基于廣義波阻抗理論的SHPB 試驗中彈性壓縮階段試件應(yīng)力-應(yīng)變曲線的應(yīng)力波效應(yīng)及其影響機理

摘要： 定量研究分離式霍普金森壓桿（split Hopkinson pressure bar，SHPB）試驗中彈性壓縮階段試件中的應(yīng)力波效應(yīng)是解耦準確材料彈性曲線的基礎(chǔ)。在滿足平面波假設(shè)的基礎(chǔ)上，基于廣義波阻抗理論，對桿與試件面積不匹配時試件彈性壓縮階段應(yīng)力波演化造成的結(jié)構(gòu)效應(yīng)開展了定量理論研究，分析了不同情況下彈性階段內(nèi)試件唯象工程及實際材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線的偏差特征與主要因素，并揭示了影響這種偏差的影響規(guī)律及其機理。研究表明：對于線性入射加載波，當無量綱時間為0.5 的倍數(shù)時，即使其他參數(shù)改變，試件唯象與材料實際的應(yīng)力-應(yīng)變曲線仍對應(yīng)相等；試件兩端的應(yīng)力差較大時，若應(yīng)力差的變化趨于穩(wěn)定，則試件唯象與材料實際的應(yīng)力-應(yīng)變曲線差異較小。計算了不同波動區(qū)間內(nèi)試件的最大應(yīng)力偏離值及其變化趨勢和對應(yīng)的無量綱時間，研究了入射波是雙線性組合波時試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。研究表明：雙線性波入射時，2 個線性區(qū)間可以獨立分析，無論如何組合線性區(qū)間或應(yīng)力差如何變化，只要試件兩端應(yīng)力差為近似恒定曲線，對應(yīng)的試件唯象工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線都是相對準確的。

關(guān)鍵詞： 分離式霍普金森壓桿；應(yīng)力波效應(yīng)；應(yīng)力均勻性假設(shè)；動態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線

中圖分類號： O347.4 國標學科代碼： 13015 文獻標志碼： A

分離式霍普金森壓桿（split Hopkinson pressure bar，SHPB）是當前材料動態(tài)壓縮性能試驗的核心裝置之一。利用SHPB 試驗獲取材料的一維動態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線，進而獲得材料強度的應(yīng)變率效應(yīng)與動態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，是材料動態(tài)本構(gòu)方程建立的重要環(huán)節(jié)。SHPB 試驗建立在平面波假設(shè)和應(yīng)力均勻性假設(shè)的基礎(chǔ)上，理論上講，滿足這2 個假設(shè)，SHPB 試驗就能得到試件準確的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。滿足平面波假設(shè)，確保了試件的唯象工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線是一維的、準確的；滿足應(yīng)力均勻性假設(shè)，保障了試件的唯象工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線（簡稱試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線）與試件材料的工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線（簡稱材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線）是相同的。其中，平面波假設(shè)是包含準靜態(tài)試驗的單軸壓縮試驗必須遵守的前提，然而，SHPB試驗過程中，試件兩端面摩擦效應(yīng)[1-2]、桿與試件共軸問題[3-4]、端面接觸不良[5-6]、桿中彈性波傳播的彌散效應(yīng)[7-10]、試件橫向慣性效應(yīng)[11] 等因素破壞了平面波假設(shè)，影響了試驗的準確性；這些問題無法避免，只能通過技術(shù)與算法改進的方法優(yōu)化完善。更嚴重的是，在基于應(yīng)力波傳播與演化理論的SHPB 試驗中，試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線是材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試件中應(yīng)力波效應(yīng)（結(jié)構(gòu)效應(yīng)）耦合的結(jié)果，應(yīng)力均勻性假設(shè)本身就不成立，它是為了避免復(fù)雜的應(yīng)力波解耦分析和簡化數(shù)據(jù)處理方法而人為設(shè)定的。即使?jié)M足或近似滿足2 個基本假設(shè)，也只表示試驗中的應(yīng)力-應(yīng)變曲線是試件材料的動態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線，若考慮材料在某個應(yīng)變率下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，還需滿足恒應(yīng)變率假設(shè)，即加載階段的某個時間區(qū)間內(nèi)應(yīng)變率保持或近似保持恒定。恒應(yīng)變率問題是一個復(fù)雜的試驗技術(shù)問題，一般可以通過整形片等技術(shù)來進行波形調(diào)節(jié)或利用算法進行校正，它不是本文的研究重點，不做深入分析。

一般而言，SHPB 試驗中，材料的彈性階段不在試件的近似應(yīng)力均勻區(qū)間內(nèi)，相應(yīng)的彈性應(yīng)力-應(yīng)變曲線被認為是不準確的，然而有必要對試件彈性壓縮階段的應(yīng)力波效應(yīng)進行解耦分析。原因有三：首先，理論上滿足應(yīng)力均勻性假設(shè)是準確的，但也沒有證據(jù)表明不滿足應(yīng)力均勻性假設(shè)是不準確的，部分學者在擬合材料本構(gòu)方程或研究材料的黏性效應(yīng)時，分析彈性階段的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，考察其動態(tài)楊氏模量[12-14] 和黏彈性特征[15-17]；其次，研究材料的動態(tài)屈服強度率效應(yīng)是SHPB 試驗的核心任務(wù)之一，而動態(tài)屈服強度處于彈性階段到塑性階段的轉(zhuǎn)折區(qū)，彈性階段應(yīng)力波效應(yīng)的定量分析是準確確定材料動態(tài)屈服強度的重要支撐；最后，在工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線的轉(zhuǎn)換算法中，一般需要預(yù)先給出材料的彈性屈服應(yīng)變才能轉(zhuǎn)換塑性階段的曲線，在準靜態(tài)試驗中，彈性屈服應(yīng)變很小，可以不加區(qū)分直接轉(zhuǎn)換，但在SHPB 試驗中，很多情況下試件的唯象彈性屈服應(yīng)變明顯大于材料的實際屈服應(yīng)變，直接轉(zhuǎn)換的誤差極大。

特定的桿系統(tǒng)中，在平面波假設(shè)的前提下，影響應(yīng)力波效應(yīng)的主要因素有桿與試件橫截面的面積比、試件的長度、試件材料的楊氏模量與密度等，其中楊氏模量與密度以聲速和波阻抗以組合的形式對應(yīng)力波效應(yīng)產(chǎn)生影響，也就是說主要影響因素有面積比、試件長度、聲速與波阻抗。理論上，試件長度越大、聲速越小、廣義波阻抗越大（但應(yīng)小于桿的廣義波阻抗）都會放大應(yīng)力波效應(yīng)，從而不利于試件的應(yīng)力均勻性。本文中，在平面波假設(shè)和廣義波阻抗理論的基礎(chǔ)上，對試件彈性壓縮階段的應(yīng)力波效應(yīng)開展定量理論分析，研究桿與試件面積不匹配以及應(yīng)力波效應(yīng)時試件與材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線差異，以及應(yīng)力波效應(yīng)影響這種偏差的機理，揭示面積比對試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響，以期從試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線中解耦出材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，為SHPB 試驗的精細化設(shè)計和試驗數(shù)據(jù)的準確處理提供理論參考。

以線性上升入射加載情況（圖4）為例，設(shè)入射波峰值應(yīng)力為?100 MPa，加載寬度為10 mm，利用ABAQUS 軟件進行數(shù)值仿真。仿真模型中三桿共軸，且材料參數(shù)與第1 節(jié)中參數(shù)相同，采用二維軸對稱線性顯式單元， 網(wǎng)格尺寸為0.25 mm×0.25 mm，入射桿與透射桿長度均為1 000 mm，加載時間寬度約36 μs。數(shù)值仿真過程中，雖然入射桿左端輸入的入射波為圖4 所示波形，但在桿中傳播過程中由于人工黏性使“尖銳”拐角部分成弧形，導致入射波斜率減??；且實際斜率越大，數(shù)值誤差越大，導致輸入的入射波與到達試件左端面的入射波差異較大。為了對比理論推導與數(shù)值仿真，理論計算中也采用仿真中入射桿試件端真實的入射波代替式（18），計算桿中的反射波與透射波應(yīng)力，理論計算與數(shù)值仿真的結(jié)果對比如圖5 所示，兩者符合良好。數(shù)值仿真中，雖然假設(shè)桿材料無泊松比，但由于桿與試件面積不匹配，導致直徑相對較大的反射桿中存在明顯的應(yīng)力波紊亂行為，反射波發(fā)生振蕩；對于線彈性波傳播的二維軸對稱有限元計算，可以認為數(shù)值仿真結(jié)果是準確的。這也表明，基于一維彈性波理論與廣義波阻抗假設(shè)的理論推導是正確的。

根據(jù)式（38）～（39），計算線性入射波斜率不同時試件的應(yīng)變率時程曲線和應(yīng)變時程曲線，結(jié)果如圖10和11 所示。

特別地，當tˉ 為0.5 的整數(shù)倍，即tˉ= 0.5n" （n 為正整數(shù)）時，試件兩端的平均軸向應(yīng)力為：

根據(jù)式（40）～（41），計算試件工程的楊氏模量：

式中：Es為試件材料的楊氏模量。類似地，可以推導，ˉt = 0：5n時，對應(yīng)點與零點的連線斜率即試件唯象的楊氏模量正好等于材料的楊氏模量。

以入射波上升沿寬度為8 μs 為例，根據(jù)式（33）和（39），計算試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，并與仿真計算中所輸入的線彈性材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線作對比，如圖12 所示?？梢钥闯?，試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線雖然波動，但每當ˉt = 0.5n時，又回歸到材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線上，與理論推導的結(jié)論完全一致。由式（41） 可知，ˉt = 0.5n時，試件的應(yīng)變與ˉt成正比，也就是說，隨著時間的推移，相同時間內(nèi)試件的應(yīng)變逐漸變大，圖12 中試件應(yīng)力-應(yīng)變曲線的波動周期也逐漸增大。

圖 13 顯示了tˉ= 0.5n 時，不同的入射波斜率對應(yīng)的試件應(yīng)力-應(yīng)變點以及材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。從圖11 和式（39）可以看出，隨著入射波斜率的增大，相同時間內(nèi)試件的應(yīng)變成正比地增大，圖13 中應(yīng)力-應(yīng)變曲線的振蕩周期也成正比地增加。

定義任意時刻試件的應(yīng)力偏離值（δσ（t））為試件的軸向平均應(yīng)力（σ ）與材料的理論應(yīng)力（σ ）之差：

結(jié)合式（47） 和（49） 可知：當-t＞1.0時，試件的唯象應(yīng)力-應(yīng)變與試件材料的真實應(yīng)力-應(yīng)變2 條曲線的最大偏差約2.1 MPa；當-t＞2.0 時，2 條曲線的最大偏差小于0.24 MPa，圖12 中，此時試件的唯象應(yīng)力-應(yīng)變曲線與材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線基本重合，說明試件的曲線相對準確。綜合式（34） 和圖10 可以發(fā)現(xiàn)，-t2.0 時，試件兩端的應(yīng)力差約為7.15 MPa，相對應(yīng)力不均勻度為16.5%，應(yīng)力波在試件中往返2 次。因此，應(yīng)力均勻性假設(shè)是試件彈性階段應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系能相對準確測定的充分非必要條件。

一般地，對于特定的SHPB 和試件材料，其截面積減小，廣義波阻抗比k 成正比地減小，彈性入射波的峰值也成比例地減小。圖14 顯示了桿與試件的截面積比分別為2∶1、3∶1、4∶1 和5∶1 時，試件的唯象應(yīng)力-應(yīng)變曲線以及試件材料的實際應(yīng)力-應(yīng)變曲線?？梢钥闯觯航孛娣e比不同時，試件的唯象應(yīng)力-應(yīng)變曲線均表現(xiàn)出“振蕩-回歸”趨勢，且振蕩幅度逐漸減??；截面積比越小，振蕩周期時間越短，最大偏離值越小。這是因為，相同時刻，隨著截面積比的減小，試件的應(yīng)變也減小，如圖15 所示。

隨著截面積比的增大，試件的唯象應(yīng)變率特別是穩(wěn)定階段的應(yīng)變率逐漸增大；截面積比小的試件達到應(yīng)變率平臺所需的時間更短，如圖16 所示。截面積比為2∶1、-t＞2.0時，試件的應(yīng)變率基本穩(wěn)定在60 s?1 左右；而截面積比為5∶1、-t=6.0 時，試件的應(yīng)變率還未進入穩(wěn)定區(qū)，約為148 s?1。

對于試件兩端的應(yīng)力差，截面積比只影響它到達相對穩(wěn)定區(qū)的時間；在穩(wěn)定區(qū)，試件兩端的應(yīng)力差相同，約為3.6 MPa，如圖17 所示。隨著截面積比的增大，應(yīng)力差時程曲線的振蕩幅度也逐漸增大。截面積比為2∶1 時，最大應(yīng)力差為4.8 MPa；截面積比為5∶1 時，最大應(yīng)力差為6.0 MPa。隨著截面積比的增大，應(yīng)力差到達穩(wěn)定區(qū)的時間也逐漸加大。截面積比為2∶1 時，應(yīng)力差到達穩(wěn)定區(qū)的無量綱時間為2.0；截面積比為5∶1 時，應(yīng)力差到達穩(wěn)定區(qū)的無量綱時間超過6.0。相應(yīng)地，截面積比為2∶1 時，-t＞2.02.0，試件的唯象應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試件材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線基本重合；而截面積比為5∶1 時，-t＞6.0，2 條曲線基本重合（圖14）。

4 非線性入射波時試件的工程應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

實際SHPB 試驗中，入射波中的加載并不是理想的單線性加載，而是如圖18 所示的形式。將圖18簡化為雙線性形式，從線性交點處分別取1 個單位長度進行弧形光滑過渡處理，第1 個線性加載寬度為4 μs、峰值應(yīng)力為10 MPa；第2 個線性加載寬度分別為2、4、8、16 和32 μs，峰值應(yīng)力為100 MPa。圖19為第2 個線性加載寬度為8 μs 時試件的軸向平均應(yīng)力與應(yīng)變時程曲線，可以看出，2 條曲線的變化趨勢與入射波相同，最大彈性應(yīng)變約為0.000 8，最大應(yīng)力約為186 MPa。

對于近似雙線性的入射波，試件的應(yīng)力差（圖20）可劃分為2 個階段。在第1 階段，由于入射波斜率較小，應(yīng)力差的振蕩幅度也較小，-t＞1.0 后，基本穩(wěn)定；在第2 階段，應(yīng)力差與入射波的斜率相關(guān)，其變化趨勢與單線性入射時一致?？梢钥闯?，這2 個階段沒有明顯的耦合關(guān)系，可以獨立分析。

圖21 為雙線性入射時試件的唯象應(yīng)力-應(yīng)變曲線，其變化趨勢與圖20 的應(yīng)力差時程曲線一致，可劃分為2 個階段。在第1 階段，應(yīng)力與應(yīng)變線性相關(guān)；在第2 階段，應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征與單線性入射時基本一致。2 個階段無相互影響，這說明若入射波可等效為多段線性波的組合，且每一段的作用時間足以使試件的應(yīng)力差到達恒定區(qū)，則對應(yīng)的試件唯象工程應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是相對準確的。

5 結(jié) 論

針對SHPB 試驗中試件彈性階段的應(yīng)力-應(yīng)變問題，忽略桿與試件端面的摩擦以及面積不匹配導致的應(yīng)力紊亂，基于一維波的廣義波阻抗假設(shè)，對試件與桿不匹配時試件彈性壓縮階段應(yīng)力波傳播導致的結(jié)構(gòu)效應(yīng)開展了定量的理論分析，揭示了桿與試件截面積比對彈性階段內(nèi)試件唯象工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響，得到的主要結(jié)論如下。

（1） 基于廣義波阻抗在界面上的平衡和連續(xù)條件，考慮桿與試件面積不匹配的情況，推導了任意應(yīng)力波入射時在一維彈性波透反射作用下試件兩端的應(yīng)力、透反射應(yīng)力波以及試件的唯象應(yīng)變率，并開展了對應(yīng)的數(shù)值仿真研究，理論推導與數(shù)值仿真的結(jié)果基本一致。

（2） 以線性入射加載波為例，推導了試件的平均軸向應(yīng)力、軸向應(yīng)力差、試件唯象工程應(yīng)變率與應(yīng)變等關(guān)鍵參量，分析了試件的唯象工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線與實際材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線的差異。當無量綱時間為0.5 的倍數(shù)時，即使其他參數(shù)變化，試件的唯象工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線與材料實際的應(yīng)力-應(yīng)變曲線對應(yīng)相等。

（3） 桿與試件截面積不匹配的情況下，對于單線性入射波，即使試件兩端的應(yīng)力差較大，若應(yīng)力差的變化趨于穩(wěn)定，則試件唯象與材料實際的應(yīng)力-應(yīng)變曲線差異較小，試件的唯象工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線相對準確。對于多線性組合的入射波，若每一段的應(yīng)力差都能到達恒定區(qū)，對應(yīng)的試件唯象工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線相對準確；若在加載區(qū)間內(nèi)，應(yīng)力差不能到達恒定區(qū)，則試件的唯象工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線存在一定偏差。

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（責任編輯 王小飛）

基金項目： 國家自然科學基金（ 12172179，U2341244，11772160）