從聯(lián)系的觀點看數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)

摘 要：教學(xué)目標(biāo)分析是教學(xué)設(shè)計的重要環(huán)節(jié)，具有承上啟下的核心作用。從聯(lián)系的觀點看，教學(xué)目標(biāo)分析不僅要依據(jù)知識關(guān)系與作用分析（通常以課標(biāo)和教材為內(nèi)容載體）、學(xué)情分析（可延伸至教情分析）等，而且要分析各個教學(xué)目標(biāo)之間的聯(lián)系，同時要指導(dǎo)教學(xué)重難點分析、教學(xué)方法選擇、教學(xué)過程設(shè)計等。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；教學(xué)設(shè)計；教學(xué)目標(biāo)；聯(lián)系的觀點

著名數(shù)學(xué)家希爾伯特認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)科是一個不可分割的有機(jī)整體，它的生命力在于各部分之間的聯(lián)系。分析教材中數(shù)學(xué)知識的關(guān)系與作用是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的起始環(huán)節(jié)。［1］這時需要樹立“一切從聯(lián)系出發(fā)”的觀點，即不僅要看到數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，而且要看到數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科知識之間的聯(lián)系，同時要看到數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活之間的聯(lián)系。具體到數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，不僅要知道教材各個章節(jié)之間的聯(lián)系，而且要知道數(shù)學(xué)各個分支之間的聯(lián)系；不僅要知道哪些知識之間有聯(lián)系，而且要知道這些知識之間有什么聯(lián)系。［2］

不僅如此，教學(xué)設(shè)計也是一個不可分割的有機(jī)整體。在其各個環(huán)節(jié)中，都要立足聯(lián)系的觀點，充分把握該環(huán)節(jié)與其他環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系。教學(xué)目標(biāo)分析是教學(xué)設(shè)計的重要環(huán)節(jié)，具有承上啟下的核心作用。從聯(lián)系的觀點看，教學(xué)目標(biāo)分析不僅要依據(jù)知識關(guān)系與作用分析（通常以課標(biāo)和教材為內(nèi)容載體）、學(xué)情分析（可延伸至教情分析）等，而且要分析各個教學(xué)目標(biāo)之間的聯(lián)系，同時要指導(dǎo)教學(xué)重難點分析、教學(xué)方法選擇、教學(xué)過程設(shè)計等。這樣，不僅可以使教學(xué)目標(biāo)既準(zhǔn)確又具體，而且可以使教學(xué)活動始終圍繞教學(xué)目標(biāo)有序展開。

一、 基于課標(biāo)、教材和學(xué)情確定教學(xué)目標(biāo)

（一） 研讀課標(biāo)

分析教材中知識的關(guān)系與作用，首先要研讀課標(biāo)。［3］確定教學(xué)目標(biāo)，既然要依據(jù)知識關(guān)系與作用分析，自然要依據(jù)課標(biāo)分析。特別是，課標(biāo)中不僅有宏觀的課程目標(biāo)，而且有類似于教學(xué)目標(biāo)形式的具體的課程“內(nèi)容要求”。依據(jù)課標(biāo)確定教學(xué)目標(biāo)，不是照搬“內(nèi)容要求”，而要在吃透“內(nèi)容要求”、課程目標(biāo)，體現(xiàn)課程性質(zhì)、課程理念的基礎(chǔ)上，基于進(jìn)一步的教材分析（充分的知識關(guān)系與作用分析）、學(xué)情分析等靈活設(shè)計教學(xué)目標(biāo)。

比如，對于“向量應(yīng)用與解三角形”這一內(nèi)容（的教學(xué)），《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出如下要求：［4］

1. 會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實際問題，體會向量在解決數(shù)學(xué)和實際問題中的作用。

2. 借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理。

3. 能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題。

因此，“余弦定理”這一課時的教學(xué)目標(biāo)，不能滿足于理解和掌握余弦定理，而要凸顯課標(biāo)倡導(dǎo)的“加強(qiáng)聯(lián)系”和培養(yǎng)應(yīng)用意識等理念，即不僅要讓學(xué)生充分體會余弦定理與其他數(shù)學(xué)知識（如向量、勾股定理、三角形全等的判定定理等）之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科（如物理學(xué)、天文學(xué)等）以及現(xiàn)實生活之間的聯(lián)系，逐步滲透普遍聯(lián)系的辯證唯物主義觀點，而且要讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識余弦定理在數(shù)學(xué)中的重要地位以及在其他學(xué)科與現(xiàn)實生活中的應(yīng)用價值。

（二） 分析教材

分析教材中知識的關(guān)系與作用主要是通過仔細(xì)閱讀教材，整體把握某個知識（教學(xué)內(nèi)容）在教材中安排在哪里以及為什么安排在這里。為此，要弄清楚這個知識與哪些知識有聯(lián)系、有什么聯(lián)系以及這些知識之間有什么影響。這里的知識包括數(shù)學(xué)知識和其他學(xué)科知識、書本知識和生活經(jīng)驗、學(xué)過的知識和要學(xué)的知識，等等。［5］分析教學(xué)目標(biāo)則主要是在由此得到的基于聯(lián)系的“知識地圖”中，找到一條能讓學(xué)生展開探索從已知（舊知）走向未知（新知）的道路。［6］顯然，確定教學(xué)目標(biāo)，要依據(jù)教材分析。

比如，人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第六章《平面向量及其應(yīng)用》第4節(jié)《平面向量的應(yīng)用》中的“余弦定理”就與之前安排（學(xué)生學(xué)過）的三角形的基本要素（如邊、角等）、全等三角形、勾股定理、任意角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的恒等變換、向量等知識存在密切聯(lián)系。比如：從三角形基本要素的角度看，余弦定理是在研究了三角形的三邊關(guān)系、三角關(guān)系后對三角形的邊角關(guān)系的進(jìn)一步研究，它與三角形的三邊關(guān)系、三角關(guān)系是并列關(guān)系；從三角形全等的角度看，余弦定理是對“邊角邊”等判定定理的量化與深化；從勾股定理的角度看，余弦定理是勾股定理從直角三角形向一般三角形的推廣。因此，若著眼于余弦定理與三角形性質(zhì)的關(guān)系，則可以設(shè)計“經(jīng)歷三角形邊角關(guān)系的探究過程，深化對三角形的認(rèn)識”“逐步養(yǎng)成用聯(lián)系的觀點看問題的意識”等教學(xué)目標(biāo)；若著眼于余弦定理與勾股定理的關(guān)系，則可以設(shè)計“理解余弦定理及其與勾股定理的聯(lián)系，深化對勾股定理的認(rèn)識”“在探索余弦定理的過程中掌握從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化化歸的思想方法”等教學(xué)目標(biāo)。

（三） 把握學(xué)情

教學(xué)目標(biāo)的確定不僅受知識的關(guān)系與作用這一客觀因素的制約，而且受學(xué)情這一主觀因素的制約。許多教師常常直接根據(jù)教材和教參確定教學(xué)目標(biāo)，而很少從學(xué)生的角度分析教學(xué)目標(biāo)，因此，設(shè)計的教學(xué)目標(biāo)往往很難真正符合學(xué)生實際，自然也很難在實際教學(xué)中有效實施。那么，怎樣才能使教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計真正符合學(xué)生實際呢？蘇聯(lián)心理學(xué)家列夫·維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論為教學(xué)目標(biāo)的分析指明了方向。維果斯基認(rèn)為，教學(xué)應(yīng)使學(xué)生從現(xiàn)有發(fā)展水平過渡到潛在發(fā)展水平——最近發(fā)展區(qū)。因此，教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”探索。

要做到這一點，首先，要準(zhǔn)確把握學(xué)生的認(rèn)知起點。只有這樣，才能確定合理的可能發(fā)展區(qū)和最近發(fā)展區(qū)，為新知識的學(xué)習(xí)找到堅實的固著點。比如，對于“余弦定理”，若將“三角形全等”作為認(rèn)知起點，那么可以設(shè)計“經(jīng)歷運(yùn)用定量方法研究三角形邊角關(guān)系的過程，深化對三角形全等判定定理的認(rèn)識”等教學(xué)目標(biāo)。

其次，要充分了解學(xué)生的認(rèn)知特點。只有這樣，才能真正落實“因材施教”原則，為學(xué)生量身定制最合適的教學(xué)目標(biāo)，最大限度地促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。比如，對于“余弦定理”，如果學(xué)生擅長采用從特殊到一般的方法學(xué)習(xí)，則可以從余弦定理與勾股定理的關(guān)系出發(fā)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)；如果學(xué)生擅長數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模，則可以設(shè)計“經(jīng)歷從現(xiàn)實生活抽象出余弦定理的過程，逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力，體會余弦定理在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用價值”等教學(xué)目標(biāo)。

此外，需要注意的是，教師往往會有意無意地根據(jù)自身的教情（如知識經(jīng)驗、心理特征、教學(xué)思想、教學(xué)風(fēng)格等）分析（理解）教學(xué)目標(biāo)。比如，青睞布盧姆教學(xué)思想的教師，可能更樂意按照布盧姆的“教育目標(biāo)分類體系”分析教學(xué)目標(biāo)，可能更關(guān)注知識技能目標(biāo)或教學(xué)目標(biāo)的層級；崇尚加涅教學(xué)思想的教師，可能更樂意采用加涅的“任務(wù)分析法”，按照“教學(xué)結(jié)果分類”分析教學(xué)目標(biāo)，可能會采用教學(xué)課程圖來表征教學(xué)目標(biāo)；比較注重細(xì)節(jié)的教師，可能比較關(guān)注知識技能目標(biāo)；比較注重思維能力培養(yǎng)的教師，可能更加關(guān)注過程方法目標(biāo)甚至情感態(tài)度價值觀目標(biāo)……總之，無論教師自己是否意識到這一點，教學(xué)目標(biāo)總會或多或少帶有教師的烙印。因此，分析教學(xué)目標(biāo)時，教師不僅應(yīng)該充分關(guān)注知識關(guān)系與作用以及學(xué)情等因素的影響，還應(yīng)該努力發(fā)揮自己的主觀能動性，提升自身的積極因素帶來的有利影響，克服自身的消極因素帶來的不利影響。［7］

二、 分析各個教學(xué)目標(biāo)之間的聯(lián)系

雖然知識關(guān)系與作用分析可以為教學(xué)目標(biāo)分析提供一個清晰的框架，但是，這一框架通常只是對所學(xué)知識相關(guān)知識的一個籠統(tǒng)描述，仍然包含很多知識點。其中，既有學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的知識，也有學(xué)生即將學(xué)習(xí)的知識，還有學(xué)生在下節(jié)課甚至更久的將來才會學(xué)到的知識。這些知識，有些可以作為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，有些只能作為中期目標(biāo)甚至長期目標(biāo)；即使是本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，也會存在主次、先后及層次等方面的差異。

因此，分析教學(xué)目標(biāo)時，應(yīng)該認(rèn)識到教學(xué)目標(biāo)具有多元性和層次性，將教學(xué)目標(biāo)理解為由眾多目標(biāo)組成的目標(biāo)群，進(jìn)而弄清楚本節(jié)課到底有哪些目標(biāo)，這些目標(biāo)之間有沒有內(nèi)在聯(lián)系，這些目標(biāo)中哪些是主要目標(biāo)、哪些是附屬目標(biāo)，哪些是真正的目標(biāo)、哪些只是實現(xiàn)目標(biāo)的手段?？赡艿脑?，可以構(gòu)建“教學(xué)課程圖”［8］來直觀反映教學(xué)目標(biāo)之間的聯(lián)系。

特別是，只有厘清核心的教學(xué)目標(biāo)，才不至于在紛繁復(fù)雜的教學(xué)目標(biāo)中迷失方向、遁入旁門。比如，對于“余弦定理”，雖然前文羅列了很多教學(xué)目標(biāo)，但核心的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該是“掌握余弦定理并運(yùn)用余弦定理解決數(shù)學(xué)和實際問題”，其他目標(biāo)或者是這一目標(biāo)的鋪墊，或者是這一目標(biāo)的延伸。如果認(rèn)識不到這一點，教學(xué)中就會犯頭重腳輕、本末倒置的錯誤。

三、 依據(jù)教學(xué)目標(biāo)明確教學(xué)重難點、方法和過程

（一） 確定教學(xué)重難點

從聯(lián)系的觀點看，教學(xué)重點就是在知識結(jié)構(gòu)中占據(jù)主要或主導(dǎo)地位并能反映知識主要聯(lián)系的那些知識點。［9］前文已經(jīng)指出，教學(xué)目標(biāo)往往是由眾多目標(biāo)組成的目標(biāo)群，而在這一目標(biāo)群中，通常會有一個占據(jù)主要或主導(dǎo)地位的核心目標(biāo)。只有抓住核心目標(biāo)，才能抓住教學(xué)的“牛鼻子”。因此，在確定教學(xué)重點時，應(yīng)將教學(xué)目標(biāo)作為參照，思考將教學(xué)重點放在何處才能真正落實核心目標(biāo)。比如，對于“余弦定理”，如果將“理解余弦定理及其與勾股定理的聯(lián)系，深化對勾股定理的認(rèn)識”作為教學(xué)目標(biāo)，則應(yīng)將教學(xué)重點放在如何將一般三角形邊角關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為直角三角形這一特殊三角形邊角關(guān)系的研究上；如果將“經(jīng)歷從現(xiàn)實生活抽象出余弦定理的過程，逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力”作為教學(xué)目標(biāo)，則應(yīng)將教學(xué)重點放在如何從現(xiàn)實生活抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)而運(yùn)用各種數(shù)學(xué)方法建立余弦定理這一數(shù)學(xué)模型上。

從聯(lián)系的觀點看，教學(xué)難點就是那些難以發(fā)現(xiàn)聯(lián)系或影響聯(lián)系發(fā)現(xiàn)的知識點。具體來說，是指那些因太抽象、離學(xué)生生活太遠(yuǎn)、過程太復(fù)雜、關(guān)系太隱蔽而導(dǎo)致學(xué)生難于理解和掌握的知識、技能與方法。［10］從教學(xué)目標(biāo)的角度看，教學(xué)難點就是那些難以達(dá)成的教學(xué)目標(biāo)或影響教學(xué)目標(biāo)達(dá)成的知識點。因此，在確定教學(xué)難點時，不僅可以將教學(xué)目標(biāo)作為參照，而且可以將教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度作為重要標(biāo)準(zhǔn)。比如，對于“余弦定理”，如果將“理解余弦定理及其與勾股定理的聯(lián)系，深化對勾股定理的認(rèn)識”作為教學(xué)目標(biāo)，那么教學(xué)難點就是如何添加輔助線將一般三角形的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形這一特殊三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行研究；如果將“借助向量的運(yùn)算，探索三角形的邊角關(guān)系”作為教學(xué)目標(biāo)，那么教學(xué)難點就是如何由已知三角形的“邊角邊”聯(lián)想到向量的數(shù)量積。

（二） 選擇教學(xué)方法

如果把教學(xué)目標(biāo)通俗地理解為關(guān)于“做什么”的問題，那么，教學(xué)方法就是關(guān)于“怎么做”的問題。因此，需要在明確教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，根據(jù)不同的教學(xué)目標(biāo)，選擇不同的教學(xué)方法。

比如，對于“余弦定理”，如果將“理解余弦定理及其與勾股定理的聯(lián)系，深化對勾股定理的認(rèn)識”作為教學(xué)目標(biāo)，那么可以采用探究教學(xué)法，讓學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化、特殊化等數(shù)學(xué)思想探索一般三角形邊角之間的關(guān)系；如果將“經(jīng)歷從現(xiàn)實生活抽象出余弦定理的過程，逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力”作為教學(xué)目標(biāo)，那么可以采用問題解決教學(xué)法，讓學(xué)生運(yùn)用觀察、抽象等方法建立余弦定理這一數(shù)學(xué)模型。

（三） 設(shè)計教學(xué)過程

關(guān)于教學(xué)過程，不同的學(xué)習(xí)理論有不同的分類方法。但是不論教學(xué)過程包含哪些環(huán)節(jié)和要素，從本質(zhì)上說都是教學(xué)目標(biāo)的實施過程，教學(xué)過程的每個環(huán)節(jié)和要素都要受制于教學(xué)目標(biāo)，都要通過設(shè)標(biāo)、對標(biāo)、施標(biāo)、查標(biāo)等途徑來促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的有效實施。之所以這么說，首先，教學(xué)目標(biāo)中蘊(yùn)含教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)目標(biāo)以關(guān)鍵詞的形式告訴學(xué)生要做什么；其次，教學(xué)目標(biāo)中蘊(yùn)含教學(xué)過程，課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出了“過程與方法”這一維度的教學(xué)目標(biāo)，事實上，教學(xué)目標(biāo)如果僅有結(jié)果、沒有過程，則將很難有效實施；此外，教學(xué)目標(biāo)中還蘊(yùn)含評價標(biāo)準(zhǔn)和評價方式，可以作為檢驗教學(xué)優(yōu)劣的試金石。［11］

比如，對于“余弦定理”，如果教學(xué)目標(biāo)是“借助向量的運(yùn)算，探索三角形的邊角關(guān)系”，那么在教學(xué)過程中，教師可以首先創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境：“學(xué)習(xí)三角形全等的判定定理時，我們知道，如果兩個三角形的兩邊及其夾角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等。對于一個三角形而言，如果這個三角形的兩邊及其夾角確定，那么這個三角形就確定了。既然這個三角形確定了，那么有沒有辦法根據(jù)三角形的兩邊及其夾角求出這個三角形的其他量呢？”然后通過“由已知條件你能聯(lián)想到哪些熟悉的數(shù)學(xué)知識？”“大家想到向量，那么從向量的角度看，已知條件可以怎么理解？”“從向量的角度看，前面的問題應(yīng)該怎么敘述？”“在要求的量中哪個量最容易用已知向量來表示？”“如何表示？”“既然第三邊對應(yīng)的向量可以用已知的向量來表示，那么怎么才能求出第三邊的長度？”等一系列啟發(fā)性問題，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

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