數(shù)形結(jié)合思想在小學數(shù)學教學中的應(yīng)用研究

摘" 要：數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微.為落實新課程標準對于教學目標、教學內(nèi)容、考試命題以及多元評價等的要求，教師應(yīng)當扎實地掌握數(shù)形結(jié)合思想.

本文通過具體案例分析了數(shù)形結(jié)合思想在不同的數(shù)學教學內(nèi)容中的應(yīng)用，旨在提升教學質(zhì)量，提高學生核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；小學數(shù)學教學；應(yīng)用研究

項目基金：2023年貴州省教育科學規(guī)劃重點課題“小學數(shù)學數(shù)形結(jié)合序列性教學提升學生素養(yǎng)的應(yīng)用實踐研究”（項目編號：2023A037）.

數(shù)形結(jié)合思想的研究對小學階段的“教”與“學”都有非常大的價值.數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學概念、邏輯關(guān)系、數(shù)量關(guān)系等“看不見的東西”，通過形象的數(shù)軸圖、線段圖、表格等“看得見的形式”表達出來，幫助學生直觀地審視數(shù)學中的邏輯關(guān)系，將內(nèi)隱的思維外顯化，從而更好地理解數(shù)學的本質(zhì)屬性.

1" 在概念課中“以形助數(shù)”，讓思維可視

數(shù)學的概念、公式、定理、法則等都是顯而易見地出現(xiàn)在教材的編排里，是“有形”的，是看得到的，而數(shù)形結(jié)合思想?yún)s是隱藏在這些知識背后的，是“無形”的.這就需要教師挖掘知識背后的思想，使它們顯性化，并有效地滲透到教學當中.［1］小學生以具體形象思維為主.如果教師直接展示抽象的概念，對學生來說難以把握其內(nèi)涵，而借助數(shù)形結(jié)合思想，可以幫助學生撥開迷霧，獲得真知.以下是北師大版《義務(wù)教育教科書數(shù)學五年級上冊》中“分數(shù)的再認識（一）”概念課的教學案例.

1.1" 教材分析

學生已經(jīng)在三年級時借助直觀模型初步認識了分數(shù).因此，本節(jié)學習以此為依據(jù)，把對分數(shù)的感性認知提升到理性認識的高度，并重新概括分數(shù)意義，使學生理解分數(shù)部分與整體的關(guān)系.

1.2" 教學目標

（1）學生經(jīng)歷概括分數(shù)意義的過程，理解分數(shù)表示多少的相對性.

（2）學生在畫圖、比較、分類的過程中，理解分數(shù)的意義，感悟數(shù)形結(jié)合思想和分類思想的應(yīng)用.

（3）學生在具體的問題情境中，發(fā)展數(shù)感，體會分數(shù)與生活的密切聯(lián)系.

1.3nbsp; 教學過程

教學片段1：理解分數(shù)意義.

師：34能表示什么？請你們動手畫一畫.

學生畫圖表示34，并與小組的同學分享所畫的34，探究自己與同伴畫的有什么不同.

教師展示學生作品，引導學生思考這些作品是否都可以用34來表示，并對作品進行分類.教師還可以引導學生按整體“1”是一個物體、多個物體、多組物體進行分類.學生作品分類如圖1所示.

圖1

教師詢問學生如下問題.

（1）“一個物體”“多個物體”“多組物體”具體指什么？34表示什么？

（2）為什么第一類連一個都不到，第二類有三個，第三類有好幾個，都能用34來表示？

教師引導學生得出結(jié)論，即把一個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份，可以用分數(shù)來表示.

師：剛才我們通過畫圖來分析問題的方法在數(shù)學上稱為數(shù)形結(jié)合思想.這是重要的數(shù)學思想，它可以幫助我們直觀地分析問題，解決問題.

教師在教學過程中突出數(shù)形結(jié)合思想在分析解決問題中的指導作用，及時的歸納和小結(jié)有利于學生主動遷移、運用所學知識.

教學片段2：探究分數(shù)部分和整體的關(guān)系.

（1）分數(shù)對應(yīng)的部分量相同，整體量也相同.

師：一個圖形的14是兩個正方形，請畫出這個圖形.

學生獨自畫出符合條件的圖形，并

在小組內(nèi)交流所畫的圖形.

教師展示學生畫的典型作品，引導學生在運用數(shù)形結(jié)合思想的過程中歸納、總結(jié)出結(jié)論，即分數(shù)所對應(yīng)的部分量相同，整體量也相同.學生作品如圖2所示.

圖2

（2）分數(shù)相同，整體量不同，部分量也不同.

師：拿出你們所有鉛筆的12，與同伴交流，你們所拿出的12有什么不同？

小結(jié)：分數(shù)相同，分數(shù)所對應(yīng)的整體量不同，部分量也不同.

教師通過兩個活動對“分數(shù)的意義”進行進一步的探究，在畫一畫、擺一擺、比一比的過程中加深學生對分數(shù)意義的理解，發(fā)展其逆向思維.

在三年級時，學生初步認識了分數(shù)，知道可以將一個物體或圖形看作整體來認識分數(shù).五年級時，學生再次學習分數(shù)，整體“1”被賦予了更多的意義，即不僅可以表示一個物體，還能表示多個物體、多組物體，這體現(xiàn)了分數(shù)表示多少的相對性.這些概念對學生來說較為抽象、難以理解，所以教師在這個過程中，為學生提供了探索活動的空間.［2］借助數(shù)形結(jié)合思想，建立數(shù)與形的聯(lián)系，不僅符合學生形象思維的認知發(fā)展特征，還能讓學生在“做數(shù)學”的過程中將所學內(nèi)容變得直觀化、可視化，從而更好地理解分數(shù)的意義以及部分和整體的關(guān)系，培養(yǎng)他們敏銳的洞察力.

2" 在計算課中“以形助數(shù)”，讓算理可視

在義務(wù)教育階段，計算的重要性是不言而喻的.在小學階段，學生需要系統(tǒng)學習整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的加減乘除運算.由于認知水平有限，抽象的計算對學生來說有一定的難度.很多學生通過機械記憶記住了計算的公式，但是問這么計算的原因是什么，很多學生說不出來.教師將數(shù)與形相互結(jié)合，利用點子圖、面積模型等幫助學生理解知識，有助于學生在直觀中明晰算理，內(nèi)化知識.以下是北師大版《義務(wù)教育教科書數(shù)學五年級上冊》中“誰打電話的時間長”計算課的教學案例.

2.1" 教材分析

本課是在學生已經(jīng)學習了除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的基礎(chǔ)上進行的.教材利用學生的已有經(jīng)驗，借助元、角、分以及商不變的規(guī)律等舊知識來搭建新知識，促進學生知識的遷移.教材還利用了面積模型來輔助學生理解小數(shù)除法背后的算理.

2.2" 教學目標

（1）學生在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，探索除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法的計算方法，體會轉(zhuǎn)化的思想.

（2）學生能正確進行除數(shù)是小數(shù)除法的豎式計算，在數(shù)形結(jié)合的過程中理解算理.

（3）學生結(jié)合具體情境，認識數(shù)學的價值，體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系.

2.3" 教學過程

教學片段：掌握除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法的算理和算法.

在學生通過商不變的規(guī)律和元、角、分單位換算的方法探索出除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法計算方法后，教師出示教材例題.學生在獨自思考、作答的基礎(chǔ)上，先小組交流，再全班討論.

全班交流時，教師重點詢問以下問題.在面積模型的過程中，你有什么發(fā)現(xiàn)？面積模型和豎式計算有什么關(guān)系？教師讓學生上臺展示面積模型和豎式計算.

生：5.1里有51個0.1，0.3里有3個0.1，51÷3=17，所以5.1里包含了17個0.3.

師：其實采用面積模型來幫助我們理解的方法在數(shù)學上稱為數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)缺形時少直覺，使用數(shù)形結(jié)合思想，可以幫助我們直觀地思考問題.

在思考交流的過程中，教師通過建立不同算法之間的聯(lián)系，即將除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的除法，培養(yǎng)了學生運算能力，增強了學生的推理意識.在這個過程中，教師突出了數(shù)形結(jié)合思想在解題時的指導作用，并且讓學生經(jīng)歷了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用過程.

多元表征可以促進數(shù)學的學習，也就是說，學生在遇到一個數(shù)學問題時，通過表征將問題表示出來，從而解決問題、理解知識.多種表征整合后的知識比單一表征的知識更容易促進學生進行問題解決.在學習本課之前，學生已經(jīng)有了除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的學習基礎(chǔ)，學習除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法是本單元的一個教學難點.教師引導學生自主探究，利用元、角、分的關(guān)系、商不變的規(guī)律以及數(shù)形結(jié)合思想理解、遷移、運用算理.學生在圈一圈、畫一畫的過程中，將直觀圖與豎式計算進行關(guān)聯(lián)，從而明白除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法為什么可以轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的除法進行計算的原因.

3" 在幾何課中“以數(shù)解形”，讓規(guī)律可視

在義務(wù)教育課程標準中，幾何相關(guān)內(nèi)容所占比重高達43%，可見圖形與幾何在義務(wù)教育課程中的重要性和地位.［3］在這個領(lǐng)域中，教師可以應(yīng)用“以數(shù)解形”，使解題過程清晰，讓規(guī)律可視，讓學生在這個過程中擺事實、講道理，發(fā)展推理意識.以下是北師大版《義務(wù)教育教科書數(shù)學四年級下冊》中“三角形內(nèi)角和”的教學案例.

3.1" 教材分析

本課是在學生已經(jīng)學習直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的基礎(chǔ)開展的.教材從學生原有的認知經(jīng)驗出發(fā)，以一個有趣的問題引入主題的學習，讓學生通過量一量、拼一拼、撕一撕、算一算等多種方法來驗證三角形內(nèi)角和等于180°.

3.2" 教學目標

（1）學生在量、拼、撕、算的過程中，探索并驗證三角形的內(nèi)角和等于180°.

（2）學生主動學習探究新知識的方法，初步了解轉(zhuǎn)化的思想.

（3）學生在探索發(fā)現(xiàn)的過程中，體驗數(shù)學思考和探究的樂趣，培養(yǎng)數(shù)學學習興趣.

3.3" 教學過程

教學片段1：探索三角形內(nèi)角和.

教師讓學生經(jīng)歷“猜測—驗證—結(jié)論”的過程.具體過程如下.

（1）猜測.請你根據(jù)我們剛才的動畫演示大膽地猜一猜三角形的內(nèi)角和是多少度.

（2）驗證.用課前準備好的學具包驗證你們的猜想.先獨立思考，再小組討論，最后全班匯報.檢驗方法如下.

方法一：量一量.用量角器量出每個角的度數(shù)，再相加，得知三角形內(nèi)角和是180°.（以數(shù)解形）

方法二：撕一撕.將三角形的三個角撕下來進行拼湊，可以湊成一個平角.

方法三：算一算.通過推理證明三角形內(nèi)角和是180°.推理過程如圖3所示.（以數(shù)解形）

圖3

（3）結(jié)論.三角形的內(nèi)角和是180°.其實剛才的推理方法在數(shù)學上被稱為“以數(shù)解形”，用數(shù)的精確來幫助我們推理形的規(guī)律，從而探索出三角形的內(nèi)角和.

學生通過剪、拼、折、算等活動探索驗證三角形內(nèi)角和的方法，經(jīng)歷了猜想、驗證、結(jié)論的數(shù)學活動，發(fā)展了推理意識，并在這個過程中感受到以數(shù)解形.

教學片段2：拓展練習.

我們已經(jīng)知道了三角形內(nèi)角和是180° ，那其他圖形的內(nèi)角和呢？如四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和又是多少度？

本節(jié)課在學生拼、撕、量的過程中，發(fā)展了學生的形象思維；在學生推理論證的過程中，發(fā)展了學生的邏輯思維；在拓展應(yīng)用環(huán)節(jié)，發(fā)展了學生的優(yōu)化思維和創(chuàng)造性思維；在猜想、驗證、結(jié)論、應(yīng)用的過程中，學生的推理意識、創(chuàng)新意識都得到一定程度的發(fā)展.

4" 結(jié)語

根據(jù)上文的三個課堂案例分析可以發(fā)現(xiàn)，教師在總結(jié)歸納本節(jié)課知識點的同時，也較為注重數(shù)形結(jié)合思想的總結(jié)和提煉，這為學生理解并運用數(shù)形結(jié)合思想奠定了一定基礎(chǔ).小學生的思維發(fā)展特點與抽象數(shù)字、概念之間的矛盾決定了教師在課堂中需要運用數(shù)形結(jié)合思想來搭建直觀與抽象之間的橋梁.教師在概念課中“以形助數(shù)”，可以幫助學生明晰概念，深化認識；在計算課中“以形助數(shù)”，可以幫助學生直觀地認識抽象的數(shù)字背后所蘊含的意義，從而建立和發(fā)展數(shù)感；在幾何課中“以數(shù)解形”，可以幫助學生用數(shù)的精確推導出形的規(guī)律，提高解題的準確性和科學性.通過數(shù)形結(jié)合思想的運用，數(shù)量的精確刻畫與空間形式的形象直觀優(yōu)勢互補、相輔相成、相得益彰，讓數(shù)學獲得了更加生動的解釋，問題得到了更加合理的解決.

本文將視角聚焦于小學高年級，一方面是考慮到學生的思維發(fā)展，另一方面考慮到高年級數(shù)學教材中抽象概念的增多，課程和知識難度的增大.數(shù)形結(jié)合思想在幫助學生理解概念、厘清題目邏輯關(guān)系等方面的優(yōu)勢被最大程度地凸顯出來.學生可以通過“以形助數(shù)”與“以數(shù)解形”的相互轉(zhuǎn)化，去適應(yīng)高年級數(shù)學學習活動的復(fù)雜性和多樣性.

參考文獻

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