基于Tersoff 勢(shì)的晶格中波動(dòng)傳播

摘要： 在晶格間的Tersoff 勢(shì)作用下分別研究了單晶體系和多晶體系中的波動(dòng)傳播特性。首先，在微振動(dòng)的情況下，分別基于晶格間線性作用、Tersoff 勢(shì)作用以及含缺陷的Tersoff 勢(shì)作用3 種勢(shì)能函數(shù)研究了單晶體系中格波的傳播，得到了晶格中的色散關(guān)系以及格波波速的表達(dá)式。其次，分別以碳晶格和硅晶格為例，運(yùn)用有限差分方法，研究了3 種勢(shì)能作用下單晶體系中的波動(dòng)傳播過程，對(duì)比了壓縮和拉伸沖擊下晶格的運(yùn)動(dòng)差異，并討論了入射速度對(duì)位移峰值和受力峰值的影響，揭示了單晶體系中波動(dòng)傳播與連續(xù)介質(zhì)中波動(dòng)傳播的差異。最后，分別以金剛石和碳化硅為例，采用分子動(dòng)力學(xué)模擬方法，研究了多晶體系中的波動(dòng)傳播特性，討論了不同空間位置原子的運(yùn)動(dòng)差異。結(jié)果表明：多晶體系中晶格結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，其中的波動(dòng)傳播特性與單晶體系存在差異；缺陷的存在對(duì)波動(dòng)傳播規(guī)律影響顯著，這種影響在多晶體系中表現(xiàn)得更加突出。

關(guān)鍵詞： 晶格動(dòng)力學(xué)；微振動(dòng)；Tersoff 勢(shì)；缺陷；分子動(dòng)力學(xué)

中圖分類號(hào)： O347.4 國(guó)標(biāo)學(xué)科代碼： 13015 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

波動(dòng)傳播特性是研究材料動(dòng)力學(xué)行為的基礎(chǔ)。連續(xù)介質(zhì)中的波動(dòng)傳播研究主要基于3 類方程：幾何關(guān)系或連續(xù)性方程、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和本構(gòu)方程。較高的沖擊壓力會(huì)造成局部較高的溫升，本構(gòu)方程會(huì)替換成狀態(tài)方程[1]。此理論體系對(duì)于宏觀介質(zhì)的研究已經(jīng)非常完善，取得了豐碩的研究成果[2-5]。隨著微納尺度材料和結(jié)構(gòu)的廣泛應(yīng)用[6-9]，針對(duì)微納尺度材料的動(dòng)力學(xué)特性，尤其是波動(dòng)傳播規(guī)律的研究顯得非常重要。微納尺度下，連續(xù)介質(zhì)假設(shè)失效，如何通過方程描述波動(dòng)傳播至關(guān)重要。

宏觀尺度的顆粒介質(zhì)考慮的是顆粒接觸力，例如赫茲接觸等[10-11]，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程主要基于接觸作用建立，由此進(jìn)行載荷和變形的傳遞[12-13]。Tang 等[14] 研究了顆粒體系中顆粒形態(tài)對(duì)彈性波傳播的影響。Alberdi 等[15] 采用松弛微形態(tài)模型研究了由不同晶胞組成的異質(zhì)元結(jié)構(gòu)中的波傳播。Waymel 等[16] 研究了彈塑性波在由接觸金屬顆粒組成的二維有序顆粒介質(zhì)中的傳播，發(fā)現(xiàn)塑性變形導(dǎo)致振幅衰減。上述研究較好地描述了材料的宏觀動(dòng)力學(xué)行為。

與連續(xù)介質(zhì)理論不同，微納尺度的晶格間作用力可以為原子或分子提供穩(wěn)固的結(jié)構(gòu)，同時(shí)也可以進(jìn)行原子或分子間的信息傳遞[17-19]。晶格間以各種作用勢(shì)定義的作用力發(fā)生相互作用，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程需要基于勢(shì)作用力建立。Hu 等[20] 研究了碳納米管中的橫波和扭轉(zhuǎn)波，討論了碳納米管微觀結(jié)構(gòu)對(duì)波色散的影響。Agarwal 等[21] 通過分子動(dòng)力學(xué)方法研究了納米晶Al 微結(jié)構(gòu)在原子尺度沖擊壓縮過程中的變形響應(yīng)。Sam 等[22] 采用動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)因子和應(yīng)變波動(dòng)等方法評(píng)估了全硅沸石中的聲學(xué)特性，討論了聲波在納米多孔材料中的傳播。但上述研究大多從分子動(dòng)力學(xué)出發(fā)，尚未從理論上揭示清楚微納尺度下晶格運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律以及波動(dòng)傳播的特性。

Tersoff 勢(shì)能夠描述多個(gè)原子間共價(jià)鍵的作用，可通過考慮多體效應(yīng)來實(shí)現(xiàn)共價(jià)鍵的形成和離解，其參數(shù)取決于所討論的鍵的局部環(huán)境。這種勢(shì)與薛定諤基于量子態(tài)波函數(shù)描述的粒子波動(dòng)不同[23-26]，與傳統(tǒng)的分子間力場(chǎng)也不相同。本文中，擬從晶格尺度的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)對(duì)波動(dòng)傳播特性進(jìn)行研究。首先，對(duì)線性作用、Tersoff 勢(shì)作用以及含缺陷的Tersoff 勢(shì)作用下單晶體系微振動(dòng)中格波的傳播進(jìn)行研究，闡明格波與連續(xù)波之間的聯(lián)系；其次，采用有限差分方法，分別以碳原子和硅原子為例，研究單晶體系中的波動(dòng)傳播特性；最后，采用分子動(dòng)力學(xué)方法，以金剛石（C4）和碳化硅（SiC）為例，研究多晶體系中的波動(dòng)傳播特性，以期探索晶格體系中的波傳播規(guī)律。

1 單晶中的微振動(dòng)與格波

1.1 線性作用

晶體的微振動(dòng)可按諧振近似處理。晶格的微振動(dòng)模型如圖1[27] 所示。考慮圖1 中由N 個(gè)相同原子組成的簡(jiǎn)單立方晶體的一維縱向晶格的微振動(dòng)。對(duì)于一維縱向運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)單立方晶體可簡(jiǎn)化為一維原子鏈的振動(dòng)。由于晶格的微振動(dòng)主要受相鄰晶格的影響，非相鄰微粒的影響可以忽略不計(jì)，因此，每個(gè)原子只考慮受到相鄰原子的作用。設(shè)晶格中的原子質(zhì)量為m，平衡時(shí)的原子間距為a，以Xn 表示第n 個(gè)原子由于微振動(dòng)而偏離平衡位置的位移，則第n 個(gè)與第n+1 個(gè)原子間的相對(duì)位移為：

ΔX = Xn - Xn+1 （1）

通過假定原子的受力模型，可以分析晶格微振動(dòng)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

對(duì)圖1 所示的微振動(dòng)模型，原子間作用力考慮為線性作用，則第n 個(gè)原子受到第n+1 個(gè)原子的作用力[28]可以表示為：

Fn，n+1 = -α（Xn - Xn+1） （2）

式中：α"為線性系數(shù)。定義作用力與原子間距的比值 φ為：

φ =Fn，n+1／Xn+1 -"Xn（3）

當(dāng)原子間假定為線性作用時(shí)，可以得到φ = ，即原子間作用力與原子間距的比值為常數(shù)。對(duì)于第n 個(gè)原子，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，其運(yùn)動(dòng)方程為：

m¨Xn = （Xn+1 -2Xn + Xn-1） （4）

式（4） 對(duì)于所有原子均成立，其解具有簡(jiǎn)諧波形式：

Xn = Aei（ωt-2πnak） （5）

式中：A 為振幅；ω 為角頻率；a 為晶格常數(shù)，即原子間平衡間距；na 為第n 個(gè)原子相對(duì)于原點(diǎn)的平衡位置；k=1/λ 為波數(shù)，λ 為波長(zhǎng)。

引入以下關(guān)系：

式中：ρ 為晶體密度，E 為楊氏模量，c0 為一維應(yīng)力彈性波速。

將式（5） 代入式（4），得到：

式中：ω0 為角頻率峰值。式（5） 表明，各原子在平衡位置微振動(dòng)時(shí)，以簡(jiǎn)諧波形式在晶格中傳播，稱為格波。式（7） 描述了晶格間波傳播依賴于頻率的彌散現(xiàn)象，也稱為色散關(guān)系。

當(dāng)ak ?1 "時(shí)，即在長(zhǎng)波情況下， sin（πak）"≈πak，波速的表達(dá)式為：

式（9） 表明格波是一個(gè)波速依賴于晶格特征尺寸（晶格常數(shù)a）與波長(zhǎng)λ（λ=1/k）之比的彌散波。鋼的晶格常數(shù)a 約為3 ?，平均振動(dòng)時(shí)間約為10–13 s，其格波波速約為3 km/s，接近其彈性波波速（3.5 km/s）[2]。同時(shí)，式（7） 表明：長(zhǎng)波情況下格波的波速與波數(shù)無關(guān)，與材料特性相關(guān)。當(dāng)波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于晶格常數(shù)時(shí)，晶體可以看作連續(xù)介質(zhì)。

1.2 Tersoff 勢(shì)作用

Tersoff 多體勢(shì)函數(shù)適用于描述共價(jià)鍵結(jié)合的多個(gè)原子之間的相互作用，可以很好地表示三維空間分子表面的重構(gòu)能，能夠準(zhǔn)確地描述C 與Si 晶格中的作用。

線性作用不能很好地描述原子間作用：在原子間距減小時(shí)，原子間斥力急劇增大，而原子間距增大時(shí)，原子間引力緩慢增大。本文中，以C 和Si 晶格為研究對(duì)象，并通過Tersoff 勢(shì)來描述原子間的相互作用。Tersoff 勢(shì)的表達(dá)式[29] 為：

式中：m1、γ、λ3、C、d、cosθ0、n1、β、λ2、B、R、D、λ1、A1 為材料參數(shù)。Tersoff 勢(shì)包含兩部分：斥力項(xiàng)和引力項(xiàng)，對(duì)于不同的共價(jià)鍵，參數(shù)的取值不同，具體參數(shù)如表1[30] 所示。

考慮圖 1 的一維原子鏈模型，取 θ = π，則 bij 轉(zhuǎn)化為常數(shù) b0。在平衡位置附近， fC （r） = 1 ，Tersoff 勢(shì)作用下每個(gè)原子的勢(shì)能和受力的表達(dá)形式可簡(jiǎn)化為：

考慮微振動(dòng)過程，由式（15） 可以近似得到：

式（17） 描述了原子間作用力與原子間距的比值 隨Xn 的變化。特別地，在Xn =0 時(shí)，Tersoff勢(shì)作用轉(zhuǎn)化為線性作用，此時(shí) 為Tersoff 勢(shì)在平衡位置處的一階導(dǎo)數(shù)。

圖2 給出了原子間作用為Tersoff 勢(shì)時(shí)的角頻率ω 與波數(shù)k 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系?？梢钥闯觯寒?dāng)Xn=0 時(shí)，ω 與k 的關(guān)系與線性作用時(shí)相同；當(dāng)Xn＞0，即原子間距離減少時(shí)，ω 隨Xn 增大而增大；而當(dāng)Xn＜0，即原子間距離增大時(shí)，ω 隨Xn 減小而減小。

當(dāng)ak ?1 時(shí)，即在長(zhǎng)波情況下，sin（πak）"≈"πak" ，對(duì)應(yīng)的波速表達(dá)式為：

可以看出，格波波速隨著Xn 變化而變化。

1.3 含缺陷的Tersoff 勢(shì)作用

晶格中存在位錯(cuò)等缺陷時(shí)，由于局部晶粒的缺失，粒子間的相互作用發(fā)生變化。無位錯(cuò)時(shí)，晶格考慮滑移過程，在平衡位置時(shí)勢(shì)能最小，結(jié)合力為零；滑移半個(gè)原子間距時(shí)，需要克服的勢(shì)能最大，此時(shí)對(duì)應(yīng)的勢(shì)能也最大；滑移一個(gè)原子間距后，恢復(fù)到初始狀態(tài)，勢(shì)能降到最小。此過程中，勢(shì)能可取為周期性函數(shù)[28]：

式中：A2 為勢(shì)能峰值。

若存在一個(gè)刃型位錯(cuò)，即在位錯(cuò)滑移面上方有N+1 個(gè)原子，其下方只有N 個(gè)原子，則滑移過程中晶格勢(shì)能和作用力可表示為：

微振動(dòng)模型中存在的位錯(cuò)可近似等效為原子間作用力減小，若原子間作用為Tersoff 勢(shì)，第p 個(gè)原子處受到位錯(cuò)影響，則第p 個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：η 為損失因子，代表位錯(cuò)引起的作用力衰減， 0＜η＜1 。

依據(jù)式（19）～（21），在位錯(cuò)處原子間作用受損失因子η 影響，則：

當(dāng)ak ?1 "時(shí)，即在長(zhǎng)波情況下， sin（πak）"≈"πak，此時(shí)波速的表達(dá)式為：

式（21）～（25） 表明：存在位錯(cuò)的振動(dòng)模型，一方面與Tersoff 勢(shì)作用呈現(xiàn)相似的規(guī)律，ω、和c 隨著Xn 變化而變化，另一方面，位錯(cuò)造成了波的減弱，導(dǎo)致ω、 和c 減小。圖3 給出了存在位錯(cuò)缺陷的情況下，作用為Tersoff 勢(shì)時(shí)的角頻率ω 與波數(shù)k 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。ω 的峰值隨Xn 變化而改變，對(duì)比無位錯(cuò)情況，角頻率的峰值及其上下極限均呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)。

2 單晶中波傳播分析

2.1 波傳播模型及差分方法

晶格處于勢(shì)力場(chǎng)中，受到其他晶格的作用。其中，非相鄰晶格間作用遠(yuǎn)小于相鄰原子間作用。為了探究單晶體系中波的傳播過程，采用有限差分方法對(duì)運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分析，即對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行時(shí)間和空間差分。以C 和Si 晶格為例，分析單晶下的波傳播過程，其參數(shù)如表1～2 所示。晶格波動(dòng)計(jì)算中，初始晶格均處于平衡位置。

一般地，第n 個(gè)晶格的運(yùn)動(dòng)方程為：

圖4 為3 種勢(shì)作用下碳晶格中的相互作用與晶格間距的關(guān)系。其中，在無缺陷晶格中，平衡位置處線性作用與Tersoff 勢(shì)作用相同；晶格間距減小時(shí)，Tersoff 勢(shì)下晶格間斥力急速增大；晶格間距增大時(shí)，Tersoff 勢(shì)下晶格間引力緩慢增大。缺陷的存在會(huì)導(dǎo)致晶格間作用減弱。

通過有限差分方法，可以得到不同情況下的運(yùn)動(dòng)差分方程，進(jìn)而可以得到各個(gè)晶格的運(yùn)動(dòng)過程，研究波的傳播過程。時(shí)間步長(zhǎng)Δt應(yīng)滿足Δt ?a／c0，其中a／c0為波傳過一個(gè)晶格間平衡間距的時(shí)間。

2.2 碳晶格中的波傳播特性

在波的傳播過程中，晶格間分別選取線性作用、Tersoff 勢(shì)作用以及含缺陷的Tersoff 勢(shì)作用。其中，將第3 個(gè)與第4 個(gè)晶格間的初始間距調(diào)整為1.1a 來實(shí)現(xiàn)缺陷。開始時(shí)，賦予沖擊區(qū)域（第1 個(gè)晶格）初速度v0，v0 分別取1 km/s（壓縮過程）和 –1 km/s（拉伸過程），損失因子η 取0.8，時(shí)間步長(zhǎng) 取10–16 s。特別地，為了便于對(duì)比壓縮和拉伸過程，在拉伸時(shí)位移取相反數(shù)。首先考慮3 種勢(shì)作用下碳晶格在壓縮過程中的波傳播過程，取沖擊區(qū)域方向的前5 個(gè)晶格進(jìn)行研究，X1、X2、X3、X4、X5 依次為5 個(gè)晶格偏離平衡位置的位移， 選取不同時(shí)刻來探究波的起始階段。

圖5 給出了碳晶格在壓縮沖擊下的波傳播過程。可以看出，在無缺陷的模型中，各個(gè)晶格初始處于平衡狀態(tài)；隨著運(yùn)動(dòng)的開始，沖擊區(qū)域速度緩慢減小，第2 個(gè)晶格在一定的時(shí)間間隔后開始運(yùn)動(dòng)，速度快速升高，直至一個(gè)峰值，相對(duì)地，沖擊區(qū)域速度快速減小，直至到達(dá)第2 個(gè)平衡位置；第2 個(gè)晶格開始運(yùn)動(dòng)相同的時(shí)間間隔后，第3 個(gè)晶格開始運(yùn)動(dòng)，速度快速升高，并呈現(xiàn)與第2 個(gè)晶格相同的規(guī)律，而第2 個(gè)晶格速度快速減小。隨著波的傳播，各個(gè)晶格依次開始運(yùn)動(dòng)，呈現(xiàn)加速-減速2 個(gè)階段，直至到達(dá)第2 個(gè)平衡位置，隨后在平衡位置處小幅度震蕩。在這一過程中，波速為2 個(gè)晶格的位移差與2 個(gè)原子開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差的比值。

缺陷的種類繁多，會(huì)對(duì)波的傳播過程產(chǎn)生不同的影響。本文中，通過增大晶格間初始間距來實(shí)現(xiàn)缺陷，可以看出，缺陷前后晶格的位移峰值差異巨大，同時(shí)晶格到達(dá)第2 個(gè)平衡位置后震蕩更劇烈。在運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，缺陷兩端的晶格存在相反的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。

另一方面，3 種勢(shì)作用下碳晶格的運(yùn)動(dòng)過程存在差異。圖6 給出了線性作用和Tersoff 勢(shì)作用下碳晶格在壓縮和拉伸沖擊下波形的對(duì)比?？梢钥闯觯€性作用下，每個(gè)晶格只受到相鄰晶格的作用，開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，各晶格依次運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，晶格間作用與晶格間距的比值不變，壓縮與拉伸過程相比，同一時(shí)刻各晶格的位移大小相等，方向相反。Tersoff 勢(shì)作用于全場(chǎng)，開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，所有晶格均開始運(yùn)動(dòng)，但由于非相鄰晶格的相互作用遠(yuǎn)小于相鄰晶格的作用，因而后方的晶格在開始時(shí)的位移幾乎忽略不計(jì)。此外，Tersoff 勢(shì)作用可以更真實(shí)地反映晶格間距對(duì)晶格間作用的影響，圖4 反映了Tersoff 勢(shì)和線性作用的區(qū)別：相比于線性作用，在Tersoff 勢(shì)作用下，壓縮過程中晶格間距減小，晶格間斥力急速增大，而拉伸過程中晶格間距增大，晶格間引力緩慢增大。碳晶格在壓縮過程中晶格間距減小，晶格的加速度增大，相同時(shí)間下各晶格的位移隨之減??；拉伸過程中，晶格間距增大，晶格的加速度變小，相同時(shí)間下晶格的位移隨之增大。圖7 給出了含缺陷的Tersoff 勢(shì)作用下碳晶格在壓縮和拉伸沖擊下波形的對(duì)比。當(dāng)存在缺陷時(shí)，缺陷處存在內(nèi)力，缺陷兩端的晶格初始具有相反的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，此時(shí)第3 和第4 個(gè)晶格初始的運(yùn)動(dòng)方向相反，而兩者到達(dá)相同位移的時(shí)間差顯著增大，這也導(dǎo)致了缺陷處波速的減小。

2.3 硅晶格中的波傳播特性

C 和Si 屬于不同周期的同族元素，晶格結(jié)構(gòu)類似，具有相似的性質(zhì)。圖8（a）～（b） 分別給出了Tersoff 勢(shì)作用及含缺陷的Tersoff 勢(shì)作用下C 晶格與Si 晶格中波傳播過程的對(duì)比，選取不同時(shí)刻來探究波的起始階段。

Si 晶格的運(yùn)動(dòng)過程呈現(xiàn)與C 晶格相似的規(guī)律。圖8（a） 為無缺陷時(shí)Tersoff 勢(shì)作用下C 和Si 晶格中波的傳播過程。在Si 晶格中，共價(jià)鍵較長(zhǎng)，Si 晶格的位移峰值較高，后方晶格出現(xiàn)明顯位移的時(shí)間會(huì)更晚。圖8（b） 為含缺陷的Tersoff 勢(shì)作用下的晶格中波的傳播過程，相比于C 晶格，Si 晶格中缺陷兩端的晶格出現(xiàn)明顯位移的時(shí)間更晚，到達(dá)相同位移的時(shí)間差更大。

入射速度的選取會(huì)對(duì)晶格的位移峰值和受力峰值產(chǎn)生影響。圖9（a） 和（b） 分別給出了單晶體系中不同入射速度的C 和Si 晶格中前3 個(gè)晶格的位移峰值和受力峰值的變化?？梢钥闯?，在2 種晶格中，位移和受力峰值都與入射速度線性相關(guān)。這與宏觀連續(xù)介質(zhì)的波傳播過程中應(yīng)力與速度線性相關(guān)的結(jié)論一致。此外，不同晶格的位移峰值和受力峰值存在細(xì)微差別，相同入射速度下，Si 晶格中的位移峰值和受力峰值都高于C 晶格；提升相同的入射速度，Si 晶格中的位移和受力峰值增長(zhǎng)更快。

3 多晶中波傳播的分子動(dòng)力學(xué)模擬

3.1 模型構(gòu)建與模擬方法

基于廣泛使用的LAMMPS 平臺(tái)，采用分子動(dòng)力學(xué)方法研究波在金剛石和碳化硅中的傳播，同時(shí)使用OVITO 進(jìn)行可視化分析，對(duì)波傳播過程中原子的位移進(jìn)行分析。碳和硅屬于同族元素，而金剛石與碳化硅的結(jié)構(gòu)相似，其晶格常數(shù)分別為0.357 和0.436 nm。采用Tersoff 勢(shì)函數(shù)分別描述C－C 鍵作用和C－Si 鍵作用。

建立一個(gè)尺寸為30 nm×1 nm×1 nm 的盒子，在中間20 nm×0.2 nm×0.2 nm 的圓柱形區(qū)域中填充碳原子，得到金剛石模型，模型中包含478 個(gè)碳原子，如圖10（a） 所示。金剛石模型中C－C 鍵長(zhǎng)為1.54 ?。模型分為兩部分，分別為沖擊區(qū)域（紅色）與傳播區(qū)域（藍(lán)色），其中，沖擊區(qū)域包含10 個(gè)碳原子。通過賦予沖擊區(qū)域初速度實(shí)現(xiàn)沖擊。在施加初速度前，對(duì)模型進(jìn)行能量最小化處理，消除模型的初始震蕩。在沖擊過程中，為了消除y 軸和z 軸作用的影響，采用三維方向自由邊界，同時(shí)固定所有原子只沿x 向運(yùn)動(dòng)。通過對(duì)沖擊區(qū)域賦予1 和 –1 km/s 的初速度，探究金剛石壓縮和拉伸過程中原子的運(yùn)動(dòng)和波的傳播。運(yùn)動(dòng)過程中系統(tǒng)處于NVE 系綜，時(shí)間步長(zhǎng)為1 fs，運(yùn)行1 000 步。

碳化硅晶體中Si－C 鍵長(zhǎng)大于C－C 鍵長(zhǎng)，相同結(jié)構(gòu)時(shí)碳化硅的尺寸大于金剛石。建立同樣大的盒子，在中間20 nm×0.3 nm×0.3 nm 的圓柱形區(qū)域中建立碳化硅模型，模型中包含221 個(gè)碳原子和176 個(gè)硅原子，如圖10（b） 所示。碳化硅模型中Si－C 鍵長(zhǎng)為1.89 ?。采用與金剛石模型中相同的設(shè)置，其中，沖擊區(qū)域包含6 個(gè)碳原子和4 個(gè)硅原子。通過賦予沖擊區(qū)域初速度，來研究碳化硅壓縮和拉伸過程中原子的運(yùn)動(dòng)和波的傳播。

3.2 金剛石晶體中波的傳播過程

多晶體系不同于單晶體系，存在更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。為探究多晶體系中波的傳播特性，考慮金剛石及含缺陷的金剛石在沖擊過程中原子位移的變化，其中，通過刪除金剛石中的2 個(gè)原子來實(shí)現(xiàn)晶體中的缺陷，如圖10（a） 所示。圖11 給出了0.04、0.08 和0.16 ps 等3 個(gè)時(shí)刻壓縮沖擊下不同原子的位移隨時(shí)間的變化，選取沖擊區(qū)域方向中間一列的前5 個(gè)原子進(jìn)行研究。當(dāng)無缺陷時(shí)，隨著波的傳播，各個(gè)原子依次開始運(yùn)動(dòng)，呈現(xiàn)加速-減速的2 個(gè)階段，直至到達(dá)第2 個(gè)平衡位置，隨后在平衡位置處小幅度震蕩，這與單晶體系中的結(jié)論一致。特別地，在每個(gè)時(shí)刻，近似有3 個(gè)原子向第2 個(gè)平衡位置運(yùn)動(dòng)，即傳播過程中的波長(zhǎng)近似是沖擊區(qū)域長(zhǎng)度的2 倍。另外，多晶體系中原子到達(dá)第2 個(gè)平衡位置后的震蕩較小。

圖12 給出了金剛石及含缺陷的金剛石中不同原子運(yùn)動(dòng)過程的對(duì)比。分別選取模型沖擊區(qū)域方向的頂端一列的前5 個(gè)原子和中間一列的前5 個(gè)原子進(jìn)行研究。無缺陷情況下，頂端原子和中間原子呈現(xiàn)相似的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，不同的是，對(duì)于中間一列原子，第1 個(gè)原子與第2 個(gè)原子開始時(shí)的初速度和位移近似相同，運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后才產(chǎn)生差異。另外，缺陷破壞了結(jié)構(gòu)的規(guī)則性，造成了能量的衰減，導(dǎo)致初始時(shí)刻缺陷兩端原子的運(yùn)動(dòng)方向相反。頂端一列原子受缺陷影響較大，缺陷兩端原子的偏離位移較大；而中間一列原子受缺陷影響較小，缺陷兩端原子的偏離位移較小。

圖13 給出了壓縮和拉伸沖擊下金剛石及含缺陷金剛石的中間一列原子的運(yùn)動(dòng)過程，拉伸時(shí)位移取相反數(shù)?？梢钥闯?，壓縮過程中原子受力更大，原子的位移峰值小于拉伸過程。特別地，對(duì)于含缺陷的金剛石，在壓縮和拉伸沖擊下波的傳播呈現(xiàn)較大差異：缺陷處原子間作用減小，而在壓縮過程中原子間斥力快速增大，會(huì)弱化缺陷的影響，使缺陷處原子達(dá)到相同位移的時(shí)間差微弱增大；在拉伸過程中，原子間引力緩慢增大，缺陷會(huì)進(jìn)一步減小原子間作用，原子的速度變化更慢，原子的位移峰值急劇增大，缺陷前后原子達(dá)到相同位移的時(shí)間差大幅增加。

3.3 碳化硅晶體中波的傳播過程

圖14（a） 給出了無缺陷金剛石和碳化硅的中間一列原子的運(yùn)動(dòng)過程。在波的傳播過程中，二者總體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律相似，不同的是，碳化硅中鍵長(zhǎng)更長(zhǎng)，波傳播過程中原子的位移峰值更大，相鄰原子到達(dá)相同位移的時(shí)間更長(zhǎng)，而波速更小。圖14（b） 給出了存在缺陷的金剛石和碳化硅中波的傳播過程。碳化硅相對(duì)質(zhì)量較大，但彈性極限較低，此時(shí)缺陷對(duì)碳化硅的影響更顯著，缺陷前后原子與無缺陷情況相比，偏離的位移更大。

此外，考慮入射端初速度對(duì)多晶體系中波傳播的影響，圖15（a） 和（b） 分別給出了金剛石及碳化硅中入射速度對(duì)不同原子位移峰值和受力峰值的的影響。取中間一列的前3 個(gè)原子進(jìn)行研究，可以看出：金剛石中位移和受力峰值都與入射速度線性相關(guān)；碳化硅中鍵長(zhǎng)更長(zhǎng)，相同入射速度下原子的位移峰值和受力峰值都高于金剛石，但碳化硅強(qiáng)度更低，在入射速度高于1 km/s 后呈現(xiàn)非線性規(guī)律，位移峰值增長(zhǎng)放緩，受力峰值急劇增加。

4 結(jié) 論

從晶格的微振動(dòng)出發(fā)，基于3 種勢(shì)作用，得到了格波波速、角頻率與波數(shù)的關(guān)系?；谟邢薏罘址椒?，以C 和Si 晶格為例，分析了單晶中波的傳播過程，討論了入射速度對(duì)波傳播中位移峰值和受力峰值的影響。結(jié)合分子動(dòng)力學(xué)方法，研究了金剛石和碳化硅兩種多晶體系中波的傳播過程。得到以下主要結(jié)論。

（1） 在格波的傳播中，原子間在不同的勢(shì)作用下，格波波速、角頻率與波數(shù)的關(guān)系存在差異。在線性作用下，格波波速和角頻率與波數(shù)的關(guān)系不受原子位移的影響；在Tersoff 勢(shì)作用下，格波波速和角頻率與原子的位移呈正相關(guān)；當(dāng)存在位錯(cuò)時(shí)，體系能量減小，格波波速和角頻率也隨之降低。

（2） 在單晶體系的波傳播中，晶格的運(yùn)動(dòng)依次呈現(xiàn)加速-減速2 個(gè)階段。Tersoff 勢(shì)作用相比于線性作用，能夠更準(zhǔn)確地描述晶格間距對(duì)晶格間作用力的影響；位錯(cuò)的存在導(dǎo)致內(nèi)力產(chǎn)生，也引發(fā)了位錯(cuò)兩端晶格初始的相反運(yùn)動(dòng)，同時(shí)造成波速的減小。相比于壓縮過程，拉伸過程中晶格受力更小，位移峰值更大。相比于碳晶格，硅晶格位移峰值較大，而波速較低。在2 種晶格中，位移峰值和受力峰值都與入射速度線性相關(guān)，與宏觀連續(xù)介質(zhì)中波傳播的規(guī)律類似。

（3） 在多晶體系的波傳播中，原子的運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)與單晶體系中相似的規(guī)律：原子的運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)加速-減速2 個(gè)階段，拉伸過程的位移峰值大于壓縮過程。無缺陷時(shí)頂端一列原子與中間一列原子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律相似，而存在缺陷時(shí)頂端一列原子受影響較大。壓縮和拉伸沖擊下，含缺陷的金剛石中波的傳播呈現(xiàn)較大差異：壓縮會(huì)弱化缺陷的影響，而拉伸會(huì)強(qiáng)化缺陷的影響，拉伸沖擊下原子的最大位移大幅增大。在入射速度低于1 km/s 時(shí)，金剛石和碳化硅中位移和受力峰值都與入射速度線性相關(guān)；入射速度高于1 km/s時(shí)，碳化硅中呈現(xiàn)非線性規(guī)律，位移峰值增長(zhǎng)緩慢，受力峰值急劇增大。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐松林， 劉永貴， 席道瑛. 巖石物理與動(dòng)力學(xué)原理 [M]. 北京： 科學(xué)出版社， 2019： 1–21.

XU S L， LIU Y G， XI D Y. Rock physics and dynamics principle [M]. Beijing： Science Press， 2019： 1–21.

[2]王禮立. 應(yīng)力波基礎(chǔ) [M]. 2 版. 北京： 國(guó)防工業(yè)出版社， 2005： 1–28.

WANG L L. Foundation of stress waves [M] 2nd ed. Beijing： National Defense Industry Press， 2005： 1–28.

[3]袁良柱， 陸建華， 苗春賀， 等. 基于分?jǐn)?shù)階模型的牡蠣殼動(dòng)力學(xué)特性研究 [J]. 爆炸與沖擊， 2023， 43（1）： 011101. DOI：10.11883/bzycj-2022-0318.

YUAN L Z， LU J H， MIAO C H， et al. Dynamic properties of oyster shells based on a fractional-order model [J]. Explosion and Shock Waves， 2023， 43（1）： 011101. DOI： 10.11883/bzycj-2022-0318.

[4]袁良柱， 苗春賀， 單俊芳， 等. 沖擊下混凝土試樣應(yīng)變率效應(yīng)和慣性效應(yīng)探討 [J]. 爆炸與沖擊， 2022， 42（1）： 013101. DOI：10.11883/bzycj-2021-0114.

YUAN L Z， MIAO C H， SHAN J F， et al. On strain-rate and inertia effects of concrete samples under impact [J]. Explosion and Shock Waves， 2022， 42（1）： 013101. DOI： 10.11883/bzycj-2021-0114.

[5]CHEN M D， XU S L， YUAN L Z， et al. Influence of stress state on dynamic behaviors of concrete under true triaxial confinements [J]. International Journal of Mechanical Sciences， 2023， 253： 108399. DOI： 10.2139/ssrn.4332010.

[6]JANG S， RABBANI M， OGRINC A L， et al. Tribochemistry of diamond-like carbon： interplay between hydrogen content in the film and oxidative gas in the environment [J]. ACS Applied Materials amp; Interfaces， 2023， 15（31）： 37997–38007. DOI：10.1021/acsami.3c05316.

[7]HU L F， ZHAI X Y， LI J G， et al. Improving the mechanical properties and tribological behavior of sulfobetaine polyurethane based on hydrophobic chains to be applied as artificial meniscus [J]. ACS Applied Materials amp; Interfaces， 2023， 15（25）：29801–29812. DOI： 10.1021/acsami.3c02940.

[8]WANG D Y， WANG P F， WU Y F， et al. Temperature and rate-dependent plastic deformation mechanism of carbon nanotube fiber： experiments and modeling [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 2023， 173： 105241. DOI： 10.1016/j.jmps.2023.105241.

[9]薛曉. 碳納米管纖維的動(dòng)靜態(tài)力學(xué)性能研究 [D]. 合肥： 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)， 2020： 53–61. DOI： 10.27517/d.cnki.gzkju.2020.000565.

XUE X. Investigation of dynamic and quasi-static mechanical properties of carbon nanotube fibers [D]. Hefei： University of Science and Technology of China， 2020： 53–61. DOI： 10.27517/d.cnki.gzkju.2020.000565.

[10]MACHADO M， MOREIRA P， FLORES P， et al. Compliant contact force models in multibody dynamics： evolution of the Hertz contact theory [J]. Mechanism and Machine Theory， 2012， 53： 99–121. DOI： 10.1016/j.mechmachtheory.2012.02.010.

[11]BORODICH F M. The Hertz-type and adhesive contact problems for depth-sensing indentation [J]. Advances in Applied Mechanics， 2014， 47： 225–366. DOI： 10.1016/b978-0-12-800130-1.00003-5.

[12]YANG F， XIE W H， MENG S H. Impact and blast performance enhancement in bio-inspired helicoidal structures： a numerical study [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 2020， 142： 104025. DOI： 10.1016/j.jmps.2020.104025.

[13]PENG Q， LIU X M， WEI Y G. Elastic impact of sphere on large plate [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2021， 156： 104604. DOI： 10.1016/j.jmps.2021.104604.

[14]TANG X， YANG J. Wave propagation in granular material： what is the role of particle shape？ [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 2021， 157： 104605. DOI： 10.1016/j.jmps.2021.104605.

[15]ALBERDI R， ROBBINS J， WALSH T， et al. Exploring wave propagation in heterogeneous metastructures using the relaxed micromorphic model [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 2021， 155： 104540. DOI： 10.1016/j.jmps.2021.104540.

[16]WAYMEL R F， WANG E， AWASTHI A， et al. Propagation and dissipation of elasto-plastic stress waves in two dimensional ordered granular media [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 2018， 120： 117–131. DOI： 10.1016/j.jmps.2017.11.007.

[17]LI S F， WANG G. Introduction to micromechanics and nanomechanics [M]. Singapore： World Scientific Publishing Co. Pre.Ltd.， 2008.

[18]ZUNDEL L， MALONE K， CERDáN L， et al. Lattice resonances for thermoplasmonics [J]. ACS Photonics， 2023， 10（1）：274–282. DOI： 10.1021/acsphotonics.2c01610.

[19]CERDáN L， ZUNDEL L， MANJAVACAS A. Chiral lattice resonances in 2.5-dimensional periodic arrays with achiral unit cells [J]. ACS Photonics， 2023， 10（6）： 1925–1935. DOI： 10.1021/acsphotonics.3c00369.

[20]HU Y G， LIEW K M， WANG Q， et al. Nonlocal shell model for elastic wave propagation in single-and double-walled carbon nanotubes [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 2008， 56（12）： 3475–3485. DOI： 10.1016/j.jmps.2008.08.010.

[21]AGARWAL G， VALISETTY R R， DONGARE A M. Shock wave compression behavior and dislocation density evolution in Al microstructures at the atomic scales and the mesoscales [J]. International Journal of Plasticity， 2020， 128： 102678. DOI：10.1016/j.ijplas.2020.1026.

[22]SAM A， A?LVAREZ M B， VENEGAS R， et al. Multiscale acoustic properties of nanoporous materials： from microscopic dynamics to mechanics and wave propagation [J]. The Journal of Physical Chemistry C， 2023， 127（15）： 7471–7483. DOI：10.1021/acs.jpcc.3c00060.

[23]薛定諤. 薛定諤講演錄 [M]. 2 版. 范岱年， 胡新和， 譯. 北京： 北京大學(xué)出版社， 2019： 7–8.

SCHR?DINGER E. Lectures of Schr?dinger [M]. 2nd ed. Translated by FAN D N， HU X H. Beijing： Peking University Press， 2019： 7–8.

[24]TOLOS L， CENTELLES M， RAMOS A. The equation of state for the nucleonic and hyperonic core of neutron stars [J].Publications of the Astronomical Society of Australia， 2017， 34： e065. DOI： 10.1017/pasa.2017.60.

[25]AARABI M， SARKA J， PANDEY A， et al. Quantum dynamical investigation of dihydrogen-hydride exchange in a transitionmetal polyhydride complex [J]. The Journal of Physical Chemistry A， 2023， 127（31）： 6385–6399. DOI： 10.1021/acs.jpca.3c01863.

[26]HO W W， CHOI S. Exact emergent quantum state designs from quantum chaotic dynamics [J]. Physical Review Letters， 2022，128（6）： 060601. DOI： 10.1103/PhysRevLett.128.060601.

[27] 黃昆. 固體物理學(xué) [M]. 北京： 人民教育出版社， 1966： 35–43.

[28] 王禮立， 胡時(shí)勝， 楊黎明， 等. 材料動(dòng)力學(xué) [M]. 合肥： 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社， 2017： 33–158.

[29]BRENNER D W. Tersoff-type potentials for carbon， hydrogen and oxygen [J]. MRS Online Proceedings Library （OPL）， 1988，141： 59. DOI： 10.1557/proc-141-59.

[30]TERSOFF J. Modeling solid-state chemistry： interatomic potentials for multicomponent systems [J]. Physical Review B， 1989，39（8）： 5566. DOI： 10.1103/PhysRevB.39.5566.

（責(zé)任編輯 蔡國(guó)艷）

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金（12372372，11672286，11872361）；高壓物理與地震科技聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室開放基金 （2019HPPES01）；中石油與中科院重大戰(zhàn)略合作項(xiàng)目（2015A-4812）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金（WK2480000008）