霍普金森桿實(shí)驗(yàn)方法中材料彈性階段楊氏模量及其曲線(xiàn)準(zhǔn)確性分析

摘要： 霍普金森壓桿（split Hopkinson pressure bar，SHPB）實(shí)驗(yàn)中試件的應(yīng)力不均勻?qū)?yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的彈性階段有顯著影響，而彈性階段是研究混凝土等低聲速材料或高應(yīng)變率加載條件下某些金屬材料的關(guān)鍵。針對(duì)一維桿系統(tǒng)，利用一維彈性增量波理論，推導(dǎo)了線(xiàn)性入射波作用時(shí)應(yīng)力應(yīng)變和楊氏模量的解析式，研究了試件兩端應(yīng)力差和速度差對(duì)試件彈性階段曲線(xiàn)及楊氏模量準(zhǔn)確性的影響；進(jìn)一步給出了任意形狀入射波作用下試件彈性階段曲線(xiàn)和切線(xiàn)楊氏模量的求解方法，分析了入射波斜率和形狀特征對(duì)試件應(yīng)力均勻性及曲線(xiàn)的影響。結(jié)果表明：試件彈性階段曲線(xiàn)及楊氏模量的準(zhǔn)確性與試件兩端應(yīng)力差的變化趨勢(shì)有關(guān)，但并不完全依賴(lài)試件兩端應(yīng)力差，與入射波斜率、形狀特征以及試件屈服強(qiáng)度等因素耦合相關(guān)；線(xiàn)性加載波斜率增大，切線(xiàn)模量和割線(xiàn)模量與實(shí)際值的差異均增大，在斜率較大時(shí)，割線(xiàn)模量的準(zhǔn)確性要高于切線(xiàn)模量；入射波形狀以正弦波為參考，曲線(xiàn)的初始斜率低時(shí)，切線(xiàn)模量的準(zhǔn)確性高于割線(xiàn)模量，曲線(xiàn)的初始斜率高時(shí)則相反。

關(guān)鍵詞： SHPB；楊氏模量；應(yīng)力均勻性；應(yīng)力波

中圖分類(lèi)號(hào)： O347.4 國(guó)標(biāo)學(xué)科代碼： 13015 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

分離式霍普金森壓桿（split Hopkinson pressure bar， SHPB）被廣泛應(yīng)用于材料高應(yīng)變率下的壓縮力學(xué)性能測(cè)試[1]，其原理建立在一維應(yīng)力波假設(shè)和應(yīng)力均勻假設(shè)的基礎(chǔ)之上，一維應(yīng)力波假設(shè)忽略彌散效應(yīng)，可以通過(guò)一維彈性波理論來(lái)分析問(wèn)題；而應(yīng)力均勻假設(shè)則將材料的結(jié)構(gòu)慣性效應(yīng)與應(yīng)變率效應(yīng)進(jìn)行解耦，便于研究所關(guān)注材料的應(yīng)變率效應(yīng)[2]。通常情況下，應(yīng)力波彌散效應(yīng)發(fā)生在彈性桿中，僅涉及彈性波理論，且可通過(guò)控制方程進(jìn)行初步校正[3-4]。與之相比，應(yīng)力不均勻則對(duì)SHPB 實(shí)驗(yàn)有著更加嚴(yán)格的限制：一方面，應(yīng)力不均勻限制了所獲得材料的應(yīng)變率上限，另一方面，也影響了通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲取的有效數(shù)據(jù)的范圍。一般而言，當(dāng)入射波足夠陡峭時(shí)，試件到達(dá)屈服強(qiáng)度的時(shí)間較短，此時(shí)試件彈性階段的應(yīng)力應(yīng)變不準(zhǔn)確，因此，通常學(xué)者們不關(guān)注SHPB 實(shí)驗(yàn)中材料的彈性階段[5]。然而，仍有部分研究[6-8] 忽略材料彈性階段的應(yīng)力不均勻性，認(rèn)為SHPB 實(shí)驗(yàn)給出的彈性階段曲線(xiàn)是準(zhǔn)確的，或進(jìn)一步給出其材料黏彈性特征[9-10]。其次，對(duì)于如混凝土、巖石等試件尺寸較大、聲速較低的材料，通常在彈性階段即發(fā)生碎裂[6]，甚至金屬材料在高應(yīng)變率加載時(shí)，其屈服點(diǎn)也很可能處于應(yīng)力不均勻區(qū)，因而研究試件應(yīng)力不均勻性對(duì)彈性階段應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的影響[11] 是非常必要的。許多研究針對(duì)SHPB 實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)力均勻性問(wèn)題，使用理論或數(shù)值仿真方法分析了應(yīng)力均勻性的影響因素，并給出了相應(yīng)的改進(jìn)措施[12-14]；另有一些研究分析了應(yīng)力均勻性對(duì)SHPB 實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響規(guī)律[15]，但均未闡明應(yīng)力均勻性與應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的內(nèi)在聯(lián)系與影響機(jī)理。

事實(shí)上，材料結(jié)構(gòu)慣性效應(yīng)（即應(yīng)力波效應(yīng)）導(dǎo)致的應(yīng)力不均勻在SHPB 實(shí)驗(yàn)中是客觀(guān)存在的，試件在加載過(guò)程中的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系本身也并無(wú)錯(cuò)誤，僅僅是因?yàn)槲覀兪褂昧藨?yīng)力均勻這一假設(shè)，從而導(dǎo)致認(rèn)為獲得的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)是不準(zhǔn)確的。因此，若要確保SHPB 實(shí)驗(yàn)結(jié)果更具科學(xué)準(zhǔn)確性，或利用SHPB 實(shí)驗(yàn)獲取材料動(dòng)態(tài)加載下的彈性階段曲線(xiàn)，不應(yīng)僅試圖通過(guò)改善試件的應(yīng)力均勻性[16] 來(lái)達(dá)成，而應(yīng)建立應(yīng)力均勻性與實(shí)驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的內(nèi)在聯(lián)系。本文中將在一維應(yīng)力波假設(shè)的前提下，考慮材料的結(jié)構(gòu)慣性效應(yīng)，利用應(yīng)力波理論定量分析試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)以及應(yīng)力波效應(yīng)對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的影響，建立應(yīng)力均勻性與應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的關(guān)系，給出不同入射波對(duì)試件彈性階段曲線(xiàn)以及楊氏模量的影響；分析并得到切線(xiàn)模量和割線(xiàn)模量的相對(duì)準(zhǔn)確值及適用條件，以期從試件的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系中解耦出結(jié)構(gòu)效應(yīng)的影響，從而獲得材料本身準(zhǔn)確的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)，為后續(xù)SHPB 實(shí)驗(yàn)中楊氏模量準(zhǔn)確性的分析以及實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)提供參考。

1 典型SHPB 試驗(yàn)數(shù)值模擬

使用ABAQUS 有限元軟件對(duì)鋁合金試件的SHPB 實(shí)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)值模擬， SHPB 實(shí)驗(yàn)的二維軸對(duì)稱(chēng)有限元模型如圖1 所示，其中入射桿和透射桿材料均為鋼，直徑為14.5 mm，密度為7 830 kg/m3，楊氏模量為210 GPa，泊松比為0.29；入射桿和透射桿長(zhǎng)度分別為2.0 和1.5 m。試件材料為鋁合金，直徑為10 mm，長(zhǎng)度為5 mm，密度為2.7 g/cm3，楊氏模量為70 GPa，泊松比為0.33。由于本文的主要關(guān)注點(diǎn)在試件的彈性變形階段，因此將鋁合金材料的本構(gòu)模型簡(jiǎn)化為雙線(xiàn)性等向硬化塑性模型，如圖2 所示。為了減少計(jì)算量，采用二維軸對(duì)稱(chēng)模型進(jìn)行數(shù)值仿真，網(wǎng)格尺寸為0.25 mm，入射桿與試件、試件與透射桿之間均建立面-面接觸。由于在實(shí)際實(shí)驗(yàn)過(guò)程中試件與桿之間會(huì)添加潤(rùn)滑劑，因此將摩擦因數(shù)設(shè)為0.05。以上參數(shù)的準(zhǔn)確性與數(shù)值模擬的有效性均已經(jīng)過(guò)驗(yàn)證[17]。為了更接近實(shí)驗(yàn)的實(shí)際波形，將實(shí)驗(yàn)中采集到的入射波電信號(hào)轉(zhuǎn)換為應(yīng)力信號(hào)后直接施加在入射桿端面，如圖1 所示。

圖3 為鋁合金SHPB 實(shí)驗(yàn)中的實(shí)際入射波。根據(jù)鋁合金屈服強(qiáng)度和試件與桿的橫截面面積之比，可以近似估算出屈服強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的入射波強(qiáng)度，以該段入射波作為參考，最終仿真輸入的入射波如圖4 所示，圖中紅色上升沿斜率與圖3 中實(shí)際入射波形對(duì)應(yīng)。為了研究加載應(yīng)變率對(duì)試件彈性階段的影響，在保證入射波應(yīng)力平臺(tái)不變的情況下，改變其線(xiàn)性段加載時(shí)長(zhǎng)，設(shè)置1、8、80 μs 三種不同上升沿時(shí)長(zhǎng)的入射波。

圖5 和圖6 分別為根據(jù)仿真波形結(jié)果求得的不同時(shí)長(zhǎng)上升沿的線(xiàn)性入射波作用下試件應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的彈性階段。從圖中可以看出，無(wú)論是“三波法”還是“二波法”，計(jì)算出的彈性階段曲線(xiàn)與理論曲線(xiàn)差異均較大，且增大或減小入射波上升沿時(shí)長(zhǎng)均無(wú)法得出準(zhǔn)確的楊氏模量。

定義應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)在屈服應(yīng)變之前部分的擬合斜率為擬合模量，屈服應(yīng)變點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率為割線(xiàn)模量，可進(jìn)一步給出不同入射波上升沿時(shí)長(zhǎng)下應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的擬合模量和割線(xiàn)模量，如圖7 所示，從圖中可以看出，“三波法”和“二波法”得出的楊氏模量均小于實(shí)際輸入值70 GPa，且并無(wú)明顯規(guī)律。另外，從圖5 中還可以看出，隨著上升沿時(shí)長(zhǎng)的減小，應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)更加彎曲，出現(xiàn)了唯象的“黏性效應(yīng)”。以上分析表明，當(dāng)前使用SHPB 裝置進(jìn)行材料楊氏模量的測(cè)定仍缺乏依據(jù)，楊氏模量結(jié)果的準(zhǔn)確性仍無(wú)法判斷，其次，材料的“黏性效應(yīng)”也未必是材料力學(xué)性能的真實(shí)反映，可能是數(shù)據(jù)處理方法、應(yīng)力不均勻或應(yīng)力波彌散等導(dǎo)致的。

2 一維應(yīng)力波條件下SHPB 實(shí)驗(yàn)楊氏模量分析

通過(guò)上節(jié)分析可知，在SHPB 實(shí)驗(yàn)條件下，即考慮桿中應(yīng)力波彌散、端面摩擦效應(yīng)等時(shí)，使用“三波法”和“二波法”測(cè)得的試件的楊氏模量都與實(shí)際值存在明顯差異。本節(jié)僅針對(duì)應(yīng)力均勻性這一要素，利用應(yīng)力波理論，結(jié)合數(shù)值仿真，分析一維應(yīng)力波假設(shè)下使用SHPB 裝置測(cè)定的試件楊氏模量的準(zhǔn)確性及其影響因素。

2.1 線(xiàn)性入射波作用下試件的楊氏模量理論推導(dǎo)與驗(yàn)證

考慮一個(gè)入射桿與透射桿皆為線(xiàn)彈性細(xì)長(zhǎng)圓桿、緊密接觸等直徑且共軸的線(xiàn)彈性圓柱形試件的理想SHPB 裝置，假定入射桿和透射桿均為鋼材料，楊氏模量為210 GPa，泊松比為0，密度為7.83 g/cm3，直徑為14.5 mm；試件為線(xiàn)彈性材料，楊氏模量為50 GPa，泊松比為0，密度為4.00 g/cm3，直徑為14.5 mm，長(zhǎng)度為6 mm。SHPB裝置整體示意圖如圖8 所示。入射波為線(xiàn)性波，峰值應(yīng)力σ0 為-15 MPa，入射波長(zhǎng)度λ（即桿中波速和加載時(shí)長(zhǎng)的乘積）為800 mm。

若定義

t = nt0 （1）

式中：

t0 =2ls/cs（2）

2.2 線(xiàn)性入射波作用下試件兩端應(yīng)力差、速度差及應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)分析

針對(duì)第1 節(jié)中的鋁合金試件，將其考慮為一維應(yīng)力波條件下的SHPB 試驗(yàn)，即忽略桿與試件的泊松比，忽略摩擦效應(yīng)，鋁合金試件直徑為14.5 mm，長(zhǎng)度為6 mm，其余材料屬性與第2.1 節(jié)中相同。通過(guò)上述分析，分別給出該理想SHPB 實(shí)驗(yàn)在一維應(yīng)力波條件下理論與仿真得出的“三波法”和“二波法”的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)計(jì)算結(jié)果，如圖9 所示?？梢杂?jì)算出通過(guò)理論“三波法”和“二波法”得到的彈性階段的楊氏模量分別為69.63 和79.92 GPa，與實(shí)際值的相對(duì)誤差分別為0.53% 和14.17%；通過(guò)數(shù)值模擬“三波法”和“二波法”得到的彈性階段的楊氏模量分別為69.74 和74.00 GPa，與實(shí)際值的相對(duì)誤差分別為0.37% 和5.40%；可見(jiàn)，即使在理想條件下，“二波法”計(jì)算得到的試件的楊氏模量也不準(zhǔn)確，這與“二波法”中所用的應(yīng)力均勻性假設(shè)有關(guān)；而“三波法”計(jì)算的楊氏模量則相對(duì)較準(zhǔn)確。

根據(jù)式（6）、（13）～（14） 可以得到試件兩端無(wú)量綱應(yīng)力差、速度差與切線(xiàn)模量的時(shí)程曲線(xiàn)，如圖10 所示。從圖中可以看出，無(wú)論是“三波法”還是“二波法”計(jì)算出的切線(xiàn)楊氏模量均隨著無(wú)量綱時(shí)間的增大而逐漸趨于穩(wěn)定；但不同的是，“二波法”得出的恒定值本身就已偏離實(shí)際值，而“三波法”得出的恒定值最終會(huì)趨于實(shí)際值，因此，只要在材料彈性階段加載的無(wú)量綱時(shí)間足夠大，即入射波足夠緩，使用“三波法”可以得出相對(duì)準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)楊氏模量。另一方面，由于切線(xiàn)楊氏模量是根據(jù)試件兩端平均應(yīng)力和應(yīng)變率計(jì)算得到的，因此，從圖中可以看出，試件的切線(xiàn)實(shí)驗(yàn)楊氏模量的振蕩與試件兩端無(wú)量綱應(yīng)力差以及速度差的振蕩基本一致。

圖11 給出了采用“三波法”計(jì)算出的試件應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)以及無(wú)量綱時(shí)間，從圖中可以看出，曲線(xiàn)的振蕩與試件兩端無(wú)量綱應(yīng)力差以及速度差的振蕩類(lèi)似，均隨無(wú)量綱時(shí)間的增大逐漸趨于穩(wěn)定。圖12 給出了采用“三波法”計(jì)算得出的切線(xiàn)、擬合、割線(xiàn)模量的無(wú)量綱時(shí)程曲線(xiàn)，從圖中可以看出，切線(xiàn)模量和割線(xiàn)模量的變化趨勢(shì)不同，切線(xiàn)模量在實(shí)際值附近上下振蕩，而割線(xiàn)模量?jī)H在實(shí)際值上方振蕩，且振蕩幅度與切線(xiàn)模量相比較小。另一方面，切線(xiàn)模量和割線(xiàn)模量較擬合模量趨于穩(wěn)定值所需的無(wú)量綱時(shí)間要短。若以實(shí)際楊氏模量（70 GPa）的0.1% 相對(duì)誤差范圍內(nèi)為準(zhǔn)確值，切線(xiàn)和割線(xiàn)模量達(dá)到準(zhǔn)確值所需的無(wú)量綱時(shí)間分別為2.265 和2.338，而擬合楊氏模量在彈性階段無(wú)法達(dá)到穩(wěn)定值。

3 入射波對(duì)試件彈性變形階段以及楊氏模量的影響分析

當(dāng)線(xiàn)性入射波斜率足夠小，使得試件在彈性變形階段加載的無(wú)量綱時(shí)間足夠大，此時(shí)通過(guò)“三波法”計(jì)算出的楊氏模量能夠趨于準(zhǔn)確值。這里僅使用“三波法”，通過(guò)理論分析入射波斜率和形狀對(duì)試件楊氏模量準(zhǔn)確性的影響。參考2.1 節(jié)中的材料參數(shù)與線(xiàn)性入射波參數(shù)，以試件材料的楊氏模量為50 GPa、密度為4.00 g/cm3，桿材料的楊氏模量為210 GPa、密度為7.83 g/cm3，線(xiàn)性入射波的波長(zhǎng)為800 mm 作用下，無(wú)量綱時(shí)間為4 時(shí)的應(yīng)變作為試件的近似屈服應(yīng)變。

3.1 不同斜率線(xiàn)性入射波

圖13（a）為波長(zhǎng)分別為800、400、200、100、40 mm 的線(xiàn)性入射波作用下采用“三波法”計(jì)算出的彈性段應(yīng)力-應(yīng)變理論曲線(xiàn)，圖中豎點(diǎn)線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)每條曲線(xiàn)加載時(shí)間為0.5 無(wú)量綱時(shí)間的位置。從圖中可以看出，隨著線(xiàn)性入射波波長(zhǎng)逐漸減小，試件的加載應(yīng)變率逐漸增大，導(dǎo)致試件彈性變形階段所需的無(wú)量綱時(shí)間縮短，如40 mm 入射波作用下，試件彈性階段的加載時(shí)間僅約0.6 無(wú)量綱時(shí)間，因此試件彈性階段應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的抖動(dòng)幅度和范圍均增大。圖13（b）為不同波長(zhǎng)線(xiàn)性波作用下試件的擬合模量和割線(xiàn)模量，從圖中可以看出，對(duì)于較小波長(zhǎng)的線(xiàn)性入射波得出的曲線(xiàn)，無(wú)論使用擬合楊氏模量或切線(xiàn)割線(xiàn)楊氏模量，均會(huì)與實(shí)際值產(chǎn)生較大差異，但隨著入射波波長(zhǎng)的增大，割線(xiàn)模量會(huì)更快地接近實(shí)際值。圖中割線(xiàn)模量或擬合模量在小波長(zhǎng)時(shí)隨波長(zhǎng)的增大而出現(xiàn)振蕩的原因，是割線(xiàn)模量或擬合模量是針對(duì)整個(gè)彈性段曲線(xiàn)來(lái)說(shuō)的，而不同彈性段曲線(xiàn)的終點(diǎn)位置決定了割線(xiàn)模量和擬合模量的值。

線(xiàn)性入射波波長(zhǎng)為40、400 和800 mm 時(shí)，采用 “三波法”計(jì)算得到的切線(xiàn)楊氏模量、試件兩端無(wú)量綱應(yīng)力差和試件兩端質(zhì)點(diǎn)速度差曲線(xiàn)如圖14～15 所示，從圖中可以看出，切線(xiàn)楊氏模量曲線(xiàn)的振蕩幅度隨應(yīng)變的增大而逐漸減小，在相同應(yīng)變范圍內(nèi)，入射波波長(zhǎng)減小使得試件兩端應(yīng)力差和質(zhì)點(diǎn)速度差增大，且試件兩端應(yīng)力差振蕩幅度也增大，導(dǎo)致得出的切線(xiàn)楊氏模量出現(xiàn)不同幅度的振蕩。圖中不同波長(zhǎng)得出的切線(xiàn)楊氏模量曲線(xiàn)的每一次轉(zhuǎn)折對(duì)應(yīng)圖14 中應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的一次振蕩，每一次振蕩的時(shí)間恰好是應(yīng)力波在試件中單趟傳播的時(shí)間。

在此例中，若以實(shí)際楊氏模量50 GPa 的0.1% 相對(duì)誤差范圍為準(zhǔn)確楊氏模量值，切線(xiàn)模量到達(dá)準(zhǔn)確值所需的無(wú)量綱時(shí)間已經(jīng)超過(guò)4，而割線(xiàn)模量達(dá)到相對(duì)準(zhǔn)確值時(shí)彈性階段應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱時(shí)間約為2。另外，從圖12 中可以看出，對(duì)于不同波長(zhǎng)的入射波，在加載時(shí)間為 0.5 無(wú)量綱時(shí)間的整數(shù)倍位置處，試件的應(yīng)力應(yīng)變點(diǎn)與材料的應(yīng)力應(yīng)變點(diǎn)重合，此處的切線(xiàn)模量和割線(xiàn)模量均為準(zhǔn)確值。

在一維應(yīng)力波假設(shè)條件下，對(duì)于線(xiàn)性入射波而言，若入射波斜率足夠小，采用“三波法”可以給出相對(duì)準(zhǔn)確的楊氏模量。另一方面，若入射波斜率不滿(mǎn)足切線(xiàn)模量達(dá)到恒定值的最小斜率[19]，則割線(xiàn)模量可以給出相對(duì)更加準(zhǔn)確的楊氏模量。以混凝土試件無(wú)整形器的SHPB 實(shí)驗(yàn)為例[20]，實(shí)驗(yàn)中入射桿直徑為80 mm，試件長(zhǎng)度為35 mm，直徑為70 mm，密度為2 400 kg/m3，楊氏模量為30 GPa，動(dòng)態(tài)屈服強(qiáng)度約為60 MPa，等效屈服強(qiáng)度為45.9 MPa，入射波斜率為4 MPa/μs，當(dāng)入射波斜率減小到原來(lái)的1/4 時(shí)，試件兩端的無(wú)量綱應(yīng)力差峰值減小了75%，切線(xiàn)模量的相對(duì)誤差從19.3% 減小到2.3%，割線(xiàn)模量的相對(duì)誤差從6.80% 減小到0.26%；這表明，對(duì)于混凝土等大尺寸、低聲速試件，未經(jīng)整形片設(shè)計(jì)所給出的楊氏模量是不準(zhǔn)確的。若以實(shí)際楊氏模量30 GPa 的1% 相對(duì)誤差為臨界值，則切線(xiàn)模量和割線(xiàn)模量到達(dá)準(zhǔn)確值的最大入射波斜率分別為0.128 和0.319 MPa/μs，另一方面，上述僅是針對(duì)特定試件在特定斜率入射波下的分析，根據(jù)前文所述可知，楊氏模量的準(zhǔn)確性也與試件的屈服強(qiáng)度相關(guān)，同樣，以上述混凝土試件為例，若僅使入射波斜率為1 MPa/μs，無(wú)量綱時(shí)間在0.5～1.0 之間，即試件屈服強(qiáng)度在67.0～134.0 MPa 之間時(shí)，切線(xiàn)模量和割線(xiàn)模量的最大相對(duì)誤差分別為32.7% 和 8.4%。

3.2 不同形狀入射波

根據(jù)線(xiàn)彈性波的透反射理論與線(xiàn)性疊加原理，可以推導(dǎo)出任意入射波形作用下試件兩端無(wú)量綱應(yīng)力與無(wú)量綱時(shí)間關(guān)系的表達(dá)式：

由于式（16）～（19）給出的表達(dá)式均是遞推疊加形式，在n 未確定時(shí)難以給出其簡(jiǎn)化表達(dá)式，因此計(jì)算任意形狀入射波作用下試件的實(shí)驗(yàn)楊氏模量以及應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)時(shí)，利用式（16）～（19）直接在程序中給出其最終曲線(xiàn)。

仍以試件材料楊氏模量為50 GPa、密度為4.00 g/cm3，桿材料楊氏模量為210 GPa、密度7.83 g/cm3，線(xiàn)性入射波波長(zhǎng)為800 mm 作用下，無(wú)量綱時(shí)間為4 時(shí)的應(yīng)變作為試件的近似屈服應(yīng)變，按照此強(qiáng)度和應(yīng)變換算后的應(yīng)力峰值和波長(zhǎng)分別為1.32 MPa 和70.31 mm。將弧形波簡(jiǎn)化為正弦曲線(xiàn)，如圖16 所示。

根據(jù)遞推公式特性，分別給出相同應(yīng)力峰值、上升沿?zé)o量綱時(shí)間為4 和1 時(shí)，入射波為線(xiàn)性波和正弦波時(shí)所得出的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)和切線(xiàn)模量曲線(xiàn)，如圖17 所示。從圖17 中可以看出，相較于線(xiàn)性入射波，正弦入射波的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)起始階段抖動(dòng)不明顯，切線(xiàn)模量趨于穩(wěn)定值的時(shí)間從圖17（b）中來(lái)看也相對(duì)更短。但也由于正弦波斜率逐漸增大的特點(diǎn)，與線(xiàn)性入射波相比，穩(wěn)定階段的切線(xiàn)模量與實(shí)際值差異較大，在無(wú)量綱時(shí)間為4 的入射波作用下，正弦波和線(xiàn)性入射波曲線(xiàn)末端的切線(xiàn)模量分別為49.84 和49.92 GPa，與實(shí)際值的相對(duì)誤差分別為0.32% 和0.16%；若以試件實(shí)際楊氏模量1% 相對(duì)誤差范圍為準(zhǔn)確值，則正弦波和線(xiàn)性波到達(dá)準(zhǔn)確值的無(wú)量綱時(shí)間分別為0.95 和2.50。

為了研究入射波形狀特征對(duì)試件實(shí)驗(yàn)楊氏模量的影響，針對(duì)正弦入射波，將其等分為4 段，在保證每段波形形狀不變的前提下，將其波長(zhǎng)和峰值轉(zhuǎn)換至與初始的正弦波一致，具體波形分段和轉(zhuǎn)換如圖18所示?？梢钥闯觯也ㄖ械蘑?、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ每一段曲線(xiàn)均在線(xiàn)性波之下，只有Ⅰ段曲線(xiàn)在初始正弦曲線(xiàn)之下；這4 段入射波的斜率均隨著波長(zhǎng)逐漸增大，正弦波Ⅳ段已較為接近線(xiàn)性波。

圖19給出了上述6種不同形狀特征的入射波計(jì)算出的試件兩端應(yīng)力差時(shí)程曲線(xiàn)，可以看出，在上升沿和峰值一定的情況下，入射波初始斜率越小，試件兩端應(yīng)力差在初始時(shí)刻的振蕩越大；而入射波末段斜率越大，試件兩端應(yīng)力差在末尾時(shí)刻越大。另一方面，從圖中可以看出，Ⅰ段曲線(xiàn)波和初始正弦波得出的試件兩端應(yīng)力差時(shí)程曲線(xiàn)整體呈明顯上升趨勢(shì)，而另外4 種曲線(xiàn)表現(xiàn)為由振蕩逐漸趨于平穩(wěn)，可見(jiàn)，入射波形狀特征影響試件兩端應(yīng)力差的變化特征，不同的曲線(xiàn)波和初始正弦波由于其斜率逐漸增大的特點(diǎn)，導(dǎo)致其得出的試件兩端應(yīng)力差并不會(huì)趨于一個(gè)穩(wěn)定值，且斜率變化越大，應(yīng)力差越無(wú)法趨于恒定。

分別給出入射波上升沿時(shí)長(zhǎng)為4 和1 個(gè)無(wú)量綱時(shí)間時(shí)，這4 種入射波作用下試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)和切線(xiàn)模量曲線(xiàn)，如圖20～21 所示。從圖中可以看出，在無(wú)量綱時(shí)間為4 時(shí)，4 種入射波得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)都較準(zhǔn)確，從圖20（b）中可以看出，入射波Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的切線(xiàn)模量曲線(xiàn)較為接近，而入射波Ⅰ的曲線(xiàn)不同于其余3 條曲線(xiàn)在楊氏模量準(zhǔn)確值上下振蕩，而是保持在楊氏模量準(zhǔn)確值上方振蕩，且從圖中可以看出，振蕩趨于穩(wěn)定的時(shí)間明顯小于其余3 條曲線(xiàn)。在無(wú)量綱時(shí)間為1 時(shí)的結(jié)果與無(wú)量綱時(shí)間為4 時(shí)類(lèi)似，從圖21（a）中可以看出，入射波Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ作用下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)較為相似，但入射波Ⅰ得出的曲線(xiàn)無(wú)明顯轉(zhuǎn)折點(diǎn)，整條應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的斜率呈逐漸減小直至穩(wěn)定的趨勢(shì)，如圖21（b）所示。

以初始正弦曲線(xiàn)、正弦曲線(xiàn)的Ⅰ部分和Ⅱ部分作為典型，給出三種波形作用下，無(wú)量綱時(shí)間為4 時(shí)的切線(xiàn)模量和割線(xiàn)模量對(duì)比，如圖22 所示。從圖中可以看出，正弦曲線(xiàn)和Ⅰ部分的模量曲線(xiàn)趨勢(shì)類(lèi)似，且此時(shí)割線(xiàn)模量趨近于準(zhǔn)確值的時(shí)間要大于切線(xiàn)模量，而Ⅱ部分的模量曲線(xiàn)則與線(xiàn)性波類(lèi)似，切線(xiàn)模量的振蕩幅度大于割線(xiàn)模量。結(jié)合圖19 和圖22 來(lái)看，切線(xiàn)模量和割線(xiàn)模量的變化趨勢(shì)與試件兩端應(yīng)力差時(shí)程曲線(xiàn)的特征相關(guān)。

若以試件實(shí)際楊氏模量1% 相對(duì)誤差范圍為準(zhǔn)確值，可以給出圖18（b）中6 種斜率特征入射波作用下試件達(dá)到準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)楊氏模量所需的無(wú)量綱時(shí)間，見(jiàn)圖23?？梢钥闯觯肷洳ㄐ螤畹母淖儠?huì)導(dǎo)致試件的應(yīng)力-應(yīng)變以及楊氏模量曲線(xiàn)特征也發(fā)生顯著變化，曲線(xiàn)在初始正弦波越下方，即曲線(xiàn)的初始斜率越低，切線(xiàn)模量和割線(xiàn)模量曲線(xiàn)的振蕩越不明顯，且此時(shí)切線(xiàn)模量的準(zhǔn)確性要高于割線(xiàn)模量。而若曲線(xiàn)在初始正弦波上方，即曲線(xiàn)的初始斜率較高，則切線(xiàn)模量和割線(xiàn)模量曲線(xiàn)的振蕩越明顯，越接近線(xiàn)性波的結(jié)果，此時(shí)割線(xiàn)模量的準(zhǔn)確性要高于切線(xiàn)模量。仍以3.1 節(jié)中混凝土試件無(wú)整形器的SHPB 實(shí)驗(yàn)為例，入射波形狀分別為等波長(zhǎng)和峰值強(qiáng)度的線(xiàn)性入射波和正弦波，其中線(xiàn)性入射波斜率為4 MPa/μs，其余參數(shù)不變，此時(shí)正弦波相較線(xiàn)性波得出的試件兩端無(wú)量綱應(yīng)力差提高了12.2%，切線(xiàn)模量的相對(duì)誤差分別為6.7%和19.3%，割線(xiàn)模量的相對(duì)誤差分別為22.7% 和6.8%，這里也可以看出，楊氏模量的相對(duì)準(zhǔn)確性和試件兩端應(yīng)力差相關(guān)，但也并不完全依賴(lài)試件兩端應(yīng)力差，而是與入射波斜率、形狀特征等因素耦合相關(guān)。

4 結(jié) 論

通過(guò)數(shù)值仿真對(duì)材料動(dòng)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)中的彈性階段以及楊氏模量進(jìn)行驗(yàn)證與分析，證明了在當(dāng)前實(shí)驗(yàn)條件下，使用SHPB 測(cè)定的材料楊氏模量并不一定準(zhǔn)確，其次，材料的“黏性效應(yīng)”也未必是材料力學(xué)性能的真實(shí)反映。進(jìn)一步分析在一維應(yīng)力波條件下SHPB 實(shí)驗(yàn)給出的楊氏模量的準(zhǔn)確性以及楊氏模量與應(yīng)力均勻性、入射波斜率和形狀特征等的關(guān)系，得到以下結(jié)論。

（1） 在一維應(yīng)力波條件下，若入射波斜率足夠小，使得試件在彈性變形階段加載的無(wú)量綱時(shí)間足夠大，此時(shí)通過(guò)“三波法”計(jì)算出的切線(xiàn)和割線(xiàn)楊氏模量能夠趨于準(zhǔn)確值（后續(xù)結(jié)論也均基于“三波法”），且楊氏模量的變化趨勢(shì)與試件兩端無(wú)量綱應(yīng)力差相似；但楊氏模量的相對(duì)準(zhǔn)確性并不完全依賴(lài)試件兩端的應(yīng)力差，而是與入射波斜率、形狀等因素耦合相關(guān)。

（2） 線(xiàn)性入射波斜率增大時(shí)，試件的加載應(yīng)變率增大，導(dǎo)致試件彈性變形階段所需的無(wú)量綱時(shí)間減小，而在無(wú)量綱時(shí)間較小時(shí)，試件兩端的應(yīng)力差和速度差都處于振蕩階段，使得較小無(wú)量綱時(shí)間內(nèi)應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的振蕩擴(kuò)大至整個(gè)曲線(xiàn)的彈性階段，表現(xiàn)為試件彈性階段應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的抖動(dòng)幅度和范圍均增大。若入射波斜率不滿(mǎn)足切線(xiàn)模量達(dá)到恒定值的最小斜率，相對(duì)切線(xiàn)模量來(lái)說(shuō)，此時(shí)割線(xiàn)模量可以給出更加準(zhǔn)確的楊氏模量值。針對(duì)混凝土試件驗(yàn)證了入射波斜率對(duì)楊氏模量的影響規(guī)律，給出了混凝土試件切線(xiàn)模量和割線(xiàn)模量到達(dá)準(zhǔn)確值的最大入射波斜率分別為0.128 和0.319 MPa/μs。

（3） 入射波形狀的改變會(huì)導(dǎo)致試件兩端的應(yīng)力差、應(yīng)力應(yīng)變以及楊氏模量曲線(xiàn)特征發(fā)生顯著變化，以正弦波為參考，曲線(xiàn)的初始斜率越低，應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)以及楊氏模量曲線(xiàn)的振蕩越不明顯，切線(xiàn)模量的準(zhǔn)確性要高于割線(xiàn)模量；而若曲線(xiàn)的初始斜率越高，應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)以及楊氏模量曲線(xiàn)的振蕩越明顯，此時(shí)割線(xiàn)模量的準(zhǔn)確性相對(duì)更高。以混凝土試件在特定等波長(zhǎng)和峰值強(qiáng)度的線(xiàn)性入射波和正弦波作用下為例，正弦波相較于線(xiàn)性波得出的試件兩端無(wú)量綱應(yīng)力差提高了12.2%，切線(xiàn)模量的相對(duì)誤差分別為6.7% 和19.3%，割線(xiàn)模量的相對(duì)誤差分別為22.7% 和6.8%。

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（責(zé)任編輯 曾月蓉）

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金（12172179，11772160，11472008）