脆性梁彎曲斷裂所激發(fā)的彎曲波

摘要： 脆性細長結(jié)構(gòu)在彎曲載荷作用下突然斷裂，可能導致斷裂點附近出現(xiàn)二次斷裂。傳統(tǒng)的Euler-Bernoulli 梁理論難以描述突加載荷或突卸載荷所導致的波動現(xiàn)象，而Timoshenko 梁中的彎曲波速度為有限值，具有一個內(nèi)稟特征時間，因此基于Timoshenko 梁理論來分析彈性梁的彎曲斷裂問題。使用Timoshenko 梁理論，結(jié)合一個包含斷裂能的脆性內(nèi)聚力彎曲斷裂模型，建立一維彎曲波傳播問題的初邊值問題，采用特征線方法求解3 種邊界條件下半無限長梁中卸載彎曲波的傳播問題；進一步分析了斷裂能對斷裂時間以及峰值彎矩的影響，然后通過數(shù)值計算給出這3 種情況下梁的動力學響應過程。研究結(jié)果表明：處于純彎曲狀態(tài)的梁一旦發(fā)生瞬時斷裂，二次斷裂發(fā)生點距離初次斷裂點的最短距離為梁截面回轉(zhuǎn)半徑的5 倍，因為該距離以內(nèi)的彎矩不會出現(xiàn)過沖；最有可能發(fā)生二次斷裂的位置與無量綱斷裂能和無量綱開裂角度有關，在距離初始斷裂點17.7 個特征長度的位置會產(chǎn)生幅值達到1.67 倍初始彎矩的峰值彎矩；較大的斷裂能將延長斷裂時間，導致彎矩峰值點位置偏遠，相應的峰值載荷也降低。

關鍵詞： Timoshenko 梁；內(nèi)聚力彎曲斷裂；卸載彎曲波；峰值彎矩；二次斷裂；斷裂韌性

中圖分類號： O347 國標學科代碼： 13015 文獻標志碼： A

脆性細長結(jié)構(gòu)受彎曲主導載荷作用發(fā)生碎裂的現(xiàn)象屢見不鮮，例如，建筑梁在爆炸和沖擊載荷作用下會出現(xiàn)多處彎曲斷裂；在微細觀尺度上，脆性纖維在橫向載荷作用下經(jīng)常斷裂成多段。為了理解這些場景中破壞的產(chǎn)生與發(fā)展，對彎曲卸載波的傳播過程及彎曲脆斷機理的研究必不可少。許多實驗現(xiàn)象表明，即使在準靜態(tài)載荷作用下，脆性細長梁在突然斷裂時也可能引發(fā)次生斷裂，典型的事例最初由Feynman 等[1] 在觀察意大利面的彎曲斷裂現(xiàn)象時發(fā)現(xiàn)，由此產(chǎn)生“為什么意大利面條總是斷成許多段”的問題，后稱作Feynman 問題。該問題涉及彎曲卸載波傳播和脆斷機理兩方面。對于彎曲波傳播問題，Schindler 等[2] 基于Euler-Bernoulli 梁理論給出了一個突發(fā)斷裂導致卸載彎曲應力波的解析解，發(fā)現(xiàn)純彎曲梁的突然斷裂將導致毗鄰區(qū)域的彎矩出現(xiàn)1.43 倍初始彎矩的過沖，并通過實驗測量到了因彎曲斷裂而激發(fā)出的卸載彎曲應力波。Audoly 等[ 3 ] 著重于Feynman 問題，基于Euler-Bernoulli 梁理論再次推導出初始斷裂將導致鄰近區(qū)域的曲率將超過初始值的結(jié)果，并解釋了意大利面總是斷裂成多段的現(xiàn)象。雖然Feynman 問題可以通過Euler-Bernoulli 梁理論得到合理的解釋，但存在兩點不足：（1） Euler-Bernoulli 梁理論不能完整說明彎曲波的傳播，在該理論框架下，一旦彈性梁突然斷裂，所激發(fā)的卸載彎曲波將瞬間影響整個梁，基于半無限長梁的自相似解雖然說明了局部曲率高于斷裂時刻曲率的過沖現(xiàn)象，但無法進一步研究二次斷裂相關特征參數(shù)；（2） 采用斷裂點彎矩突降，忽略了斷裂發(fā)生的過程和斷裂時間，也無法進一步分析斷裂韌性對卸載波和二次斷裂的影響。

相較于Euler-Bernoulli 簡單梁理論，Timoshenko 梁理論[4] 進一步考慮了旋轉(zhuǎn)慣性和切應力效應的影響，是一種更符合實際的梁理論。由于Timoshenko 梁理論中彎曲波波速為有限值，該理論包含了彎曲波傳播的特征時間。龍龍等 [5] 在Timoshenko 梁理論框架下研究了半無限長脆性梁發(fā)生突然彎曲斷裂和斜坡斷裂條件下所產(chǎn)生的卸載彎曲應力波傳播問題，其分析結(jié)果來自數(shù)值反變換技術，計算精度有限。當采用積分變換方法求解，即以卷積公式寫出在階躍彎矩和斜坡彎矩作用下的彎曲波傳播問題的解析表達式，并進一步分析半無限長Timoshenko 梁的突然卸載問題，發(fā)現(xiàn)在主斷裂點鄰近區(qū)域存在一個特定位置，其峰值彎矩幅值的過沖達到1.68。

積分變換方法雖然對一些問題可以給出完整的解析解，但通常只適用于線彈性波，而對廣泛存在的非線性波動問題以及波動與斷裂相互耦合問題，其應用場景有限[6]。另一方面，延時卸載的彎矩邊界條件雖然為梁的斷裂引入了歷時過程，但將斷裂視為一個已經(jīng)預定的過程，其延時時間、卸載路徑缺乏清晰的物理含義。李鳳云[7] 采用基于拉伸-分離規(guī)律的內(nèi)聚力單元模擬了脆性梁在純彎曲載荷作用下的斷裂過程，發(fā)現(xiàn)在一個廣泛的材料參數(shù)和彎曲轉(zhuǎn)動率下，梁的斷裂點殘余彎矩隨斷口轉(zhuǎn)角單調(diào)變化，這意味著可以采用一個普適的內(nèi)聚力彎曲斷裂模型，唯象地描述脆性梁彎曲斷裂過程中殘余彎矩與斷口開裂角度之間的關系。由于內(nèi)聚力彎曲斷裂規(guī)律通常為非線性，對于這一類具有復雜斷裂模型的問題，積分變換方法無法使用。

Leonard 等[8] 最早將特征線法引入Timoshenko 梁的計算；Al-Mousawi 等[9-10] 基于Timoshenko 梁理論運用特征線法計算了變截面梁上彎曲波的傳播，并論證了算法的穩(wěn)定性和收斂性，以及Timoshenko 梁理論在研究彎曲波問題時的準確性。以廣義特征理論為基礎的特征線計算方法，其優(yōu)點是物理概念和物理圖像十分清晰，可以清楚地揭示波傳播的物理過程，差分格式穩(wěn)定、計算效率高。本文中采用數(shù)值方法分析Timoshenko 梁中彎曲波的傳播過程，以及彎曲波傳播與內(nèi)聚力斷裂之間的相互作用。計算方法以基本控制方程的特征線分析為基礎。在Timoshenko 梁理論框架下，研究脆性梁突然彎曲斷裂所產(chǎn)生的卸載彎曲波傳播問題，采用特征線方法得到卸載彎曲波傳播的響應數(shù)值解。利用Timoshenko 梁受沖擊載荷作用下的解析解，驗證特征線法的有限差分數(shù)值解的有效性；采用考慮斷裂能的內(nèi)聚力彎曲斷裂模型，即斷裂點所承受的殘余彎矩（內(nèi)聚力彎矩）是轉(zhuǎn)角的線性遞減函數(shù)，計算彎曲波傳播的數(shù)值解，分析不同斷裂參數(shù)下卸載彎曲波的傳播特征，給出脆性梁突然彎曲斷裂時二次斷裂碎片尺寸的數(shù)值預測。

1 Timoshenko 梁理論和特征線法處理

相較于通過Euler-Bernoulli 梁對彎曲波問題進行研究，同時考慮了旋轉(zhuǎn)慣性和切應力效應的Timoshenko 梁理論更適合描述瞬態(tài)響應問題。其中，旋轉(zhuǎn)慣性的引入使Timoshenko 梁中卸載彎曲波的傳播具有強烈的局部化效應；而切應力效應的引入進一步降低了Timoshenko 梁中彎曲擾動的傳播，在梁中形成以剪切速度傳播的擾動。因此，Timoshenko 梁可以提供彎曲斷裂的一個特征空間尺度，方便預測二次斷裂。

1.1 Timoshenko 梁基本方程

Timoshenko 梁的理論模型如圖1[4] 所示，其中M、Q分別表示彎矩和剪力，是梁所受的廣義載荷； ψ、γ分別表示彎矩、剪力引起的截面轉(zhuǎn)角。此外，為了后續(xù)表述方便清晰，規(guī)定如下符號：ωM、ωQ分別表示彎矩、剪力引起的截面橫向位移（y 軸方向） ，ω表示總的橫向位移；v、ω分別表示截面的橫向移動速度、轉(zhuǎn)動角速度；κ表示梁的曲率。由動力學分析可知，以上10 個量均為獨立變量 x、t 的函數(shù)，x 、t 分別表示梁的軸向坐標、時間。

通過動力學、運動學和幾何關系分析，Timoshenko 梁的控制方程可寫成如下僅包含2 個未知函數(shù) 和 的形式 [4]：

以上方程中涉及的材料參數(shù)或結(jié)構(gòu)常數(shù)有：體積密度 ρ、彈性模量 E、剪切模量G 、剪切修正系數(shù)k 、橫截面面積A 、橫截面對中性軸的慣性矩I ，以及在無量綱化中會使用的回轉(zhuǎn)半徑R =根號下I/A；涉及的本構(gòu)方程包括：M=EIk，Q=GAκγ。

1.2 特征線及其相容關系

采用特征線法[8] 處理Timoshenko 梁的基本方程，將其處理為如下矩陣格式：

在給定梁的參數(shù)矩陣B情況下，未知函數(shù)W可通過求解一階波動方程式（2） 獲得。由于該方程涉及相互耦合的未知函數(shù)，對矩陣B進行對角化處理，首先尋找B的特征值μ和相應的左特征行向量lT，使得：

在橫向速度沖擊下，梁的剪切變形占主導地位，分析時更關注剪力峰值和剪切波的傳播。圖5 給出了在左邊界x = 0 和梁上x = 5 位置剪力隨時間的變化。比較2 個位置的剪力方向，會發(fā)現(xiàn)：（1） 在邊界上為了維持橫向速度為常數(shù)，邊界剪切力逐漸減?。唬?） 剪切力擾動最早在t = 5 時刻到達x = 5 位置，這是通過彎矩形成耦合效應，以彈性縱波速度c0 = 1 傳播的擾動，且到達時刻剪切力方向是反向的；（3） 在x = 5 處，可以看到2 個清晰的波陣面先后到達此處，首先是以縱波波速c0 為主導的邊界擾動，在t = 9 時刻突加的邊界速度擾動以等效剪切波速cQ = 5/9 傳播至此，導致剪力發(fā)生突變，這符合剪力和橫向速度共同沿次特征線走的計算過程。

圖5 中所示的虛線是文獻[11] 中給出的解析解結(jié)果。數(shù)值計算曲線（實線）的整體走勢與解析解（虛線）保持一致。圖6 給出了在t = 5時刻和t = 10時刻剪力的空間分布曲線，其中圖6 中的虛線是文獻[11] 中給出的解析解結(jié)果。同樣可以看出，數(shù)值解基本重復了解析解的曲線走向，但在剪力突變的強間斷位置，即解析解曲線的陡峭處會出現(xiàn)一定程度的光滑作用，平滑了t = 5，9時的曲線跳躍。造成這個現(xiàn)象的原因是采用了主特征線網(wǎng)格，對于該網(wǎng)格，CFL （Courant-Friedrichs-Lewy） 條件[12] 中的CFL 數(shù)9c0Δt/Δx = 1，而剪力傳播是沿著由主特征線網(wǎng)格插值而來的次特征線進行的，插值導致CFL 數(shù)cQΔt/Δx＜1。根據(jù)CFL 條件，CFL 數(shù)等于1 時，數(shù)值結(jié)果無耗散、無振蕩；CFL 數(shù)小于1 時，雖然數(shù)值格式的計算穩(wěn)定性得以保證，但存在由于數(shù)值擴散機制而出現(xiàn)的耗散現(xiàn)象。

圖7 給出了在t = 5時刻梁上橫向速度和彎矩的波形分布，圖中速度強間斷以恒定的跳躍幅值傳播至x = cQt =25/9處，期間速度幅值由于彎曲波傳播過程中的色散而產(chǎn)生衰減，對照彎矩的變化，此處的彎矩也存在一個弱間斷。

2.2 靜止梁端部受階躍彎矩作用

不同于橫向沖擊下關注剪力峰值和剪切波的傳播，在研究彎曲變形主導下的彎曲斷裂時，彎矩峰值和彎曲波的傳播更值得關注?？紤]圖4（b） 所示的靜止梁端部受突加彎矩作用，左邊界條件為：

M（0，"t） = m0H（t） ，"Q（0，"t） = 0 （22）

式中：H（t）為Heaviside 函數(shù)。計算過程中取波速比λ=cQ/c0=5/9，突加彎矩m0 = 1，空間步長與時間步長Δx = Δt = 0：001。在此初邊值條件下，運用特征線法求得t=5，10， 15， 20時刻的彎矩分布波形如圖8 實線所示，對比給出了解析解結(jié)果，如圖8 虛線所示?？梢钥闯觯瑪?shù)值計算結(jié)果與解析解完全一致，特征線法準確地捕捉到了強間斷波陣面的傳播過程，且沒有發(fā)生數(shù)值衰減，這是因為計算過程中彎矩是沿著主特征線傳播的，CFL 數(shù)c0Δt/Δx= 1，數(shù)值格式無耗散、無振蕩。

在邊界突加彎矩作用下，梁的彎曲變形占主導地位，分析時更關注彎矩峰值和彎曲波的傳播過程。從圖8 可以看到，突加的恒定彎矩并沒有得到穩(wěn)定傳播，而是出現(xiàn)了極速衰減，甚至出現(xiàn)反向彎矩，由此形成了一個陡峭的三角波陣面，造成這種彎矩快速下降的原因在于剪切力的耦合作用，圖9 給出了t = 5;10;15;20時刻的剪切力分布波形。以t = 15時刻（藍線）的波形圖為例， 波速為c0 = 1的縱波強間斷波陣面到達x = 15時，導致彎矩出現(xiàn)1 的峰值，對應的剪切力分布是一個弱間斷波陣面，在x =75/9 = 8：33位置以橫波速度cQ = 5/9傳播的剪切擾動到達，剪力快速拉升，相應地梁中的彎矩分布也逐漸提高，并在邊界點達到1 的邊界值。由此可見，彎矩和剪力這一對耦合的波在梁的行進中形成了此消彼長的關系。

上述問題可以轉(zhuǎn)換為意大利面條在準靜態(tài)純彎曲作用下折斷的問題：考慮一根以恒定速率彎曲（緩慢增加曲率）的脆性梁，在T0時刻發(fā)生斷裂，此時梁承受的彎矩達到極限值m0，梁一分為二。在斷口中心，由于左右對稱性，剪切應力始終為0，而彎矩則瞬時下降?？紤]T＞T0時刻斷裂激發(fā)的卸載彎曲波的傳播特征，以t = T -T0為計算時刻，則梁的初始條件和左端邊界條件為：

M（x，0） = m0， Q（x，0） = 0，ω（x，0） = 0 v （x，0） = 0 （23）

Q（0， t） = 0， M（0，"t） = m0 （1-H（t）） t＞0 （24）

對此問題進行數(shù)值模擬，所得到的不同時刻梁中的彎矩分布圖等價于自由靜止梁突加彎矩m0 問題的解，即圖8（a） 所描述的彎矩分布的反相和平移，如圖10（a） 所示（取m0 = 1.0）。從圖10（a） 中結(jié)果可以看出，對于Timoshenko 梁來說，一旦出現(xiàn)突然斷裂，則距離斷裂點一段距離后，梁中的彎矩才可能出現(xiàn)過沖（M＞m0）。圖10（b） 描繪了一旦發(fā)生斷裂，卸載彎曲波掃過的不同位置所經(jīng)歷的最大彎矩分布。傳統(tǒng)的E u l e r - B e r n o u l l i 梁突然卸載問題的解[ 2 - 3 ] 預測， 斷口附近任意位置的彎矩過沖均為1 . 4 3 ， 而Timoshenko 梁的解與此不一樣，與斷裂點距離不同的位置上產(chǎn)生的過沖峰值不一樣，距離越遠，過沖值先增后減，特別是在x = 18.01位置，最大過沖值達到初始值的1.68 倍。通過理論分析已經(jīng)發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論，本文中的數(shù)值模擬工作進一步證實此結(jié)果。

3 Timonshenko 梁的內(nèi)聚力彎曲斷裂

從上述計算結(jié)果可以看出，考慮切應力效應和旋轉(zhuǎn)慣性的Timoshenko 梁理論解決了Euler-Bernoulli簡單梁理論中彎曲波速度無限大的問題，揭示了彎曲波以有限的縱向波速 和等效剪切波速 傳播的特征。另一方面，材料斷裂過程也需要一定的時間，斷裂時間長短與材料的斷裂韌性以及裂紋與外部載荷相互作用有關。對于在極短時間發(fā)生的動態(tài)脆斷，后者往往以卸載波形式發(fā)生。本節(jié)把彎曲脆斷過程視為一個斷口抗彎剛度與轉(zhuǎn)角的內(nèi)聚力斷裂過程，采用特征線分析方法研究卸載彎曲波傳播、斷裂過程以及斷裂時間的相互影響。

3.1 脆性梁的內(nèi)聚力斷裂模型

大部分梁的彎曲斷裂是一個橫向斷口從拉伸面向壓縮面?zhèn)鞑サ倪^程，直到裂紋面切斷整個梁，如圖11 所示。李鳳云[7] 在模擬脆性梁彎曲斷裂過程中發(fā)現(xiàn)斷裂中的梁的殘余彎曲強度（即可承受彎矩M）與斷口開裂角度 之間存在一致的函數(shù)關系。如果把M 視為 的函數(shù)，則該函數(shù)通常為遞減的曲線關系，反映了斷口的內(nèi)聚力斷裂特征。而M（θ）曲線下方的面積為梁完全破斷所消耗的能量。只要給定 M（θ）模型和基本參數(shù)，則可以將該條件作為耦合邊界條件施加到上述數(shù)值計算中，從而計算和分析梁的斷裂過程和斷裂所激發(fā)的卸載彎曲波傳播規(guī)律。

內(nèi)聚力彎曲斷裂模型參考Kipp 等[13] 提出的針對韌性金屬的線性內(nèi)聚力拉伸斷裂模型，此模型下，將殘余彎矩和開裂角度進行積分，即得斷裂過程所消耗的斷裂能，具有明確的物理意義。該模型包含裂縫附近的應力釋放所導致的彎曲波的傳播特性以及裂紋生長過程中的局部能量耗散。

圖12 給出了3 種不同斷裂能下的線性彎曲斷裂模型，保持斷裂彎矩（脆性梁所能承受的最大彎矩）不變，通過控制開裂角度的大小間接控制斷裂能，開裂角度越大表示斷裂所需的斷裂能越大。由于數(shù)值計算的需要，計算時，初始時刻的殘余彎矩取斷裂彎矩（脆性梁所能承受的最大彎矩）的99%，為了保持每種情況下斷裂能總體不變，斷裂結(jié)束時的開裂角度相應增加。參考李鳳云[7] 計算的結(jié)果，斷裂彎矩取Mc = 0.07；假設斷裂時裂紋對稱，則計算時開裂角度取 的一半。

3.2 內(nèi)聚力斷裂過程和卸載彎曲波

計算如圖12 所示3 種不同邊界條件下斷裂點的殘余彎矩M隨時間 的變化，結(jié)果如圖13 所示，每條彎矩時程曲線均經(jīng)歷了初始的緩慢卸載和后期的快速卸載階段，M（t）曲線類似于拋物線形狀；與之線性相關的裂紋開裂角度θ （t）同樣有著初始緩慢增加、后期快速開裂的過程，這與Heisser 等[14] 用高速攝影所觀察到的意大利面彎曲斷裂過程相似，即裂紋在起始后相當長一段時間（數(shù)毫秒）保持靜止，隨后以接近聲速的高速傳播約10 μs，最終導致斷口完全斷裂。隨著臨界開裂角度的減小，斷口彎矩完全卸載的時間也相應縮短，也就是說斷裂能越小，材料越脆，斷裂過程越快。按此趨勢，當開裂角度趨近于零時，彎矩的卸載過程等同于突降彎矩的情況。

圖 14 所示為不同斷裂能下特征時間t = 5， 15， 25， 35 時刻的彎矩波形（縱坐標表示歸一化的彎矩），顯示了內(nèi)聚力彎曲斷裂模型下卸載彎曲波的傳播過程。圖中波頭的瞬時到達位置在數(shù)值上與時間一一對應，即如在t = 5時波頭傳至x = 5處。對比同一時刻不同斷裂能下的彎矩峰值可知，斷裂能越小，彎曲斷裂所激發(fā)的卸載彎曲波的彎矩波峰值越大，與Euler-Bernoulli 梁自相似解所得到的峰值彎矩1.43 相比，Timoshenko 梁斷裂所激發(fā)的峰值彎矩會超過該數(shù)值，在t = 35時刻，開裂角度由小到大對應的歸一化彎矩的峰值分別為1.64、1.65、1.63。

3.3 二次斷裂位置預測

為了預測初始斷裂后由于卸載彎曲波導致的二次斷裂點位置，需要找到彎矩過沖峰值出現(xiàn)的位置，通過計算足夠長的時間，計算得到了4 種臨界斷裂角：θc =0.004，0.008，0.012，0.040下的歸一化峰值彎矩Mmax/m0的空間分布包絡線，如圖15 所示。4 種材料參數(shù)所對應的斷裂能分別為Mcθc/2 = 1.4×10-4，2.8×10-4，4.2×10-4，1.4×10-3。 從各點可能經(jīng)歷的峰值彎矩曲線可以看出以下趨勢。

（1） 4 種斷裂能所對應的歸一化峰值彎矩首次大于1 的位置分別出現(xiàn)在x0.004 = 4.95， x0.008 =5.17， x0.012 = 5.47， x0.04 = 5.80。在這個距離以內(nèi)，二次斷裂不會發(fā)生。一般而言，對于一根均勻的脆性桿，一次斷裂發(fā)生點鄰近x0 = 5～6以內(nèi)的區(qū)域不大可能發(fā)生二次斷裂。

（2） 超過 距離，脆性桿將經(jīng)歷超過原始彎矩的彎矩過沖。對于斷裂能越?。ㄔ酱啵┑牟牧?，鄰近區(qū)域所達到的過沖峰值彎矩越大，在某些特殊位置，峰值彎矩達到最大值。表1 記錄了前3 種脆性材料桿的最大彎矩Mp、發(fā)生位置xc以及發(fā)生時刻tc。對于這3 種非常脆的材料，T i m o s h e n k o 梁初次斷裂所激發(fā)的峰值彎矩（1.64～1.67）超過經(jīng)典理論預測的1.43，所發(fā)生位置位于17.7 附近，這些最大峰值彎矩發(fā)生點是最容易發(fā)生二次斷裂的位置。斷裂能越小，梁上峰值彎矩極值出現(xiàn)的時間越早，出現(xiàn)位置越靠前，但相近的斷裂能下極值出現(xiàn)時間和位置變化不大，極值位置集中出現(xiàn)在x = 18附近。

（3） 對于前3 種非常脆的材料，材料斷裂能對最大峰值彎矩的數(shù)值和發(fā)生位置影響不大。如果材料的脆性顯著降低、即材料斷裂能明顯加大，將得到經(jīng)典的基于Euler-Bernoulli 梁理論所求解的卸載彎曲波過沖自相似解，即過沖峰值彎矩趨近于1.43。為了更好地觀察斷裂能大小對卸載彎曲波和二次斷裂的影響趨勢，在圖15 中給出了斷裂能提高一個量級（開裂角度θc = 0.040）后的峰值彎矩Mmax/m0的空間分布曲線，此時彎矩過沖的最大值下降到接近1.43，發(fā)生位置向更遠處移動。

（4） 值得注意的是，在保持臨界彎矩不變的條件下，過大臨界開裂角度意味著斷裂能更大，因此，完全斷裂時間延長（如圖13 所示），從而弱化了Timoshenko 梁理論中的轉(zhuǎn)動慣性效應和剪切應力效應，使其行為更接近Euler-Bernoulli 梁。從圖15 結(jié)果可以看出，材料韌性增加導致斷口斷裂時間延長，所產(chǎn)生的彎曲卸載波的過沖位置更遠，幅值更接近于Euler-Bernoulli 梁1.43 倍的預測結(jié)果。這個結(jié)果也從側(cè)面說明了Timoshenko 梁理論更適合描述瞬態(tài)響應問題。

綜合上述結(jié)果，可以預見如果材料越脆，則初次斷裂所激發(fā)的卸載彎曲波越強烈，Timoshenko 梁局部的旋轉(zhuǎn)慣性和切應力效應對所激發(fā)彎曲波的影響變大。

對于一根缺陷隨機分布的脆性桿而言，首次彎曲斷裂出現(xiàn)的地方一定是缺陷最嚴重的位置，根據(jù)上述卸載彎曲波的傳播特點，二次斷裂出現(xiàn)的位置不可能出現(xiàn)在x＜5的區(qū)域，因為在此區(qū)域彎矩不超過首次斷裂的臨界彎矩。在x＞5的區(qū)域內(nèi)，首次斷裂所激發(fā)的卸載彎曲波將導致彎矩過沖，均存在二次斷裂的可能。對于非常脆的材料，最大彎矩過沖發(fā)生在x = 18的位置，其數(shù)值超過1.63，此位置發(fā)生二次斷裂的可能性最大。

為直觀顯示數(shù)據(jù)的物理意義，取Heisser 等[14] 提出的意大利面的材料參數(shù)：彈性模量E = 3：8 GPa，密度ρ= 1.5 g/cm3，縱波波速c0 = 1 592 m/s；梁的幾何截面取邊長為1 mm 的正方形，則回轉(zhuǎn)半徑R =1/2根號3mm。此時二次斷裂碎片尺寸的下限數(shù)值為1.44 mm（x＞5），最可能發(fā)生二次斷裂的位置在5.20 mm（x = 18）近。表1 中參數(shù)有量綱的結(jié)果如表2 所示。

針對意大利面二次斷裂的問題，龍龍[15] 采用高速攝像機記錄了2 種類型的意大利面的斷裂過程，并對斷裂碎片進行搜集和統(tǒng)計，碎片尺寸集中在6～13 倍的梁截面厚度；基于內(nèi)聚力單元模型進行的數(shù)值模擬結(jié)果揭示，二次斷裂點介于5～12 倍梁截面厚度區(qū)域。在本文的模型分析中，如果采用瞬時斷裂模型，即完全忽略材料的斷裂韌性，則最大峰值彎矩發(fā)生在5.2 倍梁厚度位置（x = 18），顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的Euler-Bernoulli 梁自相似結(jié)果。如果考慮材料的斷裂韌性，則二次斷裂點的彎矩峰值位置將進一步遠離一次斷裂點，如圖15 所示。當前，材料的彎曲斷裂韌性具體數(shù)據(jù)尚有待測定，這是今后工作的重點。

4 結(jié) 論

本文中基于Timoshenko 梁理論，運用特征線法精確計算分析了半無限長脆性梁在準靜態(tài)彎曲加載至斷裂時刻，斷裂所激發(fā)的卸載彎曲波的傳播過程與特點。通過對比突加彎矩和彎矩延時卸載這2 種模型下的特征線法數(shù)值解與積分變換解析解，初步驗證了特征線法在計算Timoshenko 梁瞬態(tài)斷裂問題上的有效性、準確性和便捷性；通過將唯象的耦合殘余彎矩和開裂角度的內(nèi)聚力彎曲斷裂模型引入到Timoshenko 梁的瞬態(tài)波動分析中，使脆性梁的突然斷裂有了更加清晰的物理含義，在計算分析此斷裂機制下卸載彎曲波的傳播過程后，給出了無量綱化的二次斷裂碎片尺寸的下限數(shù)值為x＞5，最可能發(fā)生二次斷裂的位置在5.2 倍梁厚度位置（x = 18） 附近，此處卸載彎曲波所產(chǎn)生的彎矩過沖超過1.67 倍的初始彎矩。上述結(jié)果顯示了Timoshenko 梁在卸載彎曲波激發(fā)過程中強烈的局部化特征，也為確定二次斷裂碎片尺寸的預測提供了依據(jù)。

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（責任編輯 王易難）

基金項目： 國家自然科學基金（12302474）