數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)“數(shù)與運(yùn)算”中的應(yīng)用

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）年》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）明確提出了“三會(huì)”，即：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界?？偰繕?biāo)在小學(xué)階段主要表現(xiàn)為11個(gè)核心素養(yǎng)，而“幾何直觀”就是其中之一。在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，幾何直觀的內(nèi)涵表現(xiàn)為：建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型。很明顯，數(shù)形結(jié)合屬于“三會(huì)”中數(shù)學(xué)眼光的范疇，目的是借助數(shù)形結(jié)合，直觀理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)及其背景。這就要求教師在教學(xué)中要滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合方法分析問(wèn)題，把握問(wèn)題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。

本文主要研究的是在小學(xué)“數(shù)與運(yùn)算”主題中，數(shù)形結(jié)合思想（建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型）具體應(yīng)用及在教學(xué)中的滲透策略。

一、重要意義

數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是指將數(shù)與形通過(guò)相對(duì)應(yīng)與轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合可以使復(fù)雜問(wèn)題變簡(jiǎn)單，抽象問(wèn)題變具體。除了“圖形與幾何”領(lǐng)域，數(shù)形結(jié)合思想在“數(shù)與代數(shù)”中也有非常廣泛的應(yīng)用。教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，有助于學(xué)生直觀理解所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，明確分析、解決問(wèn)題的路徑。

二、主要表現(xiàn)

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)初始，我們就時(shí)時(shí)刻刻都在與數(shù)形結(jié)合相遇，因?yàn)樗w了“數(shù)與運(yùn)算”中數(shù)的認(rèn)識(shí)和數(shù)的運(yùn)算兩大板塊。下面來(lái)看看具體表現(xiàn)。

（一）數(shù)的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象。要理解數(shù)這個(gè)大家庭中不同數(shù)域的實(shí)際意義，對(duì)抽象思維還處于萌芽、發(fā)展階段的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，具有一定的難度。因此，教材將抽象難懂的數(shù)概念，無(wú)論是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)，都按照在實(shí)際情境中認(rèn)識(shí)數(shù)、體會(huì)數(shù)產(chǎn)生的必要性，遵循“實(shí)物—圖像—符號(hào)”表征數(shù)字內(nèi)涵的思維發(fā)展歷程，借助數(shù)一數(shù)、擺一擺、分一分、畫一畫等實(shí)踐操作活動(dòng)，幫助學(xué)生理解計(jì)數(shù)單位、數(shù)位、位值制及位數(shù)，從而建立起抽象的數(shù)和現(xiàn)實(shí)中數(shù)量之間的關(guān)系。這一過(guò)程中，既初步形成了數(shù)概念學(xué)習(xí)的模型，積累了學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，又初步幫助學(xué)生建立了數(shù)感和符號(hào)意識(shí)。

1.整數(shù)

對(duì)自然數(shù)的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷著“逐個(gè)點(diǎn)數(shù)（shǔ）”（認(rèn)識(shí)較小的數(shù)）到“以群計(jì)數(shù)（shǔ）”（認(rèn)識(shí)較大的數(shù)）的過(guò)程。為了表示點(diǎn)數(shù)結(jié)果，創(chuàng)造了表示數(shù)（shù）的圖形、符號(hào)、數(shù)字，實(shí)現(xiàn)了由數(shù)量到數(shù)的抽象。數(shù)的認(rèn)識(shí)，歸根結(jié)底是計(jì)數(shù)單位的認(rèn)識(shí)。教材中對(duì)計(jì)數(shù)單位“一、十、百”的認(rèn)識(shí)，除了有小棒等具象化的實(shí)物，還有“一、十、百”的小正方體計(jì)數(shù)單位模型，“千”的認(rèn)識(shí)則直接呈現(xiàn)的是小正方體的計(jì)數(shù)模型。經(jīng)歷直觀形象的幾何計(jì)數(shù)單位模型與數(shù)的對(duì)應(yīng)，學(xué)生輕而易舉地建立起對(duì)自然數(shù)的認(rèn)識(shí)，對(duì)計(jì)數(shù)單位的理解，為后面小數(shù)、分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)提供了模型和經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)為數(shù)的比較、運(yùn)算打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)，教材同樣創(chuàng)設(shè)了生活情境，借助溫度計(jì)這個(gè)載體，直觀表達(dá)出零上溫度、零度與零下溫度，讓學(xué)生經(jīng)歷負(fù)數(shù)的產(chǎn)生過(guò)程。借助溫度計(jì)的直觀形象，學(xué)生很容易理解零上、零下溫度的實(shí)際意義，進(jìn)而為后面生活中的負(fù)數(shù)意義的理解做好鋪墊?！罢?fù)數(shù)”一課則通過(guò)海拔高度示意圖及生活實(shí)例等典型的“形”讓學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)意義的理解更深入。

歸根結(jié)底，整數(shù)概念的本質(zhì)就是數(shù)（shǔ）出來(lái)的，數(shù)（shǔ）的是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

2.小數(shù)

3.分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)與小數(shù)相同，是從分配物體的需要出發(fā)，都是在不夠分到“1”的情況下出現(xiàn)的。教材中運(yùn)用了不同模型幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義。三年級(jí)教材中分蘋果、分餅是用面積模型的“部分—整體”表示分?jǐn)?shù)的第一層含義；五年級(jí)教材中用紙條度量數(shù)學(xué)書的長(zhǎng)和寬，是從長(zhǎng)度模型表示分?jǐn)?shù)的度量意義，即任何分?jǐn)?shù)都可以看成是以分?jǐn)?shù)單位為計(jì)數(shù)單位進(jìn)行量數(shù)（shǔ）的結(jié)果。度量意義實(shí)際上更能體現(xiàn)分?jǐn)?shù)作為數(shù)本身的意義，通過(guò)面積、長(zhǎng)度等直觀模型，豐富學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí)，同時(shí)在涂一涂、折一折等實(shí)踐操作活動(dòng)中，逐步加深對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。同樣，在探索分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的過(guò)程中，改變過(guò)去利用商不變規(guī)律的做法，從幾何直觀的角度，采用數(shù)形結(jié)合的方法，注重觀察直觀圖和畫圖等活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生從直觀角度去探索發(fā)現(xiàn)，便于學(xué)生更好地理解和掌握知識(shí)。分?jǐn)?shù)單元內(nèi)容，就是抽象的數(shù)與直觀的形結(jié)合的典范。試想，離開(kāi)形，我們還能通過(guò)什么載體如此淺顯易懂地理解分?jǐn)?shù)的意義呢？

4.數(shù)軸

對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)，數(shù)軸發(fā)揮著重要的作用。作為認(rèn)識(shí)數(shù)的工具，可以讓抽象的數(shù)有形可依，讓不同的數(shù)域在學(xué)生頭腦中形成清晰的幾何解釋。借助數(shù)軸認(rèn)識(shí)數(shù)，學(xué)生可以直觀地體會(huì)數(shù)的順序和大小關(guān)系，很容易發(fā)現(xiàn)數(shù)字系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，對(duì)數(shù)的概念的建立有很大幫助作用。同時(shí)，數(shù)軸也是學(xué)習(xí)數(shù)運(yùn)算的“形”的載體：“順著數(shù)”相當(dāng)于加法（乘法），“倒著數(shù)”相當(dāng)于減法（乘法）。

（二）數(shù)的運(yùn)算

1.整數(shù)四則運(yùn)算

小學(xué)階段，加減乘除四則運(yùn)算意義的理解都是借助于直觀的“形”幫助學(xué)生建構(gòu)起來(lái)的。鑒于低段學(xué)生以形象思維為主，無(wú)論是一年級(jí)加減法意義的理解，還是二年級(jí)乘除法意義的建構(gòu)，教材都是借助直觀圖、計(jì)數(shù)模型通過(guò)“合起來(lái)、分出去”幫助學(xué)生直觀理解運(yùn)算的意義，采用圈一圈、畫一畫等操作活動(dòng)，探索算法，明確算理，體現(xiàn)新課標(biāo)“建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型”的理念。

2.小數(shù)四則運(yùn)算

教材中對(duì)于小數(shù)四則運(yùn)算算理的探索，基本上是創(chuàng)設(shè)購(gòu)物情境，首先結(jié)合人民幣意義來(lái)探究算法，其次是結(jié)合小數(shù)的意義（面積模型）來(lái)探究算理。即：將一個(gè)正方形平均分成10份、100份，通過(guò)含有不同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)加減，得到運(yùn)算結(jié)果；小數(shù)乘除法則是經(jīng)歷將面積模型圖先等分、再等分，得到新的計(jì)數(shù)單位及計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。學(xué)生在模型圖上經(jīng)歷分一分、涂一涂的探索過(guò)程，將抽象的算理轉(zhuǎn)化為具象的幾何圖形，化難為易，化隱為顯。

3.分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算

分?jǐn)?shù)加減法的意義和算法，教材除了安排豐富的折一折、涂一涂等實(shí)踐操作活動(dòng)外，還借助面積直觀圖讓學(xué)生在自主探索的過(guò)程中，很輕易地將分?jǐn)?shù)與相對(duì)應(yīng)的形聯(lián)系起來(lái)，理解起來(lái)比較容易。

分?jǐn)?shù)乘除法的意義和算法的理解，相對(duì)要抽象很多。教材借助直觀模型或面積模型的“形”來(lái)描述、分析問(wèn)題，同時(shí)結(jié)合操作活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、歸納等活動(dòng)，并借助圖形的思維和方法來(lái)解釋分?jǐn)?shù)運(yùn)算，幫助學(xué)生理解并掌握其意義和算法，降低了難度。

三、滲透策略

（一）重視教材中含有數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)容

縱觀小學(xué)階段“數(shù)與運(yùn)算”主題中數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算兩方面學(xué)習(xí)內(nèi)容，教材在編排中，結(jié)合學(xué)生學(xué)段認(rèn)知規(guī)律和身心發(fā)展特點(diǎn)，遵循“實(shí)物—圖像—符號(hào)表征”的過(guò)程，將“數(shù)”的學(xué)習(xí)置于“形”的直觀中，促進(jìn)學(xué)生理解“數(shù)”、運(yùn)用“數(shù)”，以形促思，以形化數(shù)。因此，教學(xué)中教師要重視利用教材內(nèi)容，有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形（直觀圖、模型圖等）讀懂信息、整理信息，進(jìn)而提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。也就是說(shuō)，讓學(xué)生通過(guò)“形”找出相對(duì)應(yīng)的“數(shù)”、結(jié)合圖形分析“數(shù)”，使“數(shù)”更易于理解和記憶，從而引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合思想，掌握數(shù)形結(jié)合方法，明晰數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

例如，“萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”重點(diǎn)是對(duì)計(jì)數(shù)單位“百、千、萬(wàn)”及十進(jìn)制的認(rèn)識(shí)，要重視利用方塊計(jì)數(shù)模型引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀感知，建立數(shù)（shù）就是數(shù)（shǔ）計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的認(rèn)識(shí)。小數(shù)與分?jǐn)?shù)借助“形”顯得尤為重要，基于其表達(dá)不滿“1”、不足1個(gè)計(jì)量單位的特點(diǎn)，重視利用長(zhǎng)度、面積模型將其等分成不同份數(shù)并取其中若干份理解其意義。乘法模型建構(gòu)時(shí)，注重畫直觀圖表達(dá)或在點(diǎn)子圖上圈出“a×b”；同樣，除法模型建構(gòu)時(shí)，注重通過(guò)圈一圈直觀圖理解除法“平均分”及“包含除”兩種不同的意義。

（二）教學(xué)時(shí)讓學(xué)生在探索中體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想

教學(xué)中，要結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，抓住數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，重視學(xué)生自主探索，通過(guò)畫一畫、折一折、說(shuō)一說(shuō)等活動(dòng)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的“形”與數(shù)結(jié)合起來(lái)，借助具象的圖形來(lái)認(rèn)識(shí)來(lái)理解數(shù)學(xué)知識(shí)，明晰數(shù)學(xué)本質(zhì)，并在探索過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想，感受數(shù)形結(jié)合思想對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成及解決問(wèn)題的重要意義。

值得注意的是，在教學(xué)時(shí)要遵循學(xué)生年齡及認(rèn)知特點(diǎn)，滲透數(shù)形結(jié)合思想要從具象思維向抽象思維過(guò)渡。低段學(xué)生認(rèn)知以形象思維為主，教學(xué)中要注重創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用他們熟悉的直觀的“形”感知“數(shù)形結(jié)合”，從而逐步歸納提升到理性認(rèn)知，為抽象思維做準(zhǔn)備。中段學(xué)生的抽象思維有了一定發(fā)展，教學(xué)中可以利用半形象半抽象的方式，將抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具象的“形”，讓學(xué)生逐步體驗(yàn) “ 數(shù)形結(jié)合”。高段學(xué)生邏輯思維已發(fā)展到了一定程度，教學(xué)中可以采用抽象文字表述問(wèn)題，借助圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言分析理解問(wèn)題，先“數(shù)”后“形”，感悟“形”的解釋、驗(yàn)證，做到利用數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題，把握問(wèn)題的本質(zhì)，明細(xì)思維的路徑。

例如，在“認(rèn)識(shí)并感受‘千’”的教學(xué)中，要注重借助方塊模型認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位意義及十進(jìn)制。10“個(gè)”小方塊組成1“條”，表示1個(gè)“十”；10“條”組成1“片”，表示1個(gè)“百”；10“片”組成1“塊”表示1個(gè)“千”。同樣，“小數(shù)的意義”教學(xué)中，可以將正方形看作1“個(gè)”等分成10“條”，每“條”是0.1；1“條”等分成10“塊”，每“塊”是0.01。計(jì)數(shù)模型“個(gè)”“條”“片”“塊”的運(yùn)用，既可以讓學(xué)生體會(huì)計(jì)數(shù)單位的意義及數(shù)位間的十進(jìn)關(guān)系，還滲透了數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)感。

又如，在“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”教學(xué)中，更能體現(xiàn)分?jǐn)?shù)性質(zhì)的做法是采用數(shù)形結(jié)合方法去探索。即同一圖形，先4等分取3份涂色，接著8等分、16等分，填寫涂色部分對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)；接著再用畫一畫、涂一涂的方式舉出這樣的例子，用圖形直觀地解釋分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，簡(jiǎn)單易理解。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的一種重要思想，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)揮著重要作用。因此，教師要重視含有數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)容，教學(xué)中要滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合方法把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，明確解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的路徑。