分數(shù)的分子，除數(shù)相當(dāng)于分數(shù)的分母這一表面關(guān)系，并未呈現(xiàn)其內(nèi)在轉(zhuǎn)化過程.本文將“除法運算法則”教學(xué)內(nèi)容置于“分數(shù)乘法”教學(xué)之后、“分數(shù)除法”教學(xué)之前.首先，教師通過結(jié)果是整數(shù)的問題引入，幫助學(xué)生理解除法運算的意義，列出除法算式，如“1÷2”和“2÷3”；其次，教師由結(jié)果是有限小數(shù)到結(jié)果不是有限小數(shù)，讓學(xué)生借助畫圖與文字說明理解問題結(jié)果，得出除法算式，如“1÷2=1×12”和“2÷3=2×13”；最后，教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系舊知識，溝通除法與分數(shù)的轉(zhuǎn)化過程，總結(jié)除法運算法則，即“a÷b=a×1b=ab”.此課時的教學(xué)，不僅幫助學(xué)生明白了為什么整數(shù)除法作為運算與分數(shù)作為數(shù)存在關(guān)系，而且得到了一致性的除法運算法則.本次教學(xué)得到了可觀的效果，故在未來教學(xué)中，教師可以此為參考，加以改進，貫通整數(shù)與分數(shù)教學(xué)，從只適用于分數(shù)除法的運算法則拓寬至有理數(shù)除法運算法則，進而實現(xiàn)算理貫通、理法互融.另外，為加深學(xué)生對除法運算法則一致性的理解，教師可以提供多樣化的聯(lián)系，讓學(xué)生在不同情境中運用相同的運算法則，如請學(xué)生運用統(tǒng)一的運算法則求解“8÷4”“8÷12”“8÷0.5”.

4" 厘清除法運算法則算理與算法的關(guān)系

算理是算法的基礎(chǔ)，算法是算理的具體表現(xiàn)，算理和算法是數(shù)學(xué)中不可或缺的兩個概念，它們相互依存、相互促進.列式計算反映的是學(xué)生對除法運算法則算法的掌握情況，畫圖說明、文字說明、邏輯說理反映的是學(xué)生對除法運算法則算理的掌握情況.在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在畫圖說明、文字說明、邏輯說理上均存在因果倒置現(xiàn)象，部分學(xué)生以結(jié)論代替原因，把除法運算法則算法當(dāng)作已知結(jié)論，以列式計算的結(jié)果去畫圖、去用文字解釋、去推理，卻并不知道教師畫圖說明、文字說明、邏輯說理等算理內(nèi)容的呈現(xiàn)，其實就是為了得出除法運算法則.算理決定算法，因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)向?qū)W生解釋為什么畫圖說明，為什么文字說明，為什么邏輯說理，不能讓學(xué)生云里霧里地學(xué)習(xí)，僅僅將畫圖說明、文字說明、邏輯說理等算理理解方式當(dāng)作一道無關(guān)緊要的題目，要幫助學(xué)生厘清除法運算法則算理與算法之間的關(guān)系，在理解算理的情況下記憶算法，做到“知其然又知其所以然”.

5" 結(jié)語

本文以“除法運算法則”為主題，對合情推理與演繹推理兩種不同教學(xué)方式展開對比實驗，探究適合學(xué)生的最佳教學(xué)方式，并提出除法運算法則的教學(xué)建議.同時，本文得出的研究結(jié)論與以往研究有所不同，其有利于完善除法運算法則相關(guān)研究，豐富除法運算法則研究內(nèi)容，為除法運算法則相關(guān)的后續(xù)研究提供理論依據(jù).

參考文獻

［1］ 甄懷智.問題式教學(xué)法在小學(xué)數(shù)學(xué)除法教學(xué)中的應(yīng)用策略探究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2024（10）：128-130.

［2］ 白少榮.小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)策略研究——以“小數(shù)除法”計算教學(xué)為例［J］.天津教育，2024（10）：56-57.

［3］邵漢民，陳芳，何雪君.“小學(xué)數(shù)學(xué)教師·新探索”最新推出——小學(xué)數(shù)學(xué)整體設(shè)計的思與行——小學(xué)除法教學(xué)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2023（11）：89.